Лабораторна робота 4 Вивчення основного закону обертального руху твердого тіла на хрестоподібному маятнику

Прилади та матеріали: хрестоподібний маятник Обербека, секундомір, важки, штангенциркуль, масштабна лінійка.

Теоретичні відомості

У процесі розгляду з динамічної позиції руху тіла, яке обертається, разом із поняттям про сили необхідно ввести поняття про момент сил, а з поняттям про масу – поняття про момент інерції.

Нехай нам дана яка-небудь сила . Візьмемо довільну точку0 (рис.4.1) Найкоротшу відстань від точки до прямої, уздовж якої діє сила, називають плечем сили.

, (4.1)

де радіус – вектор, проведений від точки0, відносно якої взято момент сили, до точки прикладання сили;– кут між векторамиі.

Моментом сили відносно точки 0 називають вектор , модуль якого дорівнює добутку сили на плече,

, (4.2)

анапрямможна визначити за правилом векторного добутку

. (4.2а)

Т

Рис. 4.1

аким чином, момент сили дорівнює площині, якій належать і. Якщо обертатидо за правилом правого гвинта, то напрям вектора збігається з поступальним рухом гвинта. Під час обертання тіла кутова швидкість може змінюватися з часом. Для характеристики цієї зміни вводять кутове прискорення β:

. (4.3)

Підставляючи в рівняння (4.3) , маємо

, (4.4)

де – тангенціальне (або дотичне) прискорення тіла, направлене по дотичній у кожній точці траєкторії руху. Воно характеризує зміну швидкості тіла за величиною.

За умов поступального руху тіла виконується другий закон Ньютона:

. (4.5)

У разі обертального руху основне рівняння динаміки матиме вигляд

. (4.6)

Із рівняння (4.6) випливає, що:

1) кутове прискорення , таким чином,

;

2) за постійного моменту інерції ()

.

Це означає, що кутове прискорення прямо пропорційне моментам діючих сил;

3) за постійного моменту сил ()

,

отже, кутове прискорення обернено пропорційне моментам інерції.

Слід пам’ятати, що момент сили й момент інерції існують безвідносно до обер­тання. Наприклад, будь-яке тіло незалежно від того, обертається воно чи знахо­диться в спокої, має визначений момент інерції відносно якої завгодно осі. Це так само, як тіло має масу незалежно від стану свого пересування. Момент сили також існує незалежно від того, обертається тіло навколо осі, відносно якої взятий момент, чи знаходиться в спокої. В останньому випадку розглядуваний момент сили, очевидно, врівноважується моментом інших сил, які діють на тіло.

Опис приладу та методу вимірювання

П

Рис. 4.2

рилад (маятник), який використовують у цій роботі (рис.4.2) складається зі шківівb₁ і b₂, циліндрів А масою m, вантажу P, що надає маятнику рівноприскореного руху за допомогою нитки, перекинутої через блок. Циліндри служать для зміни моменту інерції ма­ятника. Момент сили можна змінювати, змінюючи вантаж P або радіус шківа. Нехтуючи силами тертя, можна написати рівняння обертального руху маятника: ,а також рівняння поступального руху ван­тажу на нитці:

, (4.7)

де r – радіус шківа; Т – сила натягу нитки; а – прискорення вантажу на нитці; g – прискорення вільного падіння; m – маса вантажу.

Із виразу (4.7) маємо

T = m(g - a).

Прискорення а можна знайти за рівнянням , деh – відстань, яку прохо­дить вантаж за час t (тут h – постійна величина).

Розрахуємо кутове прискорення . Оскільки (див. формулу4.4)

, , то. (4.8)

Момент інерції маятника з циліндрами А на стрижні має дві складові: момент інерції циліндрів і мо­мент інерції маятника без циліндрів (стрижнів із маточиною і шківами b₁ і b₂):

.

Момент інерції циліндрів (рис.4.3) визначають за теоремою Штейнера:

,

де (відносно осі xx – "обертовий циліндр" ) дорівнює

.

Таким чином ,

,

де(= 155 г) – маса циліндра; L – відстань від осі обертання до центра маси циліндрів, тобто до половини його висоти l:

,

т

Рис. 4.3

ут – радіус залізної маточини; l – відстань від маточини до циліндра; – висота циліндра; – радіус циліндра.

Момент інерції стрижнів дорівнює, де – момент сили; – ку­тове прискорення для маятника, який обертається без циліндрів. Отже, момент інерції маятника дорівнює

. (4.9)