Лекция 5. Упругие свойства твердых тел

Как было отмечено в п. 2.1, действие силы на тело приводит к его деформации, то есть изменению формы и размеров тела.

Деформацией называют изменение формы и размеров тела, обусловленное внешними воздействиями (механическими, тепловыми или электрическими).

В этой лекции речь пойдет о механических деформациях. Деформацию называют упругой, если она возникает и исчезает одновременно с нагрузкой и не сопровождается нагреванием тела. Пластическая деформация сохраняется (хотя бы частично) после снятия нагрузки и сопровождается нагреванием тела.

Согласно третьему закону Ньютона в деформированном теле возникает противодействующая сила – сила упругости, по величине равная действующей на тело силе (Fу = F, рис. 5.1). Силы упругости обусловлены взаимодействием между атомами и молекулами тела и, в конечном счете, имеют электрическую природу.

Различают следующие деформации: растяжение, сжатие, сдвиг, кручение и изгиб. Рассмотрим подробно первые две.

5.1. Деформации растяжения и сжатия

Начнем с упругих деформаций. Если стержень длины l с площадью попе-

речного сечения S закрепить с одного конца, а к
другому приложить силу F, то он деформируется:				F
сожмется или растянется на величину l, рис. 5.1.		Fу
Тогда сила упругости Fу, возникающая в стержне
		l		l
определяется из закона Гука по формуле (2.3):
		Рис. 5.1
Fу = k l.
Эту формулу можно записать в другом виде,

учитывая, что коэффициент жесткости k = ES/l, где величина Е называется мо-

дулем упругости или модулем Юнга:

		F	= ES l .		(5.1)
		у		l
	Если ввести величину	ε = l/l,	которая называется относительной де-
	формацией, то	Fу = ESε.			(5.1)′
	Если ввести величину
		P = F/S,	которая называется давлением или в дан-
	ном случае упругим напряжением, то закон Гука примет вид
		Р = Eε.			(5.1)″

Отсюда видно, что единица измерения модуля упругости как и у давле-

ния – паскаль (Па): [P] = Па = Н/м2.

Все эти формулы – разная запись одного закона.

Закон Гука: сила упругости и упругое напряжение, возникающие при малых деформациях твердого тела, пропорциональны его относительной деформации.

37

Потенциальная энергия, запасенная в упруго деформированном стержне, определяется формулой (2.14):

U =

k

l 2

,

или так

2

2

U =

ES

l 2

ESl

l

EV

ε2

,

(5.2)

=

=

2l

2

2

l

где V – объем стержня.

Тогда объемная плотность энергии, запасенной в деформированном

	стержне (w = U/V),			Eε2
			w =		.	(5.3)
				2
		Таким образом, объемная плотность энергии упругой деформации про-
	порциональна квадрату относительной деформации.
		Закон Гука Р(ε) = Eε справедлив при малых относительных деформациях
	P		ε. При больших ε зависимость Р(ε) становится нелиней-
		2	ной. На рис. 5.2 схематично изображены зависимости
			Р(ε) при растяжении (кривая 1) и сжатии (кривая 2) ко-
		1
	Pу		стной ткани. Из графика видно, что при больших дефор-
			мациях растяжения модуль упругости костной ткани
	0		уменьшается, – значит, становится			легче ее растянуть.
		ε	При деформациях сжатия модуль			упругости костной
		Рис. 5.2	ткани увеличивается,		– значит, становится труднее ее

сжать. Для многих металлов и сплавов зависимость аналогичная.

Упругое напряжение Ру, соответствующее началу неупругой деформации называют пределом упругости, а наибольшее напряжение Рпр, которое выдерживает образец до разрушения – пределом прочности. Так, для костей, большинства металлов и сплавов Рпр = 80-200 МПа, для мышц и пластмасс он существенно меньше Рпр = 0,5-1 МПа.

В таблице приведены ориентировочные значения модуля упругости E и предела прочности Рпр при растяжении некоторых технических и биологиче-

ских материалов.

Материал	E, 109 Па	Рпр, 106 Па
Металлы и сплавы	100-1000	100-1000
Неорганические стекла	10-100	10-100
Полимерные стекла	1-10	1-100
Частично кристаллические пластмассы	0,1-1	10-100
Резина	0,0015-0,005	1-50
Кости	15-25	80-200
Сухожилия	1-1,5	50-70
Нервы	0,008-0,12	12-15
Кровеносные сосуды	0,004-0,005	1,5-2
Мышцы	0,0008-0,001	0,5-1
38

5.2. Другие виды деформаций

Не останавливаясь на детальном исследовании других видов деформации1, отметим, что

все они, в конечном счете, могут быть сведены			F′		F′
к комбинациям деформаций одностороннего
растяжения и сжатия. Так, деформация изгиба
стержня сводится к деформации односторонне-	F						F
го растяжения верхней части стержня при од-			F	F
новременной деформации одностороннего сжа-
				Рис. 5.3
тия нижней его части, как показано на рис. 5.3,

где F ′ и F – деформирующие силы. Поэтому при изгибе верхняя часть стержня

«работает» на растяжение, а нижняя – на сжатие. Очевидно, что средняя часть стержня почти не оказывает сопротивления изгибу (нейтральный слой). Это обстоятельство учитывается в технике и находит отражение в природе.

Например, стержни, работающие на изгиб, обычно делают полыми (трубчатыми), чем достигается экономия материала и облегчение конструкций без ущерба для прочности. Стебли злаковых растений и кости птиц имеют трубчатое строение, молодые неокрепшие листья часто свернуты трубкой и т.п.

Деформация сдвига происходит под действием
касательного (тангенциального) напряжения. Сила, ка-
сательная к одной из граней прямоугольного паралле-
лепипеда (рис. 5.4), превращает его в косоугольный		γ
параллелепипед. Как и при растяжении и сжатии, при
сдвиге существует область упругой деформации, в				F
пределах которой выполняется закон Гука, где вместо
модуля упругости – модуль сдвига G, а вместо относи-
тельной деформации – угол сдвига γ:		Рис. 5.4
Р = Gγ.		(5.4)

Чистый сдвиг на практике встречается редко, – обычно он сопутствует растяжению или сжатию, когда одновременно с нормальным возникают и касательные напряжения.

Кручением называют деформацию, возникающую в стержне, на торец ко-

торого действует пара сил, создающая момент M = 2Fr,		r
рис. 5.5. Деформацию здесь характеризуют углом закру-		M
чивания ϕ. Закон Гука для деформации кручения записы-		r	r
вается в виде
		Fr	F
M = fϕ,	(5.5)
где f – модуль кручения стержня.
Здесь явно работает метод аналогий: в формуле
(2.3) заменяем силу моментом силы, линейную деформа-
цию – углом закручивания, обычную жесткость – жестко-		Рис. 5.5
стью кручения.

1 Этим занимается наука, которая называется сопротивление материалов.

39

Втехнике различными видами деформаций элементов сооружений и деталей машин занимается наука, которая называется сопротивление материалов.

Разработаны специальные методы расчета деталей и конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. Эти расчеты, как правило, производят на компьютере с помощью современных программ.

Вагрономической практике исследуются упругие свойства почвы. При обработке полей (вспашка, боронование, внесение удобрений и т.д.) техника сильно деформирует почвенный слой, что негативно сказывается на его биологической активности. Возникающие при этом деформации – пластические, – сама собой почва не восстанавливается. Поэтому в настоящее время для

уменьшения давления на почву увеличивают площадь поверхности колес сель-

скохозяйственных транспортных средств.

Упругие свойства стеблей зерновых культур, например, пшеницы, определяют их устойчивость к полеганию.

Упругие свойства биологических материалов изучает биореология. Так, исследования последних лет показали, что катастрофическое влияние ограничения двигательной активности сельскохозяйственных животных (гиподина-

мии) на кровообращение всего организма тесно связано с уменьшением дефор-

маций тканей и органов, происходящих в процессе двигательной активности. Упругие деформации, возникающие в костях, мышцах и связках во время движения животного, как раз и способствуют выведению венозной крови из этих

органов.

Взаключение лекции отметим, что точная теория деформаций требует привлечения серьезного математического аппарата дифференциального и интегрального исчисления. При этом большинство реальных практических задач на

расчет упругих характеристик материалов аналитического решения не имеет и решается численными методами на компьютере.

Вопросы к лекции 5

1.Какие деформации называют упругими, а какие пластическими? Приведите примеры.

2.Какие виды деформаций вы знаете?

3.Сформулируйте и запишите закон Гука.

4.Выведите формулу для объемной плотности энергии упруго деформированного тела. В каких единицах она измеряется?

5.Почему закон Гука не справедлив для больших деформаций? Приведите примеры.

6.Дайте краткую характеристику деформации изгиба. Почему стержни, работающие на изгиб, делают полыми?

7.Дайте краткую характеристику деформациям сдвига и кручения.

8.Почему у современных сельскохозяйственных тракторов очень широкие колеса?

9.Почему недостаточная двигательная активность сельскохозяйственных животных негативно влияет на их здоровье?

40