Лекция 15. Магнитостатика

Магнитостатика изучает постоянные (не зависящие от времени) магнитные поля, созданные постоянными токами. Магнитное поле создается только движущимися зарядами и действует только на движущиеся заряды.

Как и электрическое, магнитное поле тоже изображается в виде силовых линий. Примеры магнитных полей различных объектов показаны на рис. 15.1: а) прямой провод; б) круговой виток; в) постоянный магнит; г) Земля1.

	Br	r		r	Ю.магн.
I		B		B
Br		Ю	С		Земля
	I
					С.магн.
а)	б)		в)		г)

Рис. 15.1

Силовойr характеристикой магнитного поля является вектор магнитной

индукции B . Он направлен по касательной к силовой линии в какой-либо точке. Магнитнаяr стрелка ориентируется в магнитном поле по направлению векто-

ра B и показывает направление магнитного поля в пространстве.

В отличие от гравитационного и электрического полей магнитное поле

непотенциальное.

15.1. Движение зарядов в магнитном поле

В отличие от электрического поля, которое действует как на неподвижные, так и на движущиеся заряды, магнитное поле действует только на движущиеся заряды.

Еще раз подчеркнем, что силовой характеристикой магнитного поля яв-

ляется вектор магнитной индукции B : чем больше магнитное поле, тем сильнее оно действует на движущийся заряд.

r Z						Так, на точечный заряд q, движущийся в магнитном
B						поле со скоростью υ действует сила (сила Лоренца)
						r	(15.1)
r						F = q[υ B].
F					q	Эта сила меняет скорость только по направлению и не
	r					меняет по величине, то есть вызывает только центростреми-
	υ					тельное ускорение. Траектория движения частицы в общем
	Y
X						случае – винтовая линия, а в случае, когда скорость перпен-

Рис. 15.2	дикулярна направлению вектора индукции магнитного поля

1 Южный магнитный полюс Земли находится вблизи северного географического, а северный магнитный – вблизи южного географического.

98

(перпендикулярна силовым линиям магнитного поля) – окружность. Выражение для величины силы в последнем случае имеет простой вид:

F = qυB,

(15.1)′

причем эта сила направлена к центру окружности и вызывает центростремительное ускорение, как показано на рис. 15.2. В случае, когда скорость парал-

лельна силовым линиям,		F = 0,	магнитное поле на заряд не действует, и траек-
тория заряда – прямая.
Если движется не один заряд, а много, то есть течет постоянный ток I, то
сила, действующая на протекающий заряд dq равна
r	r	r		dl	r	dq	r	r	r	r
					B =		[dl	B]= I[dl		B],
dF = dq[υ B]= dq						dt
			dt

где dl – бесконечно малый участок проводника, по которому прошел бесконечно малый заряд dq.

Таким образом, сила, действующая на бесконечно маленький отрезок dl

	проводника с током I, помещенного в магнитное поле B ,
	dF = I[dl B],			(15.2)
	где векторная величина Idlrназывается элементом тока, рис. 15.3.
	В скалярной форме это выражение имеет вид		B
	dF = (IBsinα)dl,
				I
	где α – угол между направлением магнитного поля и током.		α
	Если провод прямой, а магнитное поле одинаковое вдоль
			dFr	dl
	всего провода, то сила, действующая на участок провода дли-
	ны l,		Рис. 15.3
	F = I[l B],	(15.2)′

или в скалярной форме

F = IlBsinα.

Это хорошо известный из школьного курса закон Ампера. Так как электроны ограничены проводом, они не могут двигаться по окружности, – не позволяет жесткость провода: сила Лоренца, действующая на электроны, слишком мала, чтобы свернуть провод в кольцо. Силы Лоренца и Ампера имеют одну природу (магнитные силы) и действуют на движущиеся в магнитном поле заряды. Единица измерения магнитной индукции – тесла (Тл). Из последней формулы видно, что [B] = Тл = Н/(А·м) = кг/(А·с2).

Заряженные частицы космического излучения (e, p, α,…), летящие к Земле, попадая в магнитное поле нашей планеты, движутся по винтовым траекториям вдоль силовых линий (рис. 15.1, г) к полюсам. В приполярных областях они приближаются к поверхности (где выше концентрация молекул воздуха) и возбуждают атомы азота, кислорода и других компонентов воздуха, сталкиваясь с ними. При переходе в невозбужденное состояние атомы излучают кванты света – фотоны, которые мы видим как полярное сияние.

Вообще, магнитное поле Земли совместно с атмосферой хорошо защищает живые организмы от потоков быстрых заряженных частиц, идущих от Солнца или от центра нашей галактики.

99

15.2. Магнитное поле движущихся зарядов

В отличие от электрического поля, которое создается как неподвижными, так и движущимися зарядами, магнитное поле создается только движущимися зарядами.

Из опытных фактов установлено, что величина магнитного поля в какой либо точке пространства, создаваемого точечным зарядом q, движущимся в ва-

Z

кууме со скоростью υ,

r

r

q

r

r

υ

B = k1

[υ r ],

(15.3)

O

α

r3

μ0

= 10−7 Гн/м, μ0 = 1,26·10−6

r

q Y

где постоянная k1

=

Гн/м –

4π

B

r – расстояние от заряда до точки

X

магнитная постоянная;

Рис. 15.4

наблюдения О. Рис. 15.4 иллюстрирует эту формулу.

Согласно принципу суперпозиции магнитные поля нескольких движущихся зарядов векторно складываются, причем каждый заряд возбуждает поле независимо от наличия других зарядов.

Пусть теперь движется не один заряд, а течет постоянный ток. Рассуждая

как и в предыдущем параграфе, из формулы (15.3) получим
				dBr = k1	I	[dlr rr].	(15.4)
Z					r3		dBr , созда-
				Это закон Био – Савара: магнитное поле
	α		dlr	ваемое бесконечно малым элементом тока Idlr			в какой ли-
O				бо точке зависит только от величины этого элемента и рас-
r	r		Y	стояния r от него до этой точки (на рис. 15.5 точка наблю-
dB			I	дения О). Как видно из формулы, с увеличением расстоя-
X				ния от проводника r магнитное поле уменьшается.
Рис. 15.5				Этот закон используется для расчета магнитных по-

лей, созданных электрическими токами различной конфигурации, например, прямым проводом, проводом в виде кольца или системы колец – катушки, поверхностными или объемными токами и т.д.

Приведем примеры магнитных полей, созданных проводниками различной формы1.

		Магнитное поле длинного прямого провода2 с током на
	I	расстоянии R от него, рис. 15.6
		B = 2k			I	.		(15.5)
	R		1 R
	B	Сила взаимодействия двух параллельных проводов с
		токами I1 и I2		I1I2
		F = 2k					l ,	(15.6)
Рис. 15.6
		1			R

1Расчет этих полей по формуле (15.4) рекомендуется провести на дополнительном занятии.

2Длина провода много больше расстояния от него до точки наблюдения l >> R.

100

где l – длина участка провода, на который действует сила. При этом токи, текущие в одну сторону притягиваются, а в противоположные стороны – отталкиваются.

Магнитное поле кругового витка с током радиуса R на оси на расстоянии r0 от его центра, рис. 15.7

IR2

I

R

B = 2πk1 (R2 + r

2 )3/ 2 ,

(15.7)

B

0

r0

причем выражение для поля в центре витка с током

(r0 = 0) существенно упрощается:

B = 2πk1

I

.

(15.7)′

Рис. 15.7

R

Магнитное поле внутри длинной катушки1 с током (соленоида) длины l с

числом витков N, рис. 15.8

IN

B = 4πk

.

(15.8)

I

1

l

B

Эта формула справедлива для точек вдали от

торцов катушки, вблизи торцов величина поля в

l

два раза меньше. Магнитное поле катушки похоже

	на магнитное поле постоянного магнита цилинд-	Рис. 15.8
	рической формы, см. рис. 15.1, в). Также как и там,

на рис. 15.8 южный полюс слева, а северный – справа.

Если соленоид свернуть в кольцо, получится тороид (тор). Поле внутри тора можно посчитать по формуле (15.8), а поле снаружи равно нулю.

Для витка с током I, да и для катушки тоже, можно ввести понятие маг-

нитный момент pm, рис. 15.9. Это векторная величина, равная
pm = IS n ,			(15.9)	S
где S – площадь витка, а nr – единичный вектор нормали к по- I				n
верхности витка. Измеряется в А·м2.				pm
Тогда формулу (15.7) можно записать в виде
Br = 2k	pm	,	(15.7)″	Рис. 15.9
1	r3

где r2 = R2 + r 2 .
0
Если этот виток находится в магнитном поле B , то на него действует ме-
ханический вращающий момент сил M , равный
M = [prm B].	(15.10)

Эта формула объясняет вращение якоря2 электродвигателя при включении тока.

1Длина катушки много больше ее диаметра.

2Якорь – это, по существу, катушка сложной формы, находящаяся в поле постоянных магнитов.

101