Лекция 6. Гидродинамика

Гидродинамика изучает движение жидкостей.

Прежде чем начать знакомство с основами гидродинамики, вспомним две

важные формулы из гидростатики, которая изучает неподвижные жидкости.

Если на уровне поверхности жидкости известно внешнее давление P0 (например, атмосферное давление), то давление P на глубине h будет равно

P = P0 + ρgh,

(6.1)

где ρ − плотность жидкости. Величина ρgh – гидростатическое давление.

С помощью этой формулы можно найти давление, действующее на водолазов и ныряльщиков1, на водных обитателей, например, рыб, а также на подводные лодки, батискафы и любые другие подводные объекты.

Закон Архимеда: выталкивающая сила FA, действующая на тело, погру-

женное в жидкость, равна весу жидкости, вытесненной телом, приложена к

центру масс вытесненного объема и направлена против силы тяжести:
FA = ρgVп,	(6.2)
где Vп – объем части тела, погруженной в жидкость.

Если вес тела равен архимедовой силе (весу вытесненной им жидкости), тело плавает на поверхности или внутри жидкости, если больше – тонет. Плавают не только тела с меньшей, чем у жидкости плотностью, но и полые тела из

материалов с большей плотностью (в целом их средняя плотность меньше, чем

у жидкости). Если плотности равны, тело может находиться в любом месте внутри жидкости.

6.1. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли

При течении жидкости каждая ее частица движется	υ
по определенной траектории, которая называется линией

	тока. Скорость частицы жидкости в данный момент време-
	ни в данной точке направлена по касательной к линии тока
	в этой точке. Мгновенная картина распределения скоростей	Рис. 6.1
	жидкости образует поле скоростей (рис. 6.1).
	Если поле скоростей не меняется со временем, такое движение жидкости

называется стационарным (установившимся).

Течение жидкости можно изобразить в виде трубки тока, то есть множе-

ства линий тока, проходящих через какое-либо сечение (рис. 6.2).

Если плотность жидкости не зависит от давления, такую жидкость назы-

вают несжимаемой.

Сжимаемость большинства жидкостей и, в частности воды, очень мала2,

и их можно считать несжимаемыми.

1Не рекомендуется погружаться глубже 40 м и долго находиться на большой глубине. Дальнейшее погружение приведет к неизбежному повреждению грудной клетки.

2При увеличении давления от 1 до 25 атм, плотность воды увеличится всего на 0,1%. Однако если вода была бы абсолютно несжимаема, то ее уровень в океане был бы примерно на 30 м выше существующего.

41

Идеальной называют жидкость, которая течет без трения, то есть жид-

кость без вязкости1.
	Рассмотрим стационарное движение идеальной несжимаемой жидкости в
			трубе с разным сечением (S1 и S2 – площади входного и вы-
S1		S2	ходного поперечного сечения, рис. 6.2). Через сечение S1 за
			время t проходит масса жидкости
			m1 = ρΔV1 = ρS1υ1 t,
	Рис. 6.2		через сечение S2
			m2 = ρΔV2 = ρS2υ2 t.
	Так как жидкость в трубе не накапливается и не протекает через боковую
поверхность, то			m1 = m2 = m (сколько втекло, столько вытекло), то
			υ1S1 = υ2S2 или υS = const.	(6.3)
	Это уравнение неразрывности потока, где υ − скорость жидкости в дан-

ном поперечном сечении площади S.

Из уравнения видно, чем меньше сечение трубы, тем быстрее течет в ней жидкость, и наоборот. Отсюда также легко понять, почему на мелких участках

река течет быстро, а на глубоких медленно.
			Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости в поле тяжести,
например, вытекание воды из бака через кран.
		P1					Выделим трубку тока,	как показано на рис. 6.3.
			B1				Пусть верхняя граница A1B1	сместилась на малое рас-
A1
							стояние l1. При этом внешняя сила совершила работу
			υ1				A1 = F1 l1 = P1S1 l1 = P1 V1 = P1 m1/ρ,
				B2			где P1 – внешнее давление на высоте h1, m1 – масса, за-
h1							ключенная в объеме V1.
			A2				Нижняя граница A2B2 при этом переместится на
			h2	P2	υ2		расстояние l2, а внешняя сила совершит работу
							A2 = –F2 l2 = –P2S2 l2 = –P2 V2 = –P2 m2/ρ.
							Знак «минус» – так как внешнее давление P2 на высоте h2
			Рис. 6.3				создает силу, направленную	против течения жидкости

	(против скорости υ2).					m1 =		m2 = m)
Тогда полная работа внешних сил (учтем, что
	Aвн = A1 + A2 = (P1 – P2) m/ρ.
Из закона сохранения энергии (2.16) для «выделенного фрагмента» жид-
кости массы m			E2 − E1 = Авн,
mυ2			mυ2			m	(P	− P ),
	2 + mgh	−	1 + mgh		=
2	2		2	1		ρ	1	2

1 Конечно, таких жидкостей в природе не бывает. Однако при температурах выше 0 °С многие реальные жидкости обладают малой вязкостью (вода, ацетон, спирт, эфир…), и при описании их течения эти жидкости можно считать идеальными.

42

υ2			P			υ2			P
1	+ gh +		1	=			2	+ gh +	2	.	(6.4)
2		1	ρ				2	2	ρ
Это уравнение Бернулли для стационарного движения идеальной несжи-
маемой жидкости. Его можно представить в виде
	υ2	+ gh +			P		= const ,				(6.4)
	2				ρ

где υ − скорость жидкости в данном поперечном сечении, h − высота данного сечения над некоторым нулевым уровнем, P − внешнее давление на данной высоте.

По существу, уравнение Бернулли – это закон сохранения энергии для текущей невязкой жидкости. Это уравнение используется для нахождения скорости течения жидкостей или давления в потоке. Приведем два примера.

1) Течение в горизонтальной трубе, рис. 6.2. Так как h1 = h2, то уравнение

(6.4) принимает вид
υ2		P		υ2		P
1	+	1	=	2	+	2	.
2		ρ		2		ρ
Как следует из формулы (6.3), в широкой части скорость течения меньше,
чем в узкой, υ2 < υ1. Тогда из	уравнения				Бернулли следует, что Р2 > Р1. Та-

ким образом, в тех участках трубы, где жидкость течет быстрее, давление меньше. Или так: в узких участках трубы давление меньше, чем в широких.

2) Вода вытекает из широкого бака через узкий кран К вблизи дна. Найдем скорость течения воды из крана. Для этого выделим трубку тока от поверх-

ности жидкости к крану (1 → 2), как показано на рис. 6.4, и

1

запишем для нее уравнение

Бернулли:

υ2

P

υ2

P

1

+ gh +

1

=

2

+ gh +

2

,

h

2

1

ρ

2

2

ρ

К

где Р1 и Р2 –

внешнее (атмосферное) давление в точках 1 и

2

2, а υ1 и υ2 –

скорости жидкости в этих точках. Так как бак

Рис. 6.4

не очень высокий, то атмосферное давление в точках 1 и 2

мало отличается (Р1 ≈ Р2), а так как бак широкий, а кран узкий, то скорость движения поверхности жидкости достаточно мала (υ1 ≈ 0). Учитывая также, что

h2 = 0, окончательно получим gh =	υ2	, откуда
	2
	υ = 2gh .		(6.5)

Это формула Торричелли. Из нее видно, чем ниже уровень воды в баке, тем медленнее она вытекает. Что мы и наблюдаем на практике.

6.2. Вязкость жидкости. Формула Стокса

В реальной жидкости между молекулами действуют силы взаимного притяжения, обусловливающие внутреннее трение или вязкость. Внутреннее трение, например, действует на дно реки, вызывает силу сопротивления при движении медуз, рыб, головоногих моллюсков, кораблей, подводных лодок, и др.

43

X

Ньютон установил, что сила внутреннего трения Fтр в

жидкой среде пропорциональна градиенту скорости те-

чения

dυ

в направлении оси,

перпендикулярной по-

υ(x)

dx

Fтр

верхности, вдоль которой течет жидкость:

F

= −η

dυ

S ,

(6.6)

тр

dx

Рис. 6.5

где S – площадь поверхности,

на которую действует

сила трения.

Градиент показывает, как меняется скорость в направлении, перпендикулярном течению, то есть от координаты х. Математически – это производная скорости по х. На рис. 6.5 изображена сила вязкого трения, действующая на поверхность, по которой течет жидкость.

Коэффициент пропорциональности η называется коэффициентом внутреннего трения или динамической вязкостью, а ее размерность можно получить из формулы (6.6): [η] = H·м/(м2·м/с) = Н·с/м2 = Па·с. У большинства жидкостей (вода, низкомолекулярные органические соединения, истинные растворы, расплавы) вязкость зависит только от природы жидкости и температуры (с ростом температуры вязкость понижается). Такие жидкости называются ньютоновскими. У некоторых жидкостей, преимущественно высокомолекулярных (растворы полимеров) или представляющих дисперсные системы (эмульсии, суспензии), вязкость зависит также от режима течения – давления и градиента скорости. При их увеличении вязкость жидкости уменьшается из-за нарушения внутренней структуры потока жидкости. Такие жидкости называются структурно вяз-

кими или неньютоновскими.

Чем больше вязкость жидкости, тем труднее в ней двигаться. Это можно увидеть на примере установившегося движения маленького шарика в жидкости. Так, маленькая дробинка в воде падает гораздо быстрее, чем в глицерине, обладающем большей вязкостью.

Сила сопротивления вязкой среды, действующая на маленький шарик ра-

диуса r, движущийся со скоростью υ, определяется формулой Стокса
Fс = 6πηrυ.	(6.7)
Зная установившуюся скорость движения шарика в жидкости,	можно

найти ее вязкость. Покажем это. Пусть маленький шарик с плотностью ρ1 падает в жидкости с плотностью ρ2 (ρ1 > ρ2, иначе будет всплытие). При движении шарика на него действуют следующие силы: сила тяжести mg, сила сопротивления жидкости Fc и выталкивающая (архимедова) сила FА. На-

	FA r	правления этих сил показаны на рис. 6.6. Так как шарик движется
	Fc	вертикально с постоянной скоростью, то сумма проекций всех сил
	υ	на ось Y равна нулю:
	mg	mg – FА – Fc = 0.
	Y	Подставим выражения для выталкивающей силы (закон Ар-
		химеда) и силы сопротивления вязкой среды (формула Стокса)
	Рис. 6.6
		ρ1gV – ρ2gV – 6πηrυ = 0,
	44