лекции мат. анализ

Тема 6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

6.1. Первообразная функции и неопределенный интеграл

Определение. Функция F ( x ) называется первообразной функцией для функции f ( x ) , если производная ее F' ( x ) = f ( x ) .

Определение. Совокупность всех первообразных функций F ( x ) + С для функции f ( x ) называется неопределенным интегралом

функции f ( x ) и обозначается f (x)dx F(x) C .

Таблица основных интегралов:

1. 1 dx x c .

2. x dx				x 1
								c	( 1) .
				1
3.	1
		dx ln			x		c .
	x			a x						Следствие: ex dx ex c .
4. a x dx							c		(a 0, a 1) .
			ln a

5.sin xdx cos x c .

6.cos xdx sin x c .

7.			1						dx tg x c .
			cos 2				x
8.			1					dx ctg x c .
		sin2					x
9.						1						arcsin x c;
												dx arccos x c.
			1			x		2
10.						1						arctg x c;
												dx arcctg x c.
					1 x2

Основные свойства интегралов

1. (U )dx Udx dx;

41

2. cUdx c Udx

Пример. Вычислить интегралы:

1. x3dx

x3 1

c

x4

c .

3 1

4

x4

1

4

1

3

3

Проверка.

(C)

x

0

4 x

x

.

4

4

4

1

x

1

1

x

2. x

2

3sin x

dx

xdx

dx 2

dx

x

sin

2

x

x

3 sin xdx

1

dx

x2

ln

x

2x

3cos x ctg x C.

2

2

ln 2

sin

x

6.2. Замена переменной в неопределенном интеграле

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:

а) x (t) , где (t) – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае: f (x)dx f (t) (t)dt ;

б) U (x) , где U – новая переменная. Формула замены пере-

менной при такой подстановке: f (x)dx f [ (x)] (x)dx f (U )dU

Задача 1. Найти интеграл 2ln x 3 3 dx . x

Решение. Перепишем данный интеграл в виде 2ln x 3 3 1x dx

. Так как производная выражения 2ln x 3 равна 2/х, а второй множитель 1/х отличается от этой производной только постоянным коэффи-

	циентом 2,			то			нужно применить подстановку 2ln x 3 t . Тогда
	2	dx	dt,	dx				1	dt . Следовательно,
		x		x			2

2 ln x 3 3 1x dx t3 12 dt 12 t3dt 18 t 4 C 18 2 ln x 3 4 C

.

42

Задача 2. Найти интеграл

e2 x

dx .

e4 x

1

Решение. e2 x

t , тогда e2 x dx

1

dt и

2

e2x

1

1

1

1

arctg e2x C .

dx

dt

arctg t C

e4x 1

2

t 2

1

2

2

6.3. Интегрирование по частям

Нахождение интеграла

dU

по формуле dU U Ud

называется интегрированием по частям. Здесь U=U(х), υ=υ(x) непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью этой формулы

нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла Ud

, ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

При этом за υ берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dU – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Так, например, для интегралов вида P(x)e xdx , P(x)sin xdx

, P(x) cos xdx , где P(x) – многочлен, за υ следует принять P(x), а за

dU соответствует выражение e x dx ,			sin xdx,		cos xdx . Для интегра-
лов вида	P(x) ln xdx,	P(x) arcsin xdx,		P(x) arccos xdx за υ при-
нимаются	соответственно функции		ln x,	arcsin x,		arccos x , а за

dU – выражение P(x)dx.

Задача. Найти интеграл x sin xdx .

Решение. Положим x,

dU sin dx , тогда d dx,

U cos x

. Отсюда x sin xdx x cos x cos xdx x cos x sin x C .

43

6.4. Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь вида							P(x)	, где P(x) и
							Q(x)
Q(x) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если
степень многочлена P(x) ниже степени многочлена Q(x); в противном
случае дробь называется неправильной.
Пусть необходимо найти интеграл от неправильной рациональ-
ной дроби. При помощи деления (по правилу деления многочленов)
неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы
целой рациональной			функции		и правильной рациональной дроби.
	x3 6		x 2		3x 4
Например,						.
	x2 2x 1			x2	2x 1
Затем знаменатель правильной дроби разлагается на множители
вида (x a) и (x2			x q) , а правильная дробь разлагается на

сумму элементарных дробей следующим образом:

P(x)

A1

A2

...

A

(x a) (x2 x q)

x a

(x a)2

(x a)

M1x N1

M 2 x N2

...

M x N

.

x2 x q

(x2 x q)2

(x2 x q)

Пример.

Найти интеграл

x3 x2

dx .

x2

6x 5

Решение. Выделим целую часть данной неправильной дроби:

x3 x2

x 7

37x 35

.

x2 6x

5

x2 6x

5

Разложим знаменатель на линейные множители по формуле:

ax2 bx c a(x x )(x x

2

) , где х

1

и х

2

– корни квадратного уравне-

1

ния ax2 bx c 0,

то есть

x2 6x 5 (x 1)(x 5) .

37x 35

37x 35

A

B

Ax 5A Bx B

(A B)x 5A B

,

x2 6x 5

x 1

x

(x 1)(x 5)

(x 1)(x 5)

(x 1)(x 5)

5

откуда получаем систему уравнений, приравнивая коэффициенты при

A B 37;

одинаковых степенях слева и справа

5A B 35.

44

	Решая ее, имеем: 4A 2,						A	1	,	B 37 A 37					1	37	1	,
								2							2		2
	значит: 4A 2 ,
		x	3	x	2					1		37 1
										2		2
	x2 6x 5 dx x 7									x 1		x 5 dx

		x2	7x					1											37				1	ln			x 5			C.
											ln			x 1
	2							2															2
	Тема 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
		7.1. Формула Ньютона – Лейбница
	b		b
	f (x)dx F (x) |			F (b)								F (a) ,
	a		a
	где F ( x ) – первообразная для f ( x ) , т.е. F' ( x ) = f ( x ) .
								4					dx
	Задача 1. Вычислить																		по формуле Ньютона – Лейбница.
								cos 2								x
								6
				4																																					3
							dx											4																			3					3
	Решение. Имеем													tg x | tg														tg						1											.
					cos 2
												x													4						6						3		3
																		6
				6
									e			ln2 x
	Задача 2.. Вычислить																	dx .
														x
								1
	Решение. Положим ln x t , тогда																						dx		dt . Если х = 1, то t = 0, ес-
																							x
												e				2							1												1			13 03
															ln				x	dx t 2 dt												1		t 3			1							1
	ли х = е, то t = 1. Следовательно,																																		|
												1				x							0								3				0		3					3

.

7.2. Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f1(x) и y = f2(x), [f1(x)≤f2(x)] и прямыми х=а и х=b, находится по формуле:

45

b

S f2 (x) f1 (x) dx

a

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными

линиями y = – x 2 , y = – x – 2 .

у

Решение.

Сделаем

–1

0

2

х

чертеж.

Найдем абсциссы то-

чек пересечения данных ли-

ний:

– x 2 = – x – 2 или x 2 – x –

2 =0 ,

x 1 = – 1 , x 2 =2.

Значит,

2

S x 2 ( x 2) dx

1

2

x3

x 2

2

8

4

1

1

x 2 x 2 dx

2x

1

4

2

3

2

3

2

3

2

1

= – 3 +1,5 +4 +2 = 4,5.

Объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции

b

вокруг оси Ох; находится по формуле: V f 2 (x)dx .

a

Длина кривой, заданной уравнением y = f (x), a ≤ x ≤ b , выражается

b

1 f (x) 2 dx

следующим образом:

a

Тема 8. Дифференциальные уравнения

8.1. Основные понятия

Определение. Уравнение вида

F(x, y, y', y'', …, y(n)) = 0, (*)

связывающее аргумент х, функцию у(х) и ее производные, называется дифференциальным уравнением (ДУ) n-го порядка.

46

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких

– то уравнением в частных производных. Мы рассмотрим только обыкновенные ДУ.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция у = φ(х, С1, С2, …, Сn), которая зависит от аргумента х и n независимых произвольных постоянных С1, С2, …, Сn , обращающая вместе со своими производными у/, у//, …, у(n) уравнение (*) в тождество.

Определение. Частным решением уравнения (*) называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным С1, С2, …, Сn определенные числовые значения.

Дифференциальное уравнение называется автономным, если

функция	зависит только от одной		переменной	,	если уравнение
имеет вид:	. Например, уравнение			- автономное.
Дифференциальное уравнение первого порядка называется не-
полным, если функция		явно зависит либо только от			, либо только от
. Например, уравнения		,	.

8.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка называется

уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде .

Для решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной окажутся в одной части равенства, а переменной - в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства. Например, из записанного выше

уравнения следует, что

и ∫

∫

Задача. Найти частное решение дифференциального уравнения

при начальных условиях

.

Решение

Заменим

на

и получим

, разделим переменные:

, интегрируем обе части уравнения:∫

∫

, получаем, что

,

потенцируя

последнее равенство, имеем:

. Это общее решение уравнения.

47

Для нахождения значения произвольной постоянной подста-

вим в общее решение уравнения		и	, получаес
откуда	. Частное решение имеет вид:		.

8.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Уравнение вида y'+ ρ ( x ) y =f ( x ) , где ρ(x) и f (x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Задача. Найти общее решение уравнения y' + 3 y =e 2x и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям х =0, у =1.

Решение. Данное уравнение является линейным.

Здесь ρ (x) = 3 и f (x) = e2x.

Решение ищем в виде y=U∙υ, где U и υ – некоторые функции от х. Находим y' =U' υ+Uυ' и подставляем в уравнение значение y и y',

получаем: U' υ + U υ ' +3 U υ= e 2x или U' υ + U ( υ ' +3υ)= e 2x.

Найдем одно значение υ, при котором выражение в скобках, обращается в нуль: υ' +3 υ=0 . Получим уравнение с разделяющимися пе-

	ременными. Решая его получаем:	d	3 0,	d	3dx,	ln υ =–3x,
		dx

υ= e –3x.

Подставляем найденное значение υ в исходное дифференциальное уравнение, получаем уравнение с разделяющимися переменными:

	U e 3x e2x ,	U e5x ,	dU e5x dx,	U	1	e5x C .
					5

Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:

	1		5x			3x
y		e		C	e		.
	5

Найдем частное решение. Для этого подставим начальные условия в выражение для общего решения и найдем С.

		1	5 0		3 0	1					4	.
	1		e	C	e ,	1		C	1,	C
		5					5				5

			1		4
	Частное решение имеет вид:	y		e5x		e 3x .
			5		5

48

8.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида y''+ ρ y'+q y=f ( x ) , где и q – вещественные числа, f (x) – непрерывная функция, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейное уравнение второго порядка вида:

y''+ ρ y'+q y = 0,	(1)
у которого правая часть f (x) равна нулю. Такое уравнение назы-
вается однородным.
Уравнение K 2 + ρ K +q =0	(2)

называется характеристическим уравнением данного уравнения

(1).

Характеристическое уравнение (2) является квадратным уравнением, имеющим два корня. Обозначим их через К1 и К2.

Общее решение уравнения (1) может быть записано в зависимости от величины дискриминанта D = ρ 2 – 4 q уравнения (2) следующим образом:

1. При D >0 корни характеристического уравнения вещественные и различные (К1 ≠ К2), и общее решение имеет вид

yC1eK1x C2eK2 x .

2.При D = 0 корни характеристического уравнения вещественные и равные (К1 = К2 = К), и общее решение имеет вид:

yeKx (C1 C2 x).

3.Если D <0 , то корни характеристического уравнения ком-

				D			i	D i , где i
плексные: K1,2										1 – мнимая
		2					2
единица,		,			D		и общее решение (К 1 = α +β i , К 2 = α – β i ,
	2			2

β ≠0), имеет вид y = e α x (C 1 cos βx + C 2 sin βx).

Задача 1. Найти общее уравнение y'' – y' – 2 y =0 .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид K 2 – K – 2 =0 , его корни К1 = 1, К2 = –2 вещественные и различные. Общее решение уравнения имеет вид y = C 1 e x + C 2 e – 2 x .

Задача 2. Найти общее решение уравнения y'' – 2 y' + y = 0 . Решение. Характеристическое уравнение имеет вид К 2 –

2 К +1 =0 , его корни К1 = К2 = 1 – вещественные и равные. Общее решение уравнения имеет вид y = e x (C 1 + C 2 x).

Задача 3. Найти общее решение уравнения y'' – 4 y' +1 3 y =0 .

49

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид К 2 – 4 К +1 3 =0 , его корни К1 = 2 +3 i, К2 = 2–3i комплексные. Обще решение уравнения имеет вид y = e 2 x (C 1 cos3x + C 2 sin3x).

Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение второго по-

рядка:
y''+ ρ x+q y = f ( x ) ,	(3)
где f ( x ) – непрерывная функция, отличная от нуля.

Общее решение такого уравнения представляет собой сумму

~

частного решения y неоднородного уравнения (3) и общего решения

y о соответствующего однородного уравнения (1):

~ y yo y .

Поскольку нахождение общего решения однородного уравнения мы уже рассмотрели, то остаются рассмотреть вопрос о нахождении частного решения. Рассмотрим различные виды правых частей уравнения (3).

1) Пусть правая часть имеет вид f(x)=e xPn(x), где Pn(x) – многочлен

степени n. Тогда частное решение	~	~	r x	, где
	y	ищем в виде y	Qn (x)x e

Qn(x) – многочлен той же степени, что и Pn(x), а r – число, показывающее, сколько раз α является корнем характеристического уравнения.

Задача 4. Найти общее решение уравнения y''– 2 y' + y = x 2 +1 . Решение. Общее решение соответствующего однородного урав-

нения имеет вид yo = e x (C 1 + C 2 x)(см. пример 2). Так как правая часть уравнения является многочленом второй степени и ни один из корней

характеристического		уравнения			x2 2x 1 0 не			равен		нулю
					~	Ax	2	Bx C , где А,
(К 1 = К 2 =1 ), то частное решение ищем в виде y
В, С – неизвестные		коэффициенты. Дифференцируя							дважды		~
											y
2		~	=Ax	2	~	2Ax B ,			~		в
=Ax	+Bx+C и подставляя y				+Bx+C, y'				y' ' 2A
данное уравнение находим			2 A – 4 A x – 2 B +A x 2 +B x +C =x 2 + 1,							или
A x 2 + ( B – 4 A ) x+ 2 A – 2 B+ C =x 2 + 1.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства, имеем А=1, В-4А=0, 2А-2В+С=1, Находим А=1, В=4,

С=7.

Итак,

частное

решение

данного

уравнения

имеет вид

~

2

4x

7 , а общее решение -

y e

x

(C1

C2 x) x

2

4x 7 .

y x

Задача 5. Найти общее решение уравнения и частное решение,

удовлетворяющее начальным условиям

y y 2y 3e

2x , x

0

0,

y

0

1,

y

3 .

0

Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид yo = C 1 e x + C 2 e – 2 x (см. пример 1). В правой части

50