лекции мат. анализ
.pdfПримеры.
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
|
|
2n 3 |
|
2 |
|
|
lim 2 |
|
|
|
lim 2 lim |
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а) |
lim |
lim |
|
|
|
n |
|
n |
|
|
n |
|
n |
n n |
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n 3n 1 |
n |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
lim 3 lim |
|
1 |
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
n |
|
n |
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
lim |
1 |
|
|
|
|
|
|||
б) |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
. |
||
|
|
|
|
n |
|
|
n n |
|
|
|
||||||||
|
lim |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n 3n2 1 |
n |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
2.2. Предел функции в точке
Пусть функция f (x) определена на некотором интервале D ,
содержащем точку x0 , за исключением быть может самой этой точки.
Определение 1. (на языке |
последовательностей) Число A |
||
называется пределом функции |
f x |
в точке x0 , если для любой по- |
|
следовательности xn D , |
xn x0 , |
сходящейся к x0 , последова- |
|
тельность значений функции f (xn ) сходится к A . Обозначения: |
|||
lim f x A или |
f x A при x x0 . |
||
x x0 |
|
|
|
Определение 2. (на языке « - δ » |
( читается «эпсилон - дельта)) |
||
Число А называется пределом функции |
в точке х0, если для |
всякого числа ε>0 существует такое число δ >0 , что как только |x–x0| <
δ (x ≠ x0), то |f(x)–A| < .
Обозначение: lim f (x) A .
x x0
При вычислении пределов функций используются те же прави-
ла, что и при вычислении пределов последовательностей. В частности, |
|
если существуют пределы lim f x a и lim g x b , то |
|
x x0 |
x x0 |
lim f |
x g x a b ; |
x x0 |
|
lim f |
x g x a b ; |
x x0 |
f x g x ab ; |
lim |
|
x x0 |
|
21
если, кроме того, b 0 (тогда g x 0 для всех x , достаточно
близких к x0 ), то |
|
|
|
|
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
a |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x x0 g x |
|
b |
|
|
|
|||||
Функция |
называется бесконечно малой (б.м.) при |
, |
|||||||||||||
если lim f x 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция |
называется бесконечно большой (б.б.) при |
|
|||||||||||||
, если lim f x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найдем предел функции |
|
f x x2 |
в точке |
x 2 . |
|||||||||||
Для произвольной последовательности xn такой, |
что lim xn 2 , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
xn 2 , на основании свойств пределов последовательностей имеем |
|||||||||||||||
lim f (x |
n |
) lim x2 lim x |
n |
lim x |
n |
2 2 4 . |
|||||||||
n |
|
|
n |
n |
n |
|
n |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отсюда по определению предела функции получаем |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim x2 4 . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 1. Найти |
lim |
3x2 5x 2 |
при: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4x2 9x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) х 0 =1 ; б) х 0 =2 ; в) х 0 = ∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. а) lim(3x2 5x 2) 4 , |
lim(4x2 9x 2) 3 0 . |
|
|||||||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Так как предел знаменателя отличен от нуля, можно применить
теорему о пределе частного (свойство 4). Тогда |
|
||||||||||
|
3x2 |
5x 2 |
|
|
lim(3x2 5x 2) |
|
4 |
|
4 |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
. |
4x2 |
9x 2 |
|
lim(4x2 9x 2) |
3 |
3 |
||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
б) lim |
3x2 5x 2 |
. |
|
|
|
|
|
||||
4x2 9x 2 |
|
|
|
|
|
||||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
0
Имеем неопределенность вида , следовательно, теорему о пре-
0
деле частного применить нельзя. Но в окрестности точки х = 2 имеем 4х2 – 9х + 2 ≠ 0 (при х ≠ 2), и поэтому дробь можно сократить на х – 2.
22
Для этого разложим числитель и знаменатель на множители, восполь-
зовавшись формулой ах2+bх+с= а(х–х1)(х–х2), где х1 и х2 – корни урав- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нения ах2 + bх + с = 0. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x |
2 |
5x 2 |
|
|
|
|
3 x 2 x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 1 |
|
|
|
|
lim 3x 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
lim |
|
3 |
lim |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x 2 4x2 |
9x 2 |
x 2 4 x 2 x |
1 |
|
|
|
|
|
|
x 2 |
4x 1 |
|
|
lim 4x 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
3 2 1 |
|
7 |
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
4 2 1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
в) lim |
|
3x2 5x 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 9x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Имеем неопределенность вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
. Чтобы найти предел, разделим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
числитель и знаменатель на х2, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 5 |
|
2 |
x2 |
|
|
|
|
lim 3 lim 5 |
|
|
lim |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
lim |
3x |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
x |
|
x |
x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
lim 4 lim 9 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x 4x2 |
9x 2 |
|
x 4 9 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
lim |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
x |
|
x |
x2 |
|
||||||||||||||
|
3 0 0 |
|
|
3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4 0 0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Ответ: |
|
a) |
|
4 |
; |
|
б)1; |
|
|
в) |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Задача 2. Найти lim |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
x 3 |
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 3 |
|
|
1 x |
|
|
x 3 lim |
|
1 x |
|
2 |
|
2 0 |
|
|
|
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim (x 1) 0 . Имеем неопределенность вида |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
, теорему о пределе |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частного применять нельзя. Преобразуем данное выражение, помножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, по-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
лучим: lim |
|
x 1 |
|
|
lim |
|
(x 1)( |
|
x 3 |
1 x ) |
= |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 1 |
x 3 1 x |
|
|
x 1 ( x 3 |
1 |
x )( x |
3 |
1 x ) |
|
23
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
(x 1)( |
x 3 1 x ) |
lim |
(x 1)( x 3 |
1 x ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
x 3 1 x |
|
|
|
|||||||||||
|
x 3 |
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
(x 1)( |
x 3 1 x ) |
lim |
(x 1)( x 3 |
1 x ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(x 1) |
|
|
||||||||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
2x 2 |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x 3 |
1 x |
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
x 3 |
1 x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x 1 |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
2 2. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3. Предел функции на бесконечности |
||||||||||||||||||||||||||||
|
Данное выше определение предела функции можно распростра- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нить на случаи, когда x0 |
или a (по отдельности или вместе) являются |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
не числами, а символами |
, или . Так, например, запись |
lim f x a ,
x
где a - число, означает, что для любой бесконечно большой последовательности xn , стремящейся к , последовательность
a . Аналогично, запись
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f x , |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
означает, что для любой последовательности xn , стремящейся |
||||||||||||||||
к , последовательность f (xn ) стремится к . |
|
|||||||||||||||
Примеры. |
а) lim |
1 |
|
0; б) lim |
|
1 |
|
; в) lim |
4x 0; |
|||||||
|
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
x x |
|
|
|
x 2 |
x |
|
x |
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 lim |
1 |
|
|
|
|
|
||
г) |
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
|
|||||
lim |
lim |
|
|
|
x |
|
x x |
|
1. |
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 0 |
|
|||||||
|
x x 1 |
x |
1 |
|
1 lim |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x x |
|
|
|
|
|
24
2.4. Первый замечательный предел
Если угол х выражен в радианах, то lim |
sin x |
1; |
lim |
x |
1 . |
||
|
|
||||||
|
|
x 0 |
x |
|
x 0 sin x |
|
|
Первый замечательный предел можно применять в ряде случаев для |
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
раскрытия неопределенностей вида |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Задача 1. Найти предел функции lim |
tg12x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Решение. Здесь неопределенность вида |
|
|
|
|
. Преобразуем данную |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
функцию: |
tg12x |
|
|
sin12x |
|
1 |
|
|
|
12 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
sin12x |
|
|
3x |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 3x cos12x |
sin 3x |
|
3 |
|
|
cos12x |
|
|
|
|
12x |
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обозначим 12х=U, причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
limU lim(12x) 12 lim x 12 0 0, т.е. при |
|
х 0 |
и |
U 0. Следова- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
0 |
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
тельно, |
|
lim |
sin12x |
|
lim |
U |
|
1. |
Аналогично, положив 3x=U, получим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 0 12x |
|
|
|
|
U |
0 U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim |
|
|
3x |
|
lim |
|
|
|
U |
|
1; |
|
|
|
lim |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 . |
|
Следовательно |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x |
0 sin 3x |
|
U 0 sinU |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 cos12x |
|
|
cos 0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
limtg12x |
|
|
|
lim12 |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
sin12x |
12x |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
0 |
|
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
cos12x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
12 |
|
lim 1 |
cos12x |
|
limsin12x |
lim3x |
|
|
|
|
12 |
|
|
1 1 1 4. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 x 0 |
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12x |
|
x 0 |
sin 3x |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Ответ: 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg 6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||
|
Задача 2. Найти lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
. Имеем неопределенность вида |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||
|
Решение. Обозначим arctg 6x = U, тогда 6х=tgU и при х 0 имеем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
U 0. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
arctg 6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
2 limU |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 2 |
|
|
|
|
|
tgU |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
0 |
|
3x |
|
|
|
U |
|
0 |
1 |
|
3 tgU |
U 0 |
|
tgU |
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
limU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 lim |
|
|
|
|
|
|
cosU |
2 |
sinU |
limcosU 2 1 1 2 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
U 0 sinU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U 0 |
|
|
U |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 2.
25
2.5. Второй замечательный предел
Он имеет вид: |
lim 1 |
1 |
x |
lim 1 |
1 |
e , |
|
x |
|
||||
|
x |
|
|
0 |
|
|
где е – иррациональное число, приблизительно равное 2,71828… . Логарифмы с основанием е называются натуральными и обозначаются log e x= ln x . С помощью этого предела раскрывают так же неопреде-
ленность вида {1∞}.
Исходя из определения числа e , можно получить более общую формулу:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
n |
|
|
|
|
k ,справедливую для любой постоянной k . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim 1 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n 3 |
3n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Задача. Найти |
lim |
|
|
|
|
|
|
. Здесь неопределенность вида {1 |
|
}. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
4n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. Преобразуем выражение в скобках. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4n 3 |
|
4n 2 5 |
|
|
4n 2 |
|
|
5 |
|
1 |
|
|
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4n 2 |
|
|
|
|
4n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
4n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
4n 2 |
|
|
|
|
|
4n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Обозначим |
|
|
5 |
|
|
|
, тогда 4n 2 |
5 |
, 4n |
5 |
|
2 |
, |
n |
5 |
|
1 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||
4n |
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
3n 1 |
15 |
|
|
1 |
|
, причем при n ∞, имеем α 0. Следовательно, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4n 3 |
3n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
1 |
|
|
|
15 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
lim(1 ) 4 |
2 |
lim (1 ) 4 (1 ) 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n 4n 2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 15 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 4 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
lim(1 ) |
|
|
|
|
|
|
lim(1 ) e |
1 e |
|
|
|
e . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 4e15 .
Тема 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
3.1. Определение производной и дифференциала функции
Определение. Производной функции у = f ( x ) в точке х называется
предел lim |
f (x |
x) f (x) |
lim |
y |
, если он существует и конечен. |
|
x |
x |
|||
x 0 |
x 0 |
|
26
Функция у = f ( x ) называется дифференцируемой в точке х. Она всегда будет и непрерывной в этой точке.
Производная обозначается |
y / , |
f / (x), |
dy |
, |
df (x) |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
dx |
|
Имеем |
y / lim |
y |
. |
По |
определению |
предела функции |
||||
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y / |
, где 0 при |
x 0 . Отсюда ∆y= y' · ∆ x+ α· ∆x. |
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При малых значениях ∆x и при |
y 0 имеем |
y y x . |
Определение. Главная часть y'∆x приращения ∆y функции, линейная относительно ∆x, называется дифференциалом функции и обозначается d y= y' ∆ x .
Положив у = х, получим d x = ( x ) ' ∆ x = 1 ·∆ x= ∆ x и поэтому d y =y'd x . Эта формула верна и в том случае, если х есть функция новой пере-
менной t.
Теорема о зависимости между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Если функция дифференцируема в точке то она в этой точке непрерывна. Обратная теорема, вообще говоря, неверна,
т.е. если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке.
Так, например функция |
|
непрерывна в точке |
, но недиффе- |
|||||
ренцируема в этой точке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрический смысл производной |
|
|
|
|
||||
Производная |
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
угловому коэффициенту |
(тан- |
|
|
|
|
|
|
|
генсу угла наклона) касатель- |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
ной, проведенной к |
кривой |
|
|
|
|
|
|
|
в точке |
, то есть |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача. Составить уравнение |
|
|
|
|
|
|
||
касательной и нормали к гра- |
|
|
|
|
|
|
||
фику функции |
, прохо- |
|
|
|
|
|
||
дящей через точку М |
|
. |
|
|
|
|
|
|
Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
общее уравнение касательной. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
–искомое уравнение касательной.
–общее уравнение нормали.
–уравнение нормали.
–угол наклона касательной к
оси Оx.
Механический смысл производной
Производная пути по времени |
равна скорости в момент |
, то |
|||
есть |
|
|
|
|
|
Задача. Тело движется прямолинейно по закону |
|
||||
. Определить скорость и ускорение тела при |
|
. |
|
||
Решение |
|
|
|
|
|
Согласно механическому смыслу производной |
. |
||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
Если |
, то |
|
⁄ |
|
|
|
|
|
⁄ . |
|
|
Экономический смысл производной |
|
|||
Пусть |
- издержки производства, а |
- количество выпускаемой |
|||
продукции. |
|
|
|
|
|
Тогда |
- прирост продукции. |
|
|
|
-приращение издержек производства.
-среднее приращение издержек производства на едини-
цу продукции.
Производная выражает предельные издержки
производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.
Задача. Функция издержек производства некоторой фирмы имеет вид: (ден. ед.). Найти предельные
исредние издержки производства и вычислить их значение при
.
28
Решение
(ед./мес.) предельные издержки
Средние издержки производства равны
Вывод: При данном уровне производства (количестве выпускаемой продукции) средние затраты на производство одной единицы продукции составляют 28 ден. ед., а увеличение объема на одну единицу продукции обойдется фирме приближенно в 11 ден. ед.
3.2. Вычисление производных
Основные правила дифференцирования
Пусть С – действительное число, U=U(x) и υ=υ(x) – дифференцируемые функции.
1.(С)' =0;
2.(С∙υ)' = Сυ' ;
3.( U ± υ )' = U '± υ '
4.( U · υ )' = U' υ + U υ ' ;
5.U U U .
2
Если y f (u) и u (x) , то у называется сложной функцией от х.
Если |
y f (u) и |
u (x) |
дифференцируемы, то dy |
dy |
du |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
du |
dx |
или y f (u) u . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Таблица производных |
|
|
|
|
||
1. .(Un)'=n∙Un–1∙U'. |
|
|
Следствие: (х)' =1. |
|
|
|
|
|||
2. |
(au)'=au∙ln a∙U'. |
|
|
Следствие: ( е u ) ' = e u u ' . |
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
loga U |
|
|
U |
. |
Следствие: lnU |
1 |
|
U . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
U ln a |
|
|
|
U |
|
|
|||
4. |
(sinU)'=cosU∙U'. |
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
(cosU)' = –sinU∙U'. |
|
|
|
|
|
|
|
29
6.tgU 1cos 2 U U .
7.ctgU 1sin2 U U .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
8. |
|
arcsin U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 U 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
9. |
|
arccos U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 U 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
10. |
arctg U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 U 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
11. |
arc c tgU |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 U 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Задача 1. Найти производные заданных функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
|
y |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Решение. |
|
Применим |
|
формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n U n 1 U , |
|
здесь |
|
|
|
n=3, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
U n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
U |
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 . Тогда |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Найдем U /. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
U |
|
|
|
4 |
x |
|
3 |
x |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
2 x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
x |
5 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Следовательно, y |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Задача 2. |
y ln 5 |
|
|
|
x5 1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Преобразуем сначала данную функцию, а затем найдем производную этой функции:
30