Лекция 8. Первое начало термодинамики. Теплоемкость

С изобретением тепловых машин, где в качестве рабочего вещества используется газ или водяной пар, возник вопрос о теплопередаче между телами, то есть как передается тепло и на что оно расходуется. Первое начало (закон) термодинамики открыто в середине XIX века в виде, близком к современному.

8.1. Первое начало термодинамики. Теплоемкость

Первое начало термодинамики: количество теплоты Q, сообщенное системе, идет на увеличение внутренней энергии системы U и на совершение системой внешней работы А:

Q = U + A.

(8.1)

Например, если газу под поршнем сообщить некоторое количество теплоты, он нагреется (увеличится внутренняя энергия газа) и переместит поршень (газ совершит работу). Внутренняя энергия есть функция температуры. Чем выше температура тела, тем быстрее движутся его молекулы, а, значит, больше внутренняя энергия тела. Если система получает тепло, Q > 0, если отдает, Q < 0; если работает система, A > 0, если работа над системой, A < 0.

Первое начало термодинамики, по существу, является законом сохранения энергии: полная энергия, переданная системе Q, превращается в тепловую энергию молекул системы U и в механическую энергию А. Он справедлив не только для газов, но и для жидкостей, и для твердых тел.

Если процесс медленный (равновесный), этот закон можно записать в ви-

де бесконечно малых приращений величин (в дифференциальном виде)1:
δQ = dU + δA.	(8.1)′

Пусть газ, находящийся под давлением Р медленно сдвинул поршень площади S на бесконечно малое расстояние dx. Тогда совершенная газом элементарная (бесконечно малая) работа

δA = Fdx = PSdx = PdV.

Полная работа газа при изменении объема от V1 до V2 получается интегрированием (суммированием бесконечно малых работ):

V2
A = ∫P(V )dV .	(8.2)

V1

Для характеристики процессов теплообмена введем понятия молярная и удельная теплоемкость вещества (не обязательно газа).

1 Внутренняя энергия – это функция состояния системы, для идеального газа зависящая только от температуры. Для равновесных процессов функция U(T) дифференцируемая и для нее определен дифференциал dU = U′(T)dT, где U′(T) – производная функции U(T) по температуре. Напротив, количество теплоты и работа не являются функциями состояния системы: нельзя сказать, что у системы такая-то теплота или такая-то работа. Для них дифференциал не определен. Поэтому бесконечно малые приращения этих величин обозначеныпо-другому.

54

Молярная теплоемкость – это отношение бесконечно малого количества теплоты, полученного молем вещества, к соответствующему приращению его температуры:

C =	1		δQ	(8.3)
	ν		.
		dT

Удельная теплоемкость – это отношение бесконечно малого количества теплоты, полученного килограммом вещества, к соответствующему прираще-

нию его температуры:	1		δQ
c =
			.	(8.4)
	m dT

Эти теплоемкости связаны между собой простым соотношением С = μс и измеряются соответственно в Дж/(моль·К) и в Дж/(кг·К).

Чем больше теплоемкость, тем медленнее вещество нагревается и медленнее остывает. Например, в холодную погоду водоемы охлаждаются медленнее окружающего воздуха и вблизи них теплее (в холодную погоду водоплавающие птицы сидят на воде). А в жару, наоборот, вода нагревается медленнее окружающего воздуха, и вблизи водоемов прохладнее. Это обусловлено тем, что теплоемкость воды гораздо больше теплоемкости воздуха.

Для газов, как правило, пользуются молярной теплоемкостью, а для жидкостей и твердых тел – удельной1. Например, из формулы (8.4) легко получить школьную формулу для количества тепла, которое нужно сообщить телу массы m, чтобы нагреть его от температуры t1 до температуры t2

δQ = mcdT.

Считая, что масса в процессе не меняется, а теплоемкость не зависит от температуры, получим

T2

Q = ∫δQ = mc∫dT = mc(T2 −T1) = mc T .

T1

ТаккакразницатемпературвкельвинахиградусахЦельсияодинакова, то

Q = mc(t2 – t1).

(8.5)

Аналогично из формулы (8.3) можно получить похожее выражение для теплоты через молярную теплоемкость и количество вещества. В термодинамике особо рассматриваются следующие молярные теплоемкости: молярная теплоемкость при постоянном объеме

C	=	1		δQ	=	1	dU			(8.3)′
		ν				ν
V			dT		V		dT			V

и молярная теплоемкость при постоянном давлении

1 Значения теплоемкостей обычно определяют экспериментально и приводят в справочных таблицах. Для идеального газа теплоемкости можно сравнительно легко рассчитать из классических молекулярно-кинетических принципов. Теоретический расчет теплоемкостей жидкостей и твердых тел довольно сложен, так как опирается на принципы квантовой физики.

55

CP =	1		δQ	(8.3)″
	ν		.
		dT P

Для идеального газа эти теплоемкости связаны между собой уравнением

СР = CV + R. (8.6)

Для идеального газа в диапазоне средних температур (100-1000 К) теплоемкость CV рассчитывается из молекулярно-кинетических принципов, см. приложение к главе II. Не вдаваясь в детали расчета, отметим, что для одноатомно-

го газа CV = 32 R , для двухатомного CV = 52 R , для трех- и более CV = 3R. Для термодинамических расчетов воздух обычно считают двухатомным газом.

8.2. Первое начало термодинамики для различных процессов

Как видно из определений (8.3)′ и (8.3)″, теплоемкость при постоянном объеме используется для описания изохорного процесса, а теплоемкость при постоянном давлении – изобарного.

Действительно, так как в изохорном процессе объем не меняется, то газ работы не совершает, и первое начало термодинамики для этого процесса будет иметь вид

Q = U = νСV T.	(8.7)
Первое начало для изобарного процесса:
Q = νСP T.	(8.8)

В изотермическом процессе температура постоянна, поэтому внутренняя энергия не меняется, и первое начало термодинамики для этого процесса можно получить следующим образом:

	V		V2
	Q = A = ∫2	P(V )dV = νRT ln		,	(8.9)
			V1
	V1

где зависимость P(V) определяется из уравнения Менделеева – Клапейрона

(7.6): P = νRT/V.

Кроме этих трех процессов часто рассматривается адиабатический процесс, в котором газ не обменивается1 теплом с окружающей средой. Первое начало термодинамики для такого процесса очень простое

P

0

Q = 0.

(8.10)

адиабата

изотерма

В координатах P-V график адиабатического процесса похож на изотерму, только идет более круто, рис. 8.1.

	CP	PV γ = const,	(8.11)
где γ =		− показатель адиабаты.
	C
	V

Рис. 8.1	V	В адиабатическом процессе U = –A. Отсюда сле-
		дует вывод, что при адиабатическом расширении (А > 0)

1 или не успевает обменяться

56

газ охлаждается ( U < 0), а при адиабатическом сжатии (А < 0) – нагревается ( U > 0). Это свойство используется в технике. Например, при резком сжатии воздух в цилиндрах дизельного двигателя сильно нагревается и воспламеняет топливо. В природе многие атмосферные процессы можно считать адиабатическими. Например, теплые воздушные массы, быстро поднимаясь вверх, адиабатически расширяются (так как с высотой падает давление). При этом они охлаждаются, и в них начинается конденсация водяных паров, которые мы видим как облака.

Конечно, все многообразие тепловых процессов, происходящих в природе, не исчерпывается четырьмя рассмотренными. Первое начало термодинами-

ки для любого квазистатического процесса с идеальным газом имеет вид

V2
Q = νCV T + ∫P(V )dV ,	(8.12)
V1
где первое слагаемое – изменение внутренней энергии	U, а второе – работа га-
за А.

Вопросы к лекции 8

1.Сформулируйте первое начало термодинамики и приведите иллюстрирующий его пример.

2.Что такое теплоемкость?

3.Почему прибрежный климат мягче континентального?

4.Почему перед весенними и летними ночными заморозками рекомендуется обильно полить растения?

5.Дайте характеристику адиабатического процесса.

6.Выведите первое начало термодинамики для основных процессов.

7.Почему при быстром подъеме воздушных масс происходит интенсивное образование облаков?

8.Почему в дизельном двигателе топливо воспламеняется без электрического разряда?

57