лекции мат. анализ

x 3

sin 2x

3x 1 x 1

2) lim

;

3)

lim

;

4)

lim

.

x 3

x 1

2

x 0

sin x

x

3x 2

Вариант 5,15,25.

1)

lim

2x2 7x 4

при

а)х0 1,

б)х0

4,

в)х0 ;

20

x x0 2x2 13x

5x 2 2 x 1

х 3 3

sin x

2)

lim

;

3)

lim

;

4)

lim

.

x 6

x 6

x 0 arcsin x

x

5x 3

Вариант 6,16,26.

1)

lim

x2 10x 21

при

а)х0 1,

б)х0

3,

в)х0 ;

x2 8x

15

x x0

6 x 1 x

х 1 2

arcsin 3x

2) lim

;

3)

lim

;

4)

lim

.

x 3

6x

7 x

x 3

x 0

x

Вариант 7,17,27.

1)

lim

2x2 x 10

при

а)х0 1,

б)х0 2, в)х0

;

x2 x 2

x x0

x

lim sin 2x ctg x ;

7x 3 x

2)

lim

;

3)

4)

lim

.

x 0 2 x 4

x 0

x

9x 3

Вариант 8,18,28.

1)

lim

2x2 7x 4

при

а)х0 1,

б)х0

4,

в)х0 ;

20

x x0 2x2 13x

1 x

2

sin 3x

x 3 2 x 1

2)

lim

;

3)

lim

;

4)

lim

.

1

tg5x

x

x 0

x

x 2

x 1

Вариант 9,19,29.

1)

lim

x2 4x 21

при

а)х0 2,

б)х0

3,

в)х0

;

x x0 2x2 7x 3

x x 3

1 х 1

2(1 cos x)

2)

lim

;

3)

lim

;

4)

lim

.

x 0

x

x 0

x2

x x 1

Вариант 10,20,30.

1)

lim

x2 25

при

а)х0 3,

б)х0

5,

в)х0 ;

x x0 x 2 8x 15

3

1 3x x

1 x 1

lim sin 3x ctg 5x ;

2) lim

;

3)

4)

lim

.

x 0

x

x 0

x

1 2x

61

Задание 4

Найти производные функций.

Вариант 1,2,3.

y e x2

ln

б) y arccos

e x

y sin x x cos 2x .

а)

x ;

;

в)

x2

Вариант 4,5,6.

а)

y

ln(x2

2) ;

б)

y arcsin

2x

2x ;

в)

y 2x cos x(x3

2) sin x .

Вариант 7,8,9.

1 2x

x

.

а)

y ln

;

б)

y arctg

e x

1 ;

в) y tg

cos x

ctg x

Вариант 10,11,12.

б) y

arctg x

x sin x cos x

.

а)

y ln

x2 1 e

x ;

;

в) y

3x

x 2

x

Вариант 13,14,15.

4 x

cos 4x

а)

y ln ln x e

x ;

б)

y arcctg

;

в) y

.

3

x

x

sin

x

4

4

Вариант 16,17,18.

sin 2x

x

3

а) y e

ln x ;

б)

y arccos

;

в) y

2x sin 4x tgx .

3

x

Вариант 19,20,21.

x

1

y arctg

4x e x ;

а)

y e 2

ln sin x ;

б)

в) y

.

(1 sin 2x)3

Вариант 22,23,24.

y (1 x2 ) arctg e x ; в) y 3 1 cos 2 x .

а)

y e

sin x ln x ;

б)

Вариант 25,26,27.

y ln

e x

y 2x2 arctg

в) y

1

а)

;

б)

2 ;

.

(x cos 3x)2

x2 x

Вариант 28,29,30.

arctg

1

б) y

1

а)

y ln(x2 5x ex ) ;

x

;

в) y ctg 3 x 3 2x

.

2 x x

x

62

Задание 5

Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить график.

	Вариант	Функция								Вариант	Функция											Вариант	Функция
	1				x2					11			x2		1							21	y							3
		y x 5									y x2 9															2				x2
	2				2x2					12			x2		3							22						x2				1
		y 2x 3									y x2				3								y x2									1
	3				x2					13			x2		4							23						x2				1
		y x 1									y x 2 1												y 2x2 1
	4				x2 1					14			x2		12							24	y					x2				4
		y x2 9									y		x 2															x		2 1
		y			1								x	2			1											x	2			3
	5									15												25	y
					1 x2						y		2		x															x2
	6	y			x2					16	y			x 1								26	y					x2 1
													x 2
					x2 4																							x2 4
	7				x2					17			x2		1							27						x2				1
		y x2 10									y x 2												y x2 2
					x 2										1													x2 1
	8	y								18	y x											28	y
					x 2 5											x
																												x 1
	9	y			x 1					19			4x2 3									29				x2						2
					x2						y 2x2 1												y 5									x
		y			1 x								x2 2																	2		2
	10				x2 1					20	y x2 1											30	y x x

63

Задание 6

Найти полный дифференциал функции, градиент и производную вдоль

вектора l (1;2) .

Вариант

Функция

Вариант

Функция

z x2 y2

z x3 y2 xy3

x y

16.

x y

31.

z

x y

exy

17.

z ln

x2 y2 2x

32.

x y

18.

z

x y x ln xy

33.

z xy3

ytgx x 3

z y ln(3 x) y2x

19.

z x

3 y

6 y ctg x2

34.

y

xey

z

x y

20.

35.

z y x

x y sin y

x

21.

z

2 y3x 7xy

36.

z ln

x2

xy 3x

xy 2

22.

z ln

x x xy

37.

z e

x

z sin y

z

2 y3 / 2

7x7 y

23.

38.

x

y

z

y

xe3 y

24.

z

x

2

y x ln y

39.

x

3x

25.

z arcctg

cos y

40.

z arctg

y

1

y

x

x

3x y

e2 y

ln

y

26.

z

41.

z

x3

4 x y

x

27.

z x y

y cos x

42.

z y x

y

sin y

x

z

y

exy

28.

43.

z ln

y

x

y

x

29.

z x y y x

44.

z

xy

sin x

x y

30.

z ex2 y2

45.

z arctg

y

cos y

x

64

Задание 7

Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

Вариант

1,

3,

5.

2,

4,

6.

7,

9,

11.

8,

10,

12.

13,

15,

17.

14,

16,

18.

19,

21,

23.

20,

22,

24.

25,

27,

29.

26,

28,

30.

Интеграл

а)

x3dx

; б)

ln5 (x 7)

dx

; в) x arctg xdx .

3

1 x

4

x 7

а)

x2

arctg 3 4x

dx ;

б)

dx ; в) 3 x2 ln xdx .

x3 1 2

1 16x 2

а)

dx

dx ; б)

cos 2xdx ; в) x e 6x dx .

2 3sin 2x

x ln x

а)

sin x cos xdx ; б)

x7 dx

; в) x cos 6xdx .

4

6

3 2x

а) e x2

xdx ; б) 4

sin 3xdx ; в) x3 ln xdx .

2 3cos 3x

а)

sin 2x

dx

; б)

x8dx

; в) x cos 7xdx .

1

cos x

4 3x

9

tg xdx ; б)

sin 6xdx ; в) xe 4x dx .

а)

4 cos 6x

8x6

dx ; в) x arctg 6xdx .

а) 3 4 e6x e6x dx ; б)

3

7

1 x

а)

xdx

; б)

ln4 (x 7)

dx

; в) x e3x dx .

4

1 x

x 7

а)

x3dx

; б)

arcsin 4 2x

dx ; в) x sin 4xdx .

3

1 4x

4

1

4x

2

65

	Задание 8
Найти площадь, заключенную между линиями.
Вариант 1,2.	y = x 2 – 5 x +6 ; y = x – 2 .
Вариант 3,4.	y = – x 2 – 7 x – 1 2 ; y = x +3 .
Вариант 5,6.	y = x 2 – 3 x +4 ; y = x +1 .
Вариант 7,8.	y = – x 2 – 5 x – 1 ; y = x +7 .
Вариант 9,10.	y = x 2 – 7 x +1 2 ; y = x – 3 .
Вариант 11,12.	y = x 2 – 5 x +7 ; y = x – 1 .
Вариант 13,14.	y = x 2 – 5 x +8 ; y = x .
Вариант 15,16.	y = – x 2 – 1 1 x – 3 0 ; y = x +5 .
Вариант 17,18.	y = x 2 – 5 x +5 ; y = x – 3 .
Вариант 19,20.	y = – x 2 – 5 x – 6 ; y = x +2 .
Вариант 21,22.	y =2 – x 2 ; y = x 2 .
Вариант 23,24.	y = – 2 + x 2 ; y = – x 2 .
Вариант 25,26.	y = x 2 ; y =2 + x .
Вариант 27,28.	y = – x 2 ; y = – 2 + x .
Вариант 29,30.	y = x 2 ; y = x.
	Задание 9
Решить дифференциальное уравнение первого порядка с разде-
ляющимися переменными.
Вариант 1, 30:	y 3x2 2 .
Вариант 2, 29:	(x 2)dx 2dy 0 .
Вариант 3, 28:	y 2x 1.
Вариант 4, 27:	y sin x cos x .
Вариант 5, 26:	4x 3y2 y 0 .
Вариант 6, 25:	3xdy 2ydx .
Вариант 7, 24:	y 2xy .
Вариант 8, 23:	ex y 1.
Вариант 9, 22:	y y cos x .

66

Вариант 10, 21:	(x 1)dx 2xydy 0 .
Вариант 11, 20:	y	1 2x	y 0 .
		x2
Вариант 12, 19:	y (x 1) y .
Вариант 13, 18:	xy 2x4 ;
Вариант 14, 17:	xy y 2.
Вариант 15, 16:	y y 4x3 .

Вариант 1, 21:

Вариант 2, 22:

Вариант 3, 23:

Вариант 4, 24:

Вариант 5, 25:

Вариант 6, 26:

Вариант 7, 27:

Вариант 8, 28:

Задание 10.

Исследовать на сходимость ряды:

а)

1

n n2 ,

б)

n 1

2n 1 .

1

n

n 1

3

n 1

n 1

n n 1

а)

1

1

n2 ,

1

4

n

n

n 1

а)

2n2 1

n2 ,

n

2

1

n 1

а)

4

2n

n

n

n 1

3n

5

а)

2n 1 n2

n 1

3n 2

а)

2n 2 n

n

n 1

3n 1

а)

4n 3 n3

n 1

5n 1

а)

n

n2

n 1

10n 5

б)

1 n 1 .

ln

n 1

n 2

б)

1 n .

1 ln n

n 3 n

.

б)

1

n

n 3

n ln n 1

б)

1

n 1

.

n

4

2n

3

n 1

б)

.

1

3

1

n

cos

6n

n 1

б)

1

.

n

n 3

n ln 2n

б)

1 .

1 n tg

n

n 1

								1	n 1
Вариант 9, 29:	а)			б)
		n arcsinn
			4n				n			2n
					n 1
		n 1						1 2

67

Вариант 10, 30:

Вариант 11, 16:

Вариант 12, 17:

Вариант 13, 18:

Вариант 14, 19:

Вариант 15, 20:

а)					n 2				n2
	n 1				3n 1
а)		n 1 n						n
								5	n
	n 1				n

б)		1 n 1 .
		n 1 3 2	n
	n 1

б) 1 n 2n 1
n 1	3n

а)

2n 3

n2

б)

1

n

.

2n 1

n 1

n 0

n 1

2n 1 2

3n 2

n

n

.

а)

2

б)

n sin

n

n 1

1

n 1

4n 1

n 1

n n

а)

n 1 n2

б)

1 n .

n

2

sin

2

n

n 2

2n

3

n 1

а)

n

2n 1

б)

n

1 .

1

ln 1

n

2

n 1 3n 1

n 1

68

ЛИТЕРАТУРА

1.Архипов Г.И. и др. Лекции по математическому анализу: учеб. для вузов.– М.: Дрофа, 2008. – 640 с.

2.Баврин И.И. Математический анализ: учеб. для вузов. – М.: Выс-

шая школа, 2006. – 327 с.

3.Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа: учеб. пос. для вузов. – 14 – е изд., стер. – СПб.: Лань, 2008. –

736с.

4.Богданов Ю.С. и др. Математический анализ: учеб. пос. для вузов.

– М.: Высшая школа, 2006. – 327 с.

5.Высшая математика для экономистов: учкебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям/ под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – 3-е изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. – 479 с.

6.Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям/ под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – 3-е изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. – 479 с.

7.Гурова З.И. и др. Математический анализ. Начальный курс с примерами и задачами. – 2–е изд., перераб. и доп. – М.: ФИЗМАТЛИТ.

2007. – 352 с.

8.Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: учеб. пос. для вузов. – М.: Аст: Астрель, 2009. – 60 с.

9.Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/ под ред. Б.П Демидовича – М.: Астрель, 2008. – 495 с.

10.Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу: учеб. пос.– 5–е изд., стер. – СПб: Лань, 2009. – 464 с.

11.Киркинский А.С. Математический анализ: учеб. пос. для вузов. – М.: Академический Проект, 2006. – 526 с.

12.Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. – СПб.:

Питер, 2009. – 464 с.

13.Контрольные задания по общему курсу высшей математики / Ж.А.Черняк, А.А.Черняк, О.А.Феденя и др.: Под общей редакцией Ж.А.Чернякк, А.А.Черняка. – СПб.: Питер, 2006. – 446с.

14.Малыхин В.И. Математика в экономике: Учебное пособие. – М.:

ИНФРА-М, 2000. - 356 с.

15.Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. – 2 – е изд. испр. – М: Айрис-пресс, 2003. – 288 с.

16.Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 2 часть. – 2 – е изд. испр. – М: Айрис-пресс, 2003. – 256 с.

17.Сборник задач по высшей математике для экономистов / под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2009. – 575 с.

69

СОДЕРЖАНИЕ

Тема 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1.4.Понятие множества

1.5.Операции над множествами

1.6.Числовые множества

1.4.Понятие функции

1.5.Способы задания функции

1.6.Свойства функций

1.7.Элементарные функции

1.8.Сложная функция

1.9.Обратная функция

Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ

2.1.Предел последовательности

2.2.Предел функции в точке

2.3.Предел функции на бесконечности

2.4.Первый замечательный предел

2.5.Второй замечательный предел

Тема 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

3.1.Определение производной и дифференциала функции

3.2.Вычисление производных

Тема 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Тема 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

5.1.Основные понятия

5.2.Частные производные и полный дифференциал 1-го порядка

5.3.Градиент функции. Производная по направлению

5.4.Экстремум функции двух переменных

Тема 6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

6.1. Первообразная функции и неопределенный интеграл

70