Вища Математика для Економістів

Теорема. (Умови розвинення функції f x в ряд Фур’є) Якщо періодична функція з періодом 2 кусково-монотонна і обмежена на

відрізку ; , то ряд Фур’є,			побудований для цієї функції, збігається
в усіх точках. Сума цього ряду S x дорівнює значенню функції						f x
в точках неперервності функції. В точках розриву функції f x						сума
ряду дорівнює середньому арифметичному границь функції						f x
справа та зліва, тобто якщо x c - точка розриву функції f x , то
S x		x c		f c 0 f c 0	.	(81)
			2

Неповні ряди Фур’є

Якщо функція f x , яка задовольняє умовам розвинення у ряд Фур’є на відрізку ; , є парна, то її коефіцієнти

				2
	a0				f x dx;
					0
		2
	an			f x cosnxdx;		(82)
				0

bn 0.

Ряд Фур’є такої функції містить тільки косинуси:

	f x	a0
			an cosnx .	(83)
	2		n 1

Якщо функція f x , що розвивається в ряд Фур’є, є непарна, то її коефіцієнти Фур’є

a0	an			0;
		2			(84)
bn				f x sinnxdx.
				0
Для такої функції ряд Фур’є міститиме тільки синуси:
f x bn sinnx.					(85)
			n 1
Тому ряди (83) та (84) називають неповними.					f x x ,
Приклад 27. Розвинути в ряд Фур’є функцію

x .

Ця функція кусково-монотонна й обмежена. Вона допускає розвинення в ряд Фур’є.

521

				y
4	3	2		0	2	3	4
							x

Рис.1.

Далі за формулами (77)-(79) отримуємо:

1

1 x 2

a0

xdx

0.

2

1

1

sinkx

1

ak

x coskxdx

x

sinkxdx 0;

k

k

1

1

coskx

1

k 1

2

bk

x sinkxdx

x

coskxdx

1

.

k

k

k

Таким чином отримали ряд

f x 2	sin x		sin 2x		sin 3x	... 1 k 1	sinkx	... .
	1	2		3			k

Ця рівність вірна в усіх точках, окрім точок розриву. В кожній точці розриву сума ряду дорівнює середньому арифметичному її границь зліва та справа, тобто нулю.

Приклад 28. Розвинути в ряд Фур’є функцію y x 2 ,

x .

На заданому відрізку ; функція y x 2 обмежена, кусково-неперервна. Тому вона допускає розвинення в ряд Фур’є, тобто буде сумою ряду.

				y	2
4	3	2			0	2	3	4	x

Рис.2.

522

Функція парна, тому коефіцієнти обчислюємо за формулами

(83):

	2			2	2 x 3						2		2
a0			x dx											;
					3						3
			0							0

				u x 2		;	du 2xdx
		e
an			x 2 cosnxdx						1
			0							sinnx
				d cosnxdx;V
					V			n

2

2

2

u x;

du dx

x

sinnx

x sinnxdx

1

n

n

0

0

dV

sinnxdx;V

cosnx

n

4

x

1

4

n

4

cosnx

sinnx

cosn 1

.

n

n

n 2

n 2

n 2

0

0

Зауваження. Завжди доцільно використовувати тотожність

cosn ( 1)n ,					n Z ;
bn		1		x 2 sinnxdx 0 ,	(86)

тому що інтеграл від непарної функції, взятий по відрізку, симетричному відносно початку координат, дорівнює нулю.

Отже, маємо

			3		n
	x 2			4	1	cosnx .
					2
	3			n 1	n
Якщо	функція f x 2			- періодична і відповідає умовам
розвинення	в ряд Фур’є, але задана				не	на відрізку ; , а на

якомусь іншому довжиною 2 , то формули для коефіцієнтів (77)-(79) мають місце, але інтеграли обчислюють по заданому відрізку.

Ряд Фур’є для функції з довільним періодом
Розглянемо функцію f (x) , вона є періодична з			періодом
2l(l 0):
f x 2l f x , x D .			(87)
Період 2 називають стандартним.
Поклавши
x	l	t ,

523

Кожну функцію з довільним періодом зведемо до функції із стандартним періодом. Тому рядом Фур’є для такої функції буде ряд

	a					nx			nx
		0
				an	cos		bn	sin			,
	2					l			l
			n 1

а коефіцієнти визначатимуться формулами:

	a0				1	l	f x dx ;
					l
						l
an		1	l	f x cos				nx	dx ;
		l						l
			l

(88)

(89)

b	1	l	f x sin	nx	dx .	n N
	l
n				l

l

Умови розвинення аналогічні.

Завдання для самостійної роботи

Довести збіжність чи розбіжність рядів:

1.		1							1			...							1					....
	2!							3!											2n 1 !
2.	tg								2tg									... ntg										... .
			4											8												n 1
																									2
3.	1											1					...								1				....
		ln 2									ln2 2											lnn n 1
4.			1											1						...					1			....
		2 ln 2											3 ln 3									n lnn
5.	1				2				...										n			... .
															2n 1
			3

Дослідити збіжність рядів:

		n							n 2									n			n
6.				.	7.								.	8.							.
			n						3	n							2n 1
n 1		2						n 1						n 1
					1													1 n			2
10.											.			11.							.
			(n 1)ln				2												2
	n 1							(n 1)						n 1		1 n
								1														1
13.	( 1)n 1											.		14. ( 1)n 1									.
									3													n
	n 1					(2n 1)								n 1								n2

Визначити інтервал збіжності ряду

16.1 x ...xn ... .

17.ln x ln2 x ... lnn x ....

			1
	9. arcsinn			.
	n 1		n
		1
	12. ( 1)n 1				.
	n 1	2n 1

n 1 n 1

15.( 1) .

n 1

n

524

18.		1						1				...		1				....
								1 x 2
	1 x												1 xn
19.	sin		x				sin		x			... sin			x			... .
															n
	2							4			2
20.	xtg			x			x 2tg				x		... xn tg					x	... .
											4							n
	2																2

21.Розвинути функцію y ln x в ряд Тейлора в околі точки x 1 (при x0 1).

22.Розвинути функцію y e x sin x в ряд Маклорена.

23.Знайти інтервали збіжності степеневих рядів:

x

x2

n 1

xn

а)

... ( 1)

....

2

n

б)

1 3x ... (n 1)3n 1 xn 1 ....

x

x 2

xn

в)

...

... .

1 2

2 3

n (n 1)

Знайти області збіжності степеневих рядів:

		n
24. 10n xn .	25.	x	.
		n 1
n 1	n 1 n10

26. Розкласти функцію y ln x у ряд Тейлора в околі точки х=1 (х0=1).

27.Розкласти функції у ряд Тейлора в околі точки х=0:

а) y e2x ; б) y e x2 ; в) y x 2e x .

28.Записати у вигляді степеневого ряду частинний розв’язок

рівняння y xy y 1 0, y		x 0	0,	y		x 0	0.

29. Знайти шість перших членів розкладу в степеневий ряд

розв’язку диференціального рівняння			y (1 x 2 )y 0,			що
задовольняє початковим умовам y		x 0 2,	y		x 0 2.
30. Розкласти в ряд Фур’є функцію f (x) x			на відрізку 0,			в ряд
по синусам.

31.Розкласти функцію f (x) x на відрізку 0, в ряд Фур’є по косинусам.

32.Розкласти в ряд Фур’є періодичну функцію f (x) з періодом 2l ,

яка на відрізку l,l задана рівністю f (x) x .

525

ВІДПОВІДІ

1. Збігається. 2. Збігається. 3. Збігається. 4. Розбігається. 5. Розбігається.

10. Збігається. 11. Збігається. 12. Збігається умовно. 13. Збігається

абсолютно. 14. Збігається абсолютно. 15. Розбігається.																																																																16. 1 x 1.
17. 1 x 1.																			18. x 1													та x 1. 19. для будь-якого х. 20.																																	2 x 2 .
23. а) 1 x 1,																						б)							1		x						1			, в) 1 x 1. 24. (-0,1;0,1). 25. [-10;10).
																											3									3
																							n																				n 1																	2(n 1)							n 1
26.					( 1)n 1													(x 1)								. 27. а)															(2x)				.		б)		( 1)n 1									x					.		в)	x		.
				n 1																n																n 1					(n 1)!								n 1									(n 1)!							n 1 (n 1)!
				x		2										(2n 1)x									2n 2																									x		3					x		4			7x		5
28.																															.	29.				y 2 2x x 2																													...
																			(2n 2)!
			2								n 1																																						3					4						60
30.																																sin x										sin 2x						sin 3x																			31.
																										x 2																										... .
																																										2							3
																																1
x										4 cos x													cos 3x												cos 5x																																32.
																																											... .
			2												1										3		2									5		2
																																															2p 1
																						x											3			x																		x
					l						4l				cos													cos																cos
	x																				l												l																l
																																							...																	... .
			2								2								1													32
																																														2p 1 2

526

Варіанти індивідуальних завдань

Завдання 1. Дослідити на умовну та абсолютну збіжність числовий ряд.

			1				1
	1.	1 n 1		.	2.	1 n 1		.
			n
		n 1	n 2			n 1	2n 1

		1 n 1						n
3.													.
	n 1					n 1
			1 n 1
5.									.
			n!
	n 1
		1 n			n 1
7.														.
	n 1				2n 2
			n 1						n
9.		1														.
						n			3		1
	n 1
						1 n
11.																		.
			n 1 ln								2	n 1
	n 1
		1 n							1
13.																.
				n n 1
	n 1
			n			n		n
15.			1							.
			(2n)!
	n 1

							1 n
	4.																.
		n 1		1 2 3 ... n
								n 1		n
	6.				1							.
							n
		n 1				2
				1 n 1					1
	8.														.
		n 1							n 2
					1 n 1
	10.													.
		n 1			2n 1 !
								n 1		n
	12.				1							.
		n 1				2n 1
					n 1			n	2		3
	14.		1													.
	n 1					n 7 1
								n 1		n
	16.				1								.
		n 1		100n 1

527

																				n
						n					n
				1
17.									2n 1											.
		n 1
						1 n
19.															.
		n 1			n ln(n 1)
					1 n 1
21.										.
					n 7				n
		n 1
					1 n 1
23.												.
		n 1			(3n 2)!
			1 n n 3
25.														.
				n		2		1
	n 1
						n			2n									n
27.				1														.
									3n 5
		n 1
				1 n sin							10
29.																.
		n 1										n

			1 n 1tg										1
	18.													.
		n 1											4n
								2n 1
	20.	1 n 1														.
							n n 2
		n 1
								n
	22.			1							.
		n 1		lnn
						n						3				n
	24.		1													.
		n 1						2n 1
	26.	cos									.
						n
		n 1	3
				1 n
	28.												.
		n 1	n lnn
								n
	30.				1						.
		n 1		n n

Завдання 2. Знайти область збіжності степеневого ряду.

n 1

x n

n

1.

1

.

2.

n 2

x

n

.

n 1

n

n 1

n 0

!

k 1

x 2k 1

n 1

x 3n

3.

1

.

4. 1

.

n!

n 1

2k 1

n 1

528

		n 1 xn
5.		1			.
			3	n
	n 0
7.	nxn .

n1

9.2n x 3 n .

n0

x 2n 1n

	11. 1		.
		1 2 ... 2n 1
	n 0

13. nn xn .

n 0

n

n

15.

1 x

.

n

n 1

xn

17.

.

2n 1

!

n 0

3n xn

19.

.

n 0

1 4n 5n

x 5 n

21.3n 1n 2 1.n 0

					1		n 2		n
23.		1					x			.
					n
	n 1
			xn
25.								.
			10			n 1
	n 1 n
		x	n
27.				.
			2
	n 1 n
					xn
29.											.
	n 0	n 1 n 2

					2n
6.		x					.
		2
n 1		n
											2
8.		x 2											.
n 1					n
						2n
10.					x				.
						n
	n 0		2
						x	n
12.										.
	n 0 n 1
							x		n
14.																.
	n 1 n n 3
						n
16.				x				.
						n
	n 0		5
18.	xnn!.
	n 0
					x 1 n
20.																		.
						n	n
	n 0		2											3
			n 1												n				n
22.																		x		.
	n 0		2n 1
											1			n
																								n
24.			x														tg										.
											2								n		3			1
	n 0
									n 1												x			2n 1
26.			1																									.
	n 1														2n 1 2n 1 !
									n 1 x 2n 1
28.			1																				.
	n 1														2n 1
									n							xn
30.			1																			.
																			2
	n 0											n 1

529

Завдання 3. Обчислити з точністю до 0,001 визначений інтеграл.

		0,3
	1.	e x2 dx.
		0
		0,5			arctgx
	3.							dx.
		0				x
		0,5				dx
	5.									.
					1 x 4
		0
		1	sinx
	7.						dx.
		0			x

1/2

9. ln1 x 2 dx.

0

		1
	11.	3			x		cos xdx.
		0
		0,5
	13.			arcsin x									dx.
		0							x
		1						x 2
	15.	sin									dx.
		0			3
		1/2
	17.				3 1 x 3 dx.
		0
		1
	19.	e x 2 dx.
		0
		1			dx
	21.									.
					4
		0	1 x
		1/2			x
	23.								dx.
					x
		0			e

0,2

dx

2. 0 31 x 2 .

/4

4.sin x 2dx.

0

1/3

x

6. dx.

0 1 x

1/4

8. e x2dx.

0

	2	sinx
10.							dx.
	0			x
	1/3					dx
12.																	.
				3 1 x 2
	0
	1/2
14.	e x2dx.
	0
	0,6
16.			3 1 x 2 dx.
	0
	/2			sin x
18.										dx.
	0					x
	1			dx
20.									.
				3
	0	1 x
	1 arctg							x
								2
22.												dx.
	0					x
	1				dx
24.														.
	0			9 x 2

530