лекции мат. анализ

данного уравнения стоит произведение многочлена нулевой степени на показательную функцию e α x при α=2. Так как среди корней характе-

ристического уравнения нет корней, равных 2, то частное решение
данного уравнения ищем в виде	~	=A ∙ e	2 x	.
	y

Дифференцируя и подставляя				~		в уравнение получаем:
				y
4 A e2x 2 A e2x 2Ae2x 3e2x							и				4 A e2x 3e2x , откуда
4 A 3, A 3 / 4 .											~
Подставляя найденное значение А в выражение для y , найдем
				~		3				2x
частное решение данного уравнения y								e			и общее решение запи-
							4
~	C e	x	C e	2 x	3				e	2 x	. Найдем частное реше-
шется в виде y y y
o	1		2			4

ние, удовлетворяющее начальным условиям. Для этого продифферен-

цируем у.	y C e x 2C								e 2x	6	e2x .
								2
	1								4
Подставляем начальные условия в у и у', находим С1 и С2:
1 C C					3		,
				4
	1	2
						6
3 C 2C								,
	1		2	4

2 3C							3	, 3C				5	,	C			5	,	C	2	.
			2						2						2
					4					4						12			1	3
Подставляя найденное значение С1																			и С2 в выражение для у,
найдем частное решение данного уравнения
y	2	e x			5			e 2x		3	e2x .
3					12					4

2) Пусть правая часть имеет вид f (x) e x (a cos x b sin x) и α+ β i , ( α – β i ) не является корнем характеристического уравнения. То-

~	x	(Acos x B sin x) .
гда частное решение ищем в виде y e
Если же α+βi, (α–βi) является корнем характеристического урав-
		~	x	x(Acos x B sin x)
нения, то частное решение находим в виде y e

.

Задача 6. Найти общее решение уравнения y y sin 2x .

Решение. Здесь характеристическое уравнение К2 + 1 = 0 имеет корни К1=i, К2 = -i. Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет y = C 1 cos x + C 2 sin x. В правой части стоит

51

тригонометрическое функция sin 2x, то есть a =0 , b =1 , β=2 . Так как

β=2 не является корнем характеристического уравнения, то частное
решение надо искать в виде:	~	Acos 2x Bsin 2x .
	y

Дифференцируя	~	и подставляя его в дифференциальное урав-
	y
нение, получим 3Acos 2x 3Bsin 2x sin 2x ,						откуда A 0,	B	1	,
							3
т.е. частное решение		~		1	sin 2x , а общее	решение уравнения:
		y
				3

y C1 cos x C2 sin x 13 sin 2x .

Тема 9. РЯДЫ

9.1. Числовые ряды

Определение. Пусть задана бесконечная последовательность чисел U1,U2 , Un . Тогда выражение

													U1 U 2					Un U n														(1)
																													n 1
называется числовым рядом. Здесь Un – общий член ряда.
Примеры:
				1							1							1									1
1.	1																													.
				2									2					2		n						2	n 1
								2																	n 1
	1				2						3								n										n
2.																															.
		2			2						4						n 1										n 1
																									n 1
					1								1							1						1
3.	1																												.
				2			2				3			2					n		2					n		2
																									n 1
Определение.										Суммы										вида S U1, S2 U1 U2 , , Sn
U1 U2	Un называются частичными суммами ряда (1).
Определение. Если последовательность S1, S2 , , Sn																																частичных

сумм имеет предел, то ряд (1) называется сходящимся. Этот предел называется суммой ряда. Если последовательность частичных сумм не имеет предел, то ряд расходится.

52

Признаки сходимости числового ряда с положительными членами

Необходимый признак сходимости. Если ряд (1) сходится, то

lim U n 0 . Обратное утверждение неверно, то есть данное условие

n

может выполняться, но ряд будет расходиться.

Достаточные признаки сходимости

1. Признак сравнения. Имеем два ряда с положительными чле-

нами

U1 U 2 Un U n ;	(2)
n 1
1 2 n n .	(3)
n 1

Пусть имеется такой номер N, что для всех членов ряда, у которых n N выполняется U n n . Тогда из сходимости ряда (3) следует

сходимость ряда (2), а из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда

(3).

2. Признак Даламбера
Пусть	дан	ряд	с	положительными			членами
U1 U2 Un и существует				lim	U n 1	. Тогда при 1 ряд
				n	U n
сходится, а при 1 расходится, а при					1 вопрос остается откры-

тым.

Знакочередующиеся ряды

Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называется знакопеременным.

Знакочередующимся называется ряд вида

U1 U 2 ( 1)n 1U n ( 1)n 1U n ,

n 1

где Un 0 (n 1,2, ) .

Ряды вида U1 U 2 ( 1)nU n ( 1)n U n также

n 1

называются знакочередующимися.

53

Признак абсолютной сходимости

Знакочередующийся ряд

( 1)n U n U1 U 2 U3 ( 1)n U n			(4)
n 1
сходится, если сходится ряд
Un U1	U2	Un	(5)

n 1

Ряд (4) называется в этом случае абсолютно сходящимся. Если ряд (4) сходится, а ряд (5) расходится, то ряд (4) называется условно сходящимся. При этом сходимость ряда (4) можно в ряде случаев установить без исследования ряда (5).

Признак сходимости Лейбница

Пусть имеется знакочередующийся ряд

( 1)n 1U n U1 U 2 ( 1)n 1U n ,	U n 0 (n 1,2,...) .
n 1

Если одновременно выполняются следующие два условия:

1) U1 U2 Un ,

2) lim U n 0 , то такой ряд сходится и его сумма не превосхо-

n

дит первого члена: S U1 .

9.2. Степенные ряды

Определение. Ряд вида an xn a0 a1x a2 x2 an xn

n 0

называется степенным рядом. Здесь постоянные величины a1, a2, …, ak ,… – коэффициенты ряда, a0 – свободный член. Степенные ряды являются одним из видов функциональных рядов вида

Un (x) U0 (x) U1 (x) Un (x)	(6)

n 0

Очевидно, любой степенной ряд сходится при х=0. Для любого степенного ряда имеется интервал (–R, R), называемый интервалом сходимости, в каждой точке которого ряд сходится, а вне интервала ряд расходится. На границах интервала ряд может либо сходится, либо расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, он находится по формуле:

54

	R lim	an	.	(7)
		an 1
	n

Таким образом, поиск области сходимости степенного ряда заключается в определении его радиуса сходимости R и исследования сходимости ряда на границах интервала сходимости (при x R ).

Задача. Написать три первых члена степенного ряда по задан-

ному общему		члену U n an xn , найти область сходимости ряда
			6	n	x		n
	U n , если Un								.
			5n 4 n
n 1

Решение. Первые три члена ряда будут:

U1		6x				62 x 2					63 x3
			,	U 2					, U 3					.
		5				52 4 2					53 4	3

Имеем an					6n							,			an 1										6n 1												. Определяем радиус сходимости:
		5n 4 n																		5n 1 4 n 1
																		6n
R lim					an							lim								5n 4					n									5				lim 4										n 1									5	lim 4				1						1			5	.
				a												6n 1																																	n
		n				n 1							n						5n 1 4															6 n																							6 n											n 6
																									n 1
Интервал сходимости имеет вид:																																																5	;	5		.
																																																6		6
Пусть x													5		. Получаем числовой ряд:
												6
6n						5						n							( 1)					n																1									1												( 1)							n
									6																			1																																										.
					n	4														4																			4										4													4
		5							n													n																		2										3																n
n 1																n 1
Применяем к этому знакочередующемуся ряду признак Лейбница:
									1						1					1														1												;											lim 1											0 .
															4	2					4		3																4 n																		n					4 n
Оба условия выполняются, следовательно ряд при x																																																														5		6				сходится.
Пусть x 5												6		. Имеем числовой ряд:
		6n 56 n
																																1								1																	1
												14										1																																						.
			n 4																	n										4										4																	4
n 1 5 n															n 1																	2											3															n

55

Сравнивая

с

расходящимся

гармоническим

рядом

1

1

1

1n 1

,

видим, что, начиная с n =2 , выполняется

2

3

n

n 1

неравенство

1

1

, поэтому по признаку сравнения ряд расходится (так

n

4 n

5

5

как расходится гармонический ряд). Область сходимости ряда

;

.

6

6

9.3. Ряд Маклорена

Разложение функции f ( x ) в ряд Маклорена имеет следующий

вид:

f (x) f (0)

f (0)

x

f

(0)

x2

...

f (n) (0)

xn ...

(8)

1!

2!

n!

Наиболее употребительны разложения следующих функций:

ex 1 x

x2

xn

( x ) ;

n!

2!

sin x x

x3

( 1)n 1

x2n 1

( x ) ;

3!

(2n 1)!

cos x 1

x2

( 1)n

x2n

( x ) ;

2!

(2n)!

x

x2

x3

x4

( 1)n

xn 1

ln(1 x)

( 1 x 1) ;

n

1

2

3

4

1

(1 x)m 1

m

x

m(m 1)

x 2

m(m 1) (m (n 1))

x n ,

1!

2!

n!

( 1 x 1);

x3

x5

x

2n 1

arctg x x

( 1)n

( 1 x 1) .

3

5

2n 1

Задача 1.

Вычислить

4 17

с точностью до 0,0001,

используя

разложение

f (x) (1 x)m в ряд Маклорена.

2 1 1

14

Решение. Преобразуем

4 17 4

16 1

1 1

4

4 1

1

4

4 1

4 2

16

1

1

1

1

1

2

1

3

2 1

...

4

16

2!

3!

16

16

56

2 1 0,01562 0,00037 0,00001 .

Полученный ряд знакочередующийся и его члены убывают по абсолютной величине, поэтому погрешность не превзойдет первого отброшенного члена.

Очевидно, что 2∙0,00001<0,0001.

Следовательно, 417 2(1 0,01562 0,00037) 2,0305 .

Задача 2. Выразить определенный интеграл ∫ в виде схо-

дящегося ряда, используя ряд Маклорена для подынтегральной функции. Найти приближенное значение этого интеграла с точностью до

0,001.

Решение. В разложении функции

в степенной ряд, которое имеет

вид

,

заменим на

. Тогда получим

,

Умножая этот ряд почленно на

, будем иметь

,

Следовательно,

∫

∫

[

]

0,5

[

]

=

Полученный числовой 0знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница. Третий член этого ряда по абсолютной величине меньше . Поэтому для обеспечения требуемой точности нужно просуммировать лишь первые два члена ряда, округлив результат в соответствии с заданной точностью:

∫				.

57

ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

							Задание 1
Даны множества A и В. Найти A								B, A		B, A \ B, B \ A, A B .
Вари-				Множество А									Множество В
ант
1.	2	4	6		8	11	12	14	15	1	2	5		7	9	11	12	14
2.	3	4	7		8	9	10	13	14	0	1	2		4	6	7	9	12
3.	0	1	3		4	5	8	9	11	1	3	4		6	7	9	13	14
4.	0	1	7		8	9	11	12	14	0	2	3		5	7	11	12	15
5.	1	2	3		4	5	7	9	10	1	5	6		7	8	10	11	13
6.	4	5	7		8	10	11	13	15	2	4	5		8	9	10	14	15
7.	3	6	7		9	10	12	13	14	3	5	6		8	11	13	14	15
8.	1	2	5		6	9	10	12	15	2	5	6		9	10	11	12	15
9.	2	3	4		7	10	12	14	15	4	5	6		8	9	10	11	12
10.	5	6	7		8	9	10	12	14	1	3	4		6	7	9	11	13
11.	1	2	5		7	9	11	12	14	4	5	7		8	10	11	13	15
12.	0	1	2		4	6	7	9	12	3	6	7		9	10	12	13	14
13.	1	3	4		6	7	9	13	14	1	2	5		6	9	10	12	15
14.	0	2	3		5	7	11	12	15	2	3	4		7	10	12	14	15
15.	1	5	6		7	8	10	11	13	5	6	7		8	9	10	12	14
16.	2	4	5		8	9	10	14	15	1	2	5		7	9	11	12	14
17.	3	5	6		8	11	13	14	15	0	1	2		4	6	7	9	12
18.	2	5	6		9	10	11	12	15	1	3	4		6	7	9	13	14
19.	4	5	6		8	9	10	11	12	0	2	3		5	7	11	12	15
20.	1	3	4		6	7	9	11	13	1	5	6		7	8	10	11	13
21.	1	2	5		7	9	11	12	14	4	5	7		8	10	11	13	15
22.	0	1	2		4	5	7	9	12	3	6	7		9	10	12	13	14
23.	1	3	4		8	9	9	13	14	1	2	4		6	9	10	12	15
24.	0	2	3		4	5	11	12	15	2	3	6		7	10	12	14	15
25.	1	5	6		8	9	10	11	13	2	3	5		7	9	10	12	14
26.	2	4	5		7	8	10	14	15	1	2	7		8	9	11	12	14
27.	3	5	6		8	11	13	14	15	0	1	3		5	6	7	9	12
28.	2	5	6		9	10	11	12	15	1	3	4		6	7	9	13	14
29.	4	5	6		8	9	10	11	12	0	2	3		5	7	11	12	15
30.	1	3	4		6	7	10	11	13	1	5	6		7	8	10	11	13

58

Задание 2

Определить, какие из функций являются четными, какие – нечетными, а какие не являются ни четными, ни нечетными.

Вари

Вари-

ри-

Функция

Функция

ант

ант

1.

а)

16.

а)

; б)

б)

.

2.

а)

;

17.

а)

;

б)

б)

.

3.

а)

;

18.

а)

;

б)

.

б)

.

4.

а)

;

19.

а)

;

б)

б)

.

.

5.

а)

;

20.

а)

;

б)

.

б)

√

.

а)

;

6.

а)

;

21.

б)

√

.

б)

.

а)

;

а)

7.

22.

;

б)

.

б)

.

8.

а)

;

23.

а)

;

б)

б)

.

.

9.

а)

;

24.

а)

√

;

б)

.

б)

.

10.

а)

;

25.

а)

;

б)

√

.

б)

.

а)

;

а)

11.

26.

;

б)

.

б)

.

59

Вари

Вари-

ри-

Функция

Функция

ант

ант

12.

а)

;

27.

а)

;

б)

.

б)

.

13.

а)

;

28.

а)

;

б)

.

б)

.

а)

;

14.

а)

√

;

29.

б)

.

б)

√

.

а)

;

15.

30.

а)

√

;

б)

.

б)

.

Задание 3

Найти пределы функций.

Вариант 1,11,21.

1)

lim

2x

2 3x 1

при а)х0

2,

б)х0 1,

в)х0 ;

2 5x

3

x x0 2x

2x 3

x 1

х 3 1

arctg 2x

2) lim

;

3)

lim

;

4)

lim

.

x 4

16 x 2

x 0

4x

x 2x 1

Вариант 2,12,22.

1)

lim

3x2

14x 5

при

а)х 1,

б)х

5,

в)х ;

x x0

x2 2x 15

0

0

0

x 2 ctg 2x

4x 2

4 x

х 3 2

2) lim

;

3)

lim

;

4)

lim

.

x 1

x

1

x 0

sin 3x

x 4x 1

Вариант 3,13,23.

1)

lim

x2

x 2

при а)х0

2,

б)х0 1,

в)х0 ;

2 x 1

x x0 2x

x

2 x 1

1 х 1 x

3) lim x ctg

2

2)

lim

;

;

4)

lim 1

.

4x

2

x

x 0

3

x 0

x

Вариант 4,14,24.

1)

lim

x2 7x 10

при

а)х0 1,

б)х0 2,

в)х0

;

2 9x

10

x x0 2x

60