51

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Дніпропетровський національний університет

ім. Олеся Гончара

Фізичний практикум із розділу

“Механіка та молекулярна фізика”

2011

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Дніпропетровський національний університет

ім. Олеся Гончара

Кафедра квантової макрофізики

Фізичний практикум із розділу

“Механіка та молекулярна фізика”

Дніпропетровськ

РВВ ДНУ

2011

Уміщено методику виконання лабораторних робіт до розділу “Механіка та молекулярна фізика”. Описано методи вивчення фізичних явищ і визначення певних фізичних характеристик.

Для студентів інженерних спеціальностей ДНУ.

Темплан 2011, поз.18

Фізичний практикум із розділу

“Механіка та молекулярна фізика”

Укладачі: канд. фіз.-мат. наук, проф. С.П.Юдін

канд. фіз.-техн. наук, доц. Є.А.Сизько

канд. фіз.-техн. наук, доц. Н.В.Могилевська

Редактор А.Я. Пащенко

Техредактор Л.П.Замятіна

Коректор А.А. Гриженко

Підписано до друку 25.07.11 Формат 60х84/16. Папір друкарський. Друк плоский.

Ум. друк. арк. 3,0. Обл.-вид.арк. 2,1. Ум. фарбовідб. 3,0. Тираж 100 пр. Зам.№

РВВ ДНУ, просп. Гагаріна, 72, м.Дніпропетровськ, 49010.

Друкарня ДНУ, вул. Наукова,5,м. Дніпропетровськ, 49050

Математична обробка результатів вимірювань

Фізична класифікація вимірювань

Основа будь-якої лабораторної роботи є вимірювання тієї чи іншої величини. Виміряти фізичну величину означає порівняти її з однорідною величиною, взятою за одиницю. З позиції проведення вимірювань розрізняють декілька фізичних методів.

Метод безпосередньої оцінки передбачає вимірювання шля­хом відліку за шкалою приладу (наприклад, діаметр дроту визначають за мікрометром, величину сили струму або напруги за шкалою амперметра чи вольт­метра відповідно).

Метод послідовного порівняння: замість шуканої величини знаходять пропорційні величини, які надійніше чи не так важко вимірювати.

Метод збігу застосовують, наприклад, коли визначають період коливань маятника: секун­доміром вимірюють один і той же (збіжний) інтервал часу, за який випробову­ваний і секундний маятники здійснюють різні, але цілі числа коли­вань.

Нульовий метод застосовують, коли вимірювана величини компенсується дією подібної ве­личини, яка діє в протилежному напрямку.

Математична класифікація вимірювань

З огляду на математичні операції, які потрібно здійснити над вимірюваними величинами для визначення потрібної, вимірювання поділяють на прямі, у результаті яких одержують потрібну величину; непрямі – щоб знайти потрібну величину, необхідно виконати певні математичні дії над результатами прямих вимірювань.

Класифікація похибок

Виміряти фізичні величини абсолютно точно неможливо, тому що будь-яке вимірювання супроводжує та чи інша помилка або похибка. Похибки, допустимі під час вимірювань, за своїм характером розподіляють на систематичні, випадкові та промахи.

Систематичні похибки обумовлені вибором методу або вимірювальних приладів. У всіх вимірюваннях, які проводять одним і тим же методом за допомогою одних і тих же приладів, величина похибок однакова. Основним за­вданням у процесі вимірюваня повинен бути облік та виклю­чення систематичних похибок, які в деяких випадках можуть бути настільки вели­кі, що зовсім спотворюють результати.

Систематичні похибки можна поділити на чотири групи:

а) похибки, природа яких відома й величина може бути достатньо точно ви­значена. Такі похибки усувають введенням відповідних поправок;

б) похибки відомого походження, але невідомої величини. До таких належить, наприклад, похибка вимірювального приладу, яка іноді може залежати від класу точності приладу. Якщо на приладі зазначений клас точності 0,5, це означає, що його показання правильні з точністю до 0,5% від усієї діючої шкали. Макси­мальні похибки вимірювальних лінійок, мікрометрів тощо наносять на сам прилад або вказують у його паспорті. Систематичні похибки описа­ного типу виключати не можна, але їх найбільше значення відоме;

в) третій вид похибок найнебезпечніший. Це похибки, про існування яких не здогадуються, а величина їх може бути значна. Вони найчастіше мають місце в разі складних вимірювань. Один із найбільш надійних способів пе­реконатись у відсутності таких похибок – провести вимірювання іншим методом і за інших умов;

г) похибки, зумовлені властивостями вимірюваного об´єкта, зокрема деякими дефектами – тріщинами, неоднорідностями. Такі похибки треба намагатися перетворити на випадкові. Це підвищує точність одержаних результатів. Наприклад, необхідно виміряти видовження стрижня під дією розтягу. Якщо визначити зміну його дов­жини й пружних властивостей залежно від температури, то, виконуючи вимірювання за різних температур, можна вносити відповідні поправки. Але замість цього можна, не знаючи залежності властивостей стрижня від температури, здійснити ряд вимірювань за різних, навмання вибраних температур. Похибка, яка виникне внаслідок зміни температури, буде випадкова, а кінце­вий результат – відповідати подовженню стрижня за середньої температури. Зро­зуміло, що такий прийом виключення систематичної похибки не завжди можли­вий, тому розподіл усіх похибок на систематичні та випадкові доцільний.

Таким чином, систематичні похибки в більшості випадків можна ліквіду­вати, враховуючи їх у вигляді поправок до показань приладів, перевіряючи за еталонами або перетворюючи на випадкові.

Випадковими називають похибки, обумовлені великим числом при­чин. Такі похибки можна звести до мінімуму, але повністю уникнути їх неможливо.

Випадкові похибки залежать від неточності вимірювальних приладів, не­досконалості наших органів чуття та безперервної дії змінних зовнішніх умов. Випадкові похибки вивчає теорія ймовірності: результат вимірювання може бути з однаковою ймовірністю як більше, так і менше справжнього значення. Тому середнє арифметичне з великого числа вимірювань, безумовно, буде найближче до вимірюваної величини.

Промахи – помилкові вимірювання чи спостереження, які мають місце внаслі­док недбалого відліку по приладу, неправильного ввімкнення приладу або нерозбірли­вого запису результатів.

Під час будь-якого досліду промахи повинні бути усунені. Основний спосіб їх лі­квідації – сумлінність і увага в процесі роботи. Далі будемо вважати системати­чні похибки й промахи виключеними й розглядати тільки випадкові.

Розрахунок похибок

Для характеристики точності результатів фізичних вимірювань застосовують абсолютні й відносні похибки.

Абсолютна похибка – це різниця між справжнім і приблизним значенням величини:

.

Справжнє значення величини х₀, як правило, невідоме. Звичайно відоме набли­жене значення величини х та оцінка похибки або межі максимально можливого значення похибки, тому справжнє значення фізичної величини знаходиться в інтер­валі

. (1)

Співвідношення (1) найчастіше записують так:

х₀ = х ±х. (2)

Відносну похибку визначають як відношення абсолютної похибки до модуля справжнього значення фізичної величини. Але x₀ невідоме, тому замість x₀ застосовують приблизне значення x:

.

Співвідношення (2) за умов такого визначення відносної похибки набуває вигляду

. (3)

Розрахунок похибок у процесі прямих вимірювань

Як наближене значення фізичної величини під час прямих вимірювань звичайно застосовують середнє арифметичне.

, (4)

де n – число вимірювань (переважно непарне).

Як абсолютну похибку за прямих вимірювань застосовують сере­дню абсолютну похибку

, (5)

де .

Відносну похибку розраховують так:

.

Кінцевий розрахунок записують у вигляді

.

Розрахунок похибок за умов непрямих вимірювань

Якщо величина А, вимірювана непрямим методом, пов’язана з величинами, які визначають шляхом прямих вимірювань х₁, х₂,...х_n за функціональною залежністю

, (6)

то для встановлення відносної похибки результату непрямого вимірювання потрібно виконати нижче наведені дії.

1. Прологарифмувати функцію А і знайти повний диференціал від логарифміч­ного виразу, що становить суму абсолютних значень усіх окремих дифернціалів.

2. Замінити скрізь знак диференціала знаком скінченного приросту і, підста­вивши в одержаний вираз середні значення х­_1ср, х_2ср,...х_nср, а також середні зна­чення абсолютних похибок їх вимірювань , розрахувати відносну похибку.

Остаточна формула похибки матиме такий вигляд:

,

де k₁,k₂,...k_n – показники ступеня аргументів х₁,х₂,...х_n.

3. Підставляючи в розрахункову формулу (6) середні значення аргументів х­_1ср, х_2ср,...х_nср, одержати середній результат:

.

4. Знаючи відносну похибку результату й середнє значення функції, визна­читиабсолютну похибку:

.

5. Остаточний результат непрямих вимірювань записати у вигляді

.

Приклад розрахунків

1. Похибка суми А = В + С.

Логарифмуючи, одержимо

lnA = ln(B+C).

Диференціюємо

d(lnA) = d[ln(B+C)].

Звідcи

.

Змінивши диференціал на скінченний приріст, матимемо остаточний результат у вигляді

.

2.Похибка різниці А = В – С.

Повторюючи операції, аналогічні описаним вище, одержимо

lnA = ln(B – C),

d(lnA) = d[ln(B – C)],

.

Оскільки нас цікавить найбільша похибка, у чисельнику ставимо знак „плюс”.

3. Похибка множення А = В ∙ С.

Треба виконати операції, враховуючи, що похибки, як правило, на­багато менші за самі величини. Знехтуємо множенням похибок :

.

Відносна похибка множення

.

4. Похибка ділення А = В/C.

Відносна похибка

.

Абсолютна похибка

.

Графічний метод подання результатів вимірювань

Обробляючи результати вимірювань, звичайно застосовують графічний метод, який дозволяє:

а) надати одержаним даним наглядності;

б) визначити за графіком деякі величини (нахил або відрізок, відсічений на осі ординат прямою, яка відображує залежність між двома змінними);

в) установити емпіричну залежність між двома величинами.

Для побудови графіка необхідно на основі зроблених вимірювань скласти таблицю, у якій кожному значенню однієї величини буде відповідати значення іншої.

У ході побудови графіка значення незалежної змінної відкладають по осі абсцис, а значення функції – по осі ординат. Біля кожної осі пишуть ^{позначення ве­личини, яку відкладають, і вказують, у яких одиницях вона виміряна.}

Для правильної побудови графіка важливий вибір масштабу, обираючи який, треба враховувати такі вимоги:

а) масштаб має бути простий. Найкраще, якщо одиниця вимірюваної величини (або 0,1 10, 100) відповідає 1 см. Зручним буде масштаб, у якому 1 см відповідає 2 або 5 одиницям. Застосування інших масштабів небажане, тому що в процесі нанесення точок на графік треба буде подумки виконувати розрахунки;

б) масштаб необхідно вибирати такий, щоб графік зайняв увесь аркуш і розміри графіка за всіма осями були приблизно однакові. Крім того, треба враховувати, що перетин координатних осей не обов'яз­ково має збігатися з нульовими значеннями. Вибираючи початок координат, слід пам'ятати, що потрібно використати всю площину креслення.

в) масштаб має бути такий, щоб експериментальні точки не зливалися одна з одною.

Після вибору масштабу й початку координат будують графік, дотримуючись таких правил:

а) експериментальні точки слід позначати чітко;

б) якщо на одному кресленні є декілька графіків, то для їх розрізнення як експериментальні точки можна використовувати темні або світлі кружечки, хрестики, квадратики. При цьому не слід нагромаджувати велику кількість графіків на одному кресленні, нехту­ючи наглядністю;

в) за нанесеними на креслення точками слід провести нерозривну плавну криву. З'єднувати точки ламаною кривою не дозволено;

г) наносити експериментальні точки та поділки на осі координат треба спочатку олівцем, а потім, переконавшись у правильності, – тушшю або чорнилами.

Побудований графік застосовують для інтерполяції, інакше кажучи, за ним знаходять значення величини (у) для таких значень (х), які безпосередньо не стали відомі. Для цього з будь-якої точки осі абсцис треба провести ординату до перетину з графіком. Величина цієї ординати з урахуванням масштабу й буде ве­личиною (у) для відповідного значення (х).

У деяких випадках під час побудови графіків на осях координат відкладають не самі величини, а їх функції (квадрати, логарифми тощо). Це пов’язано з тим, що експе­риментальні точки завжди мають відмінність і не лежать точно на одній кривій. Побудувати графік легше, якщо шукана залежність має лінійний ха­рактер. Масштаб на осях можна вибрати так, щоб графік мав вигляд прямої лінії. Дуже часто застосовують напівлогарифмічний і логарифмічний масштаби.

Напівлогарифмічна система координат зручна для побудови графіків функцій типу . Дійсно,. Нехай.Тоді. Якщо побудувати графік залежностіу від х, то він матиме вигляд прямої лінії.

Логарифмічна система зручна для графіків функцій типу

.

Тоді

.