Лабораторна робота 3 Визначення моменту інерції тіла динамічним методом

Прилади та матеріали: прилад для визначення моменту інерції тіла довільної форми, два вантажі, штангенциркуль, секундомір, дослідне тіло.

Теоретичні відомості

Величину, яка чисельно дорівнює добутку маси точки на квадрат відстані до центра обертання, називають моментом інерції точки,

. (3.1)

Суму добутків елементарних мас, помножену на квадрат їх відстаней від осі обертання, називають моментом інерції твердого тіла відносно заданої осі,

. (3.2)

Якщо перейти до межі, то вираз (3.2) буде мати вигляд

. (3,2а)

Так, для однорідного тіла dm = ρdV, де dV – елементарний об'єм; ρ – густина. Тоді вираз (3.2а) буде мати вигляд

.

Енергію тіла, яке рухається, називають кінетичною. Нехай під дією сили f швид­кість тіла масою m зросла від значення v₁ до v₂. Робота цієї сили

.

.

Таким чином, якщо на тіло діє сила f, яка збільшує його швидкість від v₁ до v₂, то робота цієї сили йде на підвищення кінетичної енергії сис­теми. Якщо тіло почало рухатися зі стану спокою (v₁ = 0), то

.(3.3)

Домножимо та поділимо вираз (3.3) на r² і враховуючи, що

,

а – момент інерції точки, одержимо

. (3.4)

Таким чином, кінетичну енергію обертання точки і твердого тіла навколо неру­хомої осі обертання можна виразити формулою (3.4), аналогічною до фор­мули (3.3), тільки роль маси m відіграє момент інерції J, а роль лінійної швидкості v – кутова швидкість ω. Отже, якщо відомі робота, затрачена на приведення тіла до обертання, та кінцева швид­кість обертання, то можна визначити момент інерції тіла довільної форми.

Опис приладу й методу вимірювання

П

Рис. 3.1

рилад для визначення моменту інерції тіла довільної форми (рис.3.1) складається з горизонтального дискаВ, який може обер­татися навколо вертикальної осі. Обертання диска викликане дією сили на­тягу нитки, до якої прикріплений вантаж Р. Нитка перекинута через блок D і навита на шків М, прикріплений на вісь приладу. До­слідне тіло, момент інерції якого визнача­ють, розміщують на диску так, щоб вісь, відносно якої встановлюють момент інерції, збігалася з віссю приладу. Якщо вантаж Р примусити падати з висоти h, то його потенціальна енергія пере­йде частково в кінетичну енергію обертання приладу і в роботу з подолання сили тертя.

, (3.5)

де m – маса вантажу; J₀ і J – моменти інерції приладу й дослідного тіла відносно осі обертання відповідно; v – лінійна швидкість вантажу Р; ω – кутова швидкість приладу в момент досягнення вантажем точки С.

Щоб з рівняння (3.5) виключити роботу сил тертя А, необхідно провести до­слід із двома різними вантажами Р, маси яких m₁ і m₂ . Допускаючи, що ро­бота не залежить від швидкості, маємо:

,

.

Віднімаючи від верхнього рівняння нижнє, одержимо

.

Враховуючи, що ; , одержимо

, (3.6)

де t₁ і t₂ – час падіння вантажів m₁ і m₂ відповідно з висоти h.

Із рівняння (3.6) слід виключити J₀ – момент інерції приладу. Для цього проводять ті самі вимірювання з ненавантаженим приладом. Тоді можна визначити J_o:

, (3.7)

де t₀₁ i t₀₂ –час падіння вантажів m₁ і m₂ відповідно з висоти h для ненавантаженого приладу.

Хід роботи

1. Виміряти висоту h від нижнього кінця вантажу до підлоги з точністю до 1 см.

2. Штангенциркулем виміряти радіус шківа r.

3. Визначити час падіння вантажу t₀₁ для ненавантаженого приладу з висоти h. Для цього одночасно відпустити вантаж і ввімкнути секундомір. У момент падіння вантажу на підлогу секундомір вимкнути. Дослід повторити по 3 рази з кожним вантажем (m₁, m₂ ). Результати записати в табл. 3.1. Знайти середнє значення t₀₁.

4. За формулою (3.7) розрахувати момент інерції приладу.

5. На диск В помістити дослідне тіло. Визначити час t₁ і t₂ падіння з висоти h ванта­жів m₁, і m₂ відповідно. Дослід повторити 3 рази з кожним вантажем і визначити середній час t_1cp і t_2cp .

6. За формулою (3.6) визначити момент інерції J дослідного тіла відносно осі, яка збігається з віссю приладу.

Таблиця 3.1

№ п/п	h	r	t01	t02	t1	t2	J0	J+J0	J
1 2 3
Ср.