2.3. Работа и мощность. Кинетическая энергия

Работа (элементарная) силы F при перемещении тела на малое расстояние ds – это произведение проекции этой силы на направление движения и самого расстояния:

δA = (Fcosα) ds.		(2.8)			υ2
Чтобы найти полную работу силы при перемещении					2
из точки 1 в точку 2 по кривой (рис. 2.8), надо сложить все				r
бесконечно малые (элементарные) работы, то есть проин-				ds	α
тегрировать данное выражение вдоль всей кривой от пер-					F
вой до второй точки:	∫(Fdsr) ,		υ1	1
A = ∫(F cosα)ds =		(2.8)′			Рис. 2.8
1→2	1→2		r	r
где во втором интеграле – скалярное произведение векторов
			F	и ds .
Это общее определение работы.
Если проекция силы F cos α при движении не меняется, то ее можно вы-
нести за знак интеграла, и	A = Fscosα,				(2.8)″

где s – пройденный путь. Это хорошо известная из школьного курса формула для работы.

Единица измерения работы – джоуль (Дж). Из любой из трех приведенных выше формул

[A] = Дж = Н·м.

Средняя мощность − это отношение работы А к промежутку времени t, за который она совершена,

W =	A	.	(2.9)
	t
Эта формула дает точный результат для постоянной мощности.			Если

мощность меняется со временем, то для нахождения мгновенной мощности надо брать производную работы по времени:

W =	δA	.	(2.9)′
	dt

Единица измерения мощности – ватт (Вт). Из определения мощности

[W] = Вт = Дж/с.

Найдем связь между работой и кинетической энергией. Пусть тело массы m переместилось из точки 1 в точку 2 вдоль кривой (рис. 2.8) под действием некоторой силы F (необязательно постоянной). В точке 1 скорость тела υ1, в точке 2 – υ2. Из второго закона Ньютона

F cos α = maτ = m ddtυ.

Так как υ = dsdt , то ds = υdt. Подставляя эти выражения в интеграл (2.8)′,

получим

15

υ2		mυ2			υ2			mυ2		mυ2
A12 = m ∫	υdυ =					=		2	−	1	.
		2			υ			2		2
υ
1			1
Величина			mυ			2
	K =									(2.10)
			2

называется кинетической энергией тела (материальной точки) массы m, движущегося со скоростью υ. Тогда

A12 = K2 – K1,

(2.11)

Таким образом, работа силы (суммарной) при перемещении тела равна приращению кинетической энергии этого тела. Это утверждение называется

теоремой о кинетической энергии.

Еще раз отметим, что кинетическая энергия связана с движением тела.

2.4. Потенциальная энергия. Закон сохранения энергии

В отличие от кинетической энергии потенциальная энергия связана с действием на тело какого-либо потенциального поля, например, гравитационного или электрического (тело может быть неподвижным, но обладать потенциальной энергией).

Потенциальным называют поле, в котором действуют силы, работа которых не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положением перемещаемого тела. Такие силы называют потенциальными или консервативными, например, сила тяжести, сила упругости1, электростатические силы. Если же работа силы зависит от формы пути или от скорости тела, то такая сила непотенциальная (неконсервативная), например, сила трения или сила сопротивления среды.

Потенциальная энергия является функцией только координат U(x, y, z), причем работа консервативной силы при переходе тела из точки 1 в точку 2

(рис. 2.8) равна убыли потенциальной энергии тела:
A12 = U1 – U2.	(2.12)

Формулы для потенциальной энергии U имеют разный вид в зависимости от характера действующих сил. Например, потенциальная энергия тела массы

m в однородном гравитационном поле
U = mgh,					(2.13)
где h − высота, отсчитанная от нулевого уровня.
Потенциальная энергия упруго деформированного тела жесткости k
U =	k	l 2		,	(2.14)
		2

где k – коэффициент жесткости, l – величина деформации.

Если система замкнутая, и в ней действуют только потенциальные силы, то работу в ней можно выразить через (2.11) или (2.12). Приравнивая эти выражения, получим

1 Сила упругости имеет электрическую природу.

16

K1 + U1 = K2 + U2.

Сумма кинетической и потенциальной энергии Е = K + U называется полной энергией тела или системы тел. Таким образом,

Е1 = Е2 или Е2 − Е1 = 0. (2.15)

Это закон сохранения энергии: полная энергия замкнутой системы, в которой действуют только потенциальные силы, не меняется. То есть, если такая система тел переходит из состояния 1 в состояние 2, полная энергия системы сохраняется (E1, E2 − полные энергии системы в соответствующих состояниях).

Если в системе действуют внешние силы (незамкнутая система) и есть трение или сопротивление среды (непотенциальные силы), то закон сохранения энергии принимает вид

E2 − E1 = Авн + Атр,

(2.16)

где Авн – работа внешних сил, Атр – работа сил трения (Атр < 0). Работа силы трения переходит в тепло (внутреннюю энергию соприкасающихся тел).

Выражение (2.16) имеет общий характер, так как не делает ограничений на свойства системы, и иногда называется обобщенным законом сохранения энергии.

Взаключение, отметим, что энергия характеризует способность системы

ксовершению работы при переходе из одного состояния в другое. Энергия не возникает из ничего и не исчезает бесследно, но лишь переходит из одного вида в другой. Все виды энергии измеряются в джоулях (Дж).

Вопросы к лекции 2

1.Что изучает динамика? Сформулируйте три закона Ньютона. Как называется сила, входящая во второй закон Ньютона?

2.Приведите примеры сил, действующих в природе. Какое значение они имеют для живых организмов и технических средств?

3.Почему отделение сливок в сепараторе происходит быстрее, чем при естественном отстаивании молока?

4.Выведите формулу для угла наклона поверхности жидкости в цистерне, движущейся по ровной дороге с ускорением a (см. первое приложение к главе I). Приведите рисунки для

случаев разгона и торможения, а также найдите этот угол для цистерны с молоком, тормозящей с ускорением –2 м/с2.

5.Сформулируйте закон сохранения импульса. В каких процессах он выполняется?

6.Напишите формулы для механической работы и мощности и дайте определения этих величин. В каких единицах они измеряются?

7.Два одинаковых трактора за одинаковое время вспахали разные участки поля: один – 50 га, второй – 80 га. Какой из них развил большую мощность, если структура почвы на обоих участках одинаковая? Ответ обоснуйте.

8.Назовите виды механической энергии. Какой физический смысл они имеют?

9.Какие силы называют потенциальными (консервативными), а какие непотенциальными (неконсервативными)? Приведите примеры.

10.Сформулируйте закон сохранения энергии.

11.Куда «уходит» часть механической энергии во всех реальных процессах?

12.Прочитайте второе приложение к главе I и посчитайте, на сколько отстают часы на Земле от часов на Солнце за год. Почему эта разница ничтожно мала?

13.В линейном ускорителе кинетическая энергия электрона возросла от 10 кэВ до 1 МэВ. Каким скоростям частицы соответствуют эти значения?

17