момент инерции является мерой инертности вращающегося тела (чем больше масса, тем труднее тело разогнать, а чем больше момент инерции, тем труднее тело раскрутить). Кроме того, из второго закона Ньютона видно, чем больше приложенная сила, тем больше ускорение тела (тело быстрее разгоняется), а из основного уравнения вращательного движения видно, чем больше приложенный момент, тем больше угловое ускорение тела (тело быстрее раскручивается).

3.3. Моменты инерции некоторых тел

Как уже говорилось, момент инерции зависит не только от массы, но и от формы и геометрических размеров тела, вычисляется по формуле (3.4) и измеряется в кг·м2. Приведем несколько примеров.

1) Момент инерции материальной точки массы m, находящейся на рас-

стоянии r от оси вращения,

J = mr2.

2) Момент инерции тонкого однородного стержня длины l относительно перпендикулярной оси, проходящей через его середину,

J = ml 2 . 12

3) Момент инерции тонкостенного цилиндра (обруча) радиуса R относи-

тельно его оси

J = mR2.

4) Момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) радиуса R относительно его оси

dr

R r

Рис. 3.9

J = mR2 2 .

Выведем эту формулу. Для этого выделим в цилиндре трубку радиуса r со стенками бесконечно малой толщины dr, как показано на рис. 3.9. Пусть высота цилиндра h, а

hплотность материала ρ. Тогда масса выделенной трубки dm = ρdV = 2πρrh dr. Подставляя это выражение в интеграл

(3.4), получим

R

J = 2πρh∫r3dr = 12 πρhR4 = 12 (ρπR2h)R2 = 12 (ρV )R2 = 12 mR2 .

0

5) Момент инерции однородного шара радиуса R относительно оси, проходящей через его центр,

J= 52 mR2 .

Аеще момент инерции зависит от того, вокруг какой оси вращается тело.

22

Z0 Z

O C

d

Рис. 3.10

Этот факт отражает теорема Гюйгенса – Штейнера: если тело вращается вокруг оси Z0, не проходящей через центр масс (рис. 3.10), то момент инерции J0 относительно этой оси равен

J0 = J + md2,

(3.7)

где J – момент инерции относительно оси Z, проходящей через центр масс и параллельной оси вращения, d − расстояние между этими осями, m − масса тела.

Если, к примеру, шар радиуса R будет вращаться вокруг оси Z0, как показано на рис. 3.10, его момент инерции относительно этой оси будет

J0 = 52 mR2 + md 2 .

Таким образом, момент инерции зависит от массы, формы и геометрических размеров тела, а также от оси, вокруг которой вращается тело.

3.4. Закон сохранения момента импульса. Энергия вращающегося тела

Еще раз запишем уравнение моментов для твердого тела (3.3) ddtL = Mr .

Если система замкнутая, то суммарный момент всех внешних сил относи-

тельно любой точки Mr = 0, поэтому ddtL = 0, следовательно Lr = const , то есть

суммарный момент импульса не меняется.

Закон сохранения момента импульса: В замкнутой системе сумма момен-

тов импульса всех тел относительно какой-либо точки остается постоянной

L = const . (3.8)

Мы будем пользоваться только следствием из закона сохранения момента импульса.

Если тела в замкнутой системе вращаются вокруг одной оси, то их суммарный момент импульса относительно этой оси не меняется. Так, для двух взаимодействующих тел:

L1 + L2 = L1′ + L2′,

(3.8)′

где L1 и L2 – моменты импульса тел до взаимодействия, L1′ и L2′ – после взаимодействия. Моменты импульса берутся с учетом знаков.

23

Этот закон объясняет многие явления, происходящие с вращающимися телами. Например, крутящийся с раскинутыми руками фигурист, прижимая руки к туловищу, «автоматически» увеличивает свою угловую скорость. Закон сохранения момента импульса для фигуриста (одно тело):

L1 = L2

J1ω1 = J2ω2.

Откуда

ω2 = ω1 J1 .

J 2

Прижимая руки к туловищу, фигурист уменьшает свои размеры, а, значит, и свой момент инерции. Действительно, из определения и примеров моментов инерции мы видели, что, чем больше размеры тела, тем больше его момент инерции (J ~ mr2). Поэтому, так как J2 < J1, то ω2 > ω1.

Многие звезды вращаются вокруг своей оси и при этом сжимаются, например, Солнце. При сжатии размеры уменьшаются (из-за излучения масса, как правило, тоже падает), и скорость вращения увеличивается в соответствии с законом сохранениямомента импульса.

Найдем теперь кинетическую энергию вращающегося тела. Метод такой же, как в п. 3.2. Выделим в теле бесконечно малую частицу массы dm, движущуюся со скоростью υ по окружности радиуса r, рис. 3.7. Кинетическая энергия этой частицы

dK = υ2 dm = ω2r 2dm . 2 2

Чтобы найти кинетическую энергию тела нужно сложить энергии всех частиц, то есть взять интеграл от полученного выражения. Учитывая, что все частицы, составляющиетело, вращаютсясоднойугловой скоростьюω, получим

	ω2	∫r 2dm =			ω2
K =	2				2 J .
Итак, кинетическая энергия вращающегося тела
	Kвр =		Jω2		.	(3.9)
			2

Если тело движется поступательно и при этом вращается, например, катящееся колесо, то его полная кинетическая энергия складывается из энергии поступательного (2.10) и энергии вращательного (3.9) движений.

В заключение параграфа отметим, что формулы для основных динамических характеристик вращательного движения аналогичны соответствующим формулам для поступательного движения. Так, чтобы получить выражение для момента импульса в формуле для импульса вместо массы берем момент инерции, вместо скорости – угловую скорость. Те же самые замены делаются в выражении для кинетической энергии материальной точки, чтобы получить формулу для кинетической энергии вращающегося тела.

24

3.5. Статика

Из основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела (3.6) вытекает одно простое, но важное следствие, что если полный момент сил, действующих на тело, равен нулю, то его угловое ускорение равно нулю, и тело либо не вращается, либо вращается с постоянной угловой скоростью. Это следствие аналогично следствию из второго закона Ньютона для поступательного движения (2.1): если суммарная сила, действующая на тело, равна нулю, то его ускорение равно нулю, и тело или покоится, или движется с постоянной скоростью.

Итак, чтобы тело находилось в равновесии (в покое), необходимо, чтобы векторная сумма всех сил (или сумма проекций всех сил на любое направление), действующих на тело, и сумма моментов этих сил относительно любой оси были равны нулю. На этих двух положениях основана статика – наука о

равновесии тел.	Y	N1
Например, для неподвижно-
го грузового автомобиля (рис. 3.11)					N2
эти условия имеют вид
			C
N1 + N2 – mg = 0,
–N1 l1 + N2 l2 = 0,
где моменты сил брались относи-						X
тельно оси Z, проходящей через			l1	l2
центр масс машины C и перпен-			mg			Рис. 3.11
дикулярной плоскости рисунка.

Законы статики лежат в основе теории устойчивости различных сооружений и механических приспособлений (зданий, мостов, плотин, вышек, подъемных кранов и т.п.), а также в основе действия опорно-двигательного аппарата человека и животных (членистоногих и позвоночных).

Вопросы к лекции 3

1.Что такое твердое тело, и почему это идеализация?

2.Дайте определения момента силы и момента импульса относительно точки.

3.Напишите уравнение моментов для твердого тела и поясните смысл входящих в него переменных. Где оно применяется?

4.Дайте определения момента силы и момента импульса относительно оси.

5.Выведите основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела и дайте определение входящим в него физическим величинам.

6.Какой физический смысл имеет момент инерции?

7.Имеются две центрифуги одинаковой массы, но разного радиуса. Какую из них легче раскрутить?

8.Что такое момент импульса твердого тела?

9.Сформулируйте закон сохранения момента импульса и приведите примеры, где он выполняется.

10.Если вращающийся на льду фигурист хочет остановиться, он разводит руки в стороны, а если хочет вращаться быстрее, прижимает руки к туловищу. Как объяснить это явление?

11.В процессе горения солнце ежесекундно теряет огромную массу вещества. Как этот факт отражается на скорости вращения солнца вокруг своей оси?

12.Как найти кинетическую энергию катящегося без проскальзывания колеса?

13.Что изучает статика, и на каких принципах она основана?

25