Лекция 3. Вращательное движение твердого тела. Статика

До сих пор мы рассматривали любой движущийся объект как материальную точку, то есть пренебрегали его формой и размерами. Для поступательного движения это вполне оправдано. Если же речь идет, к примеру, о вращении тела вокруг своей оси или об условиях равновесия тела, то такое предположение недопустимо.

Твердым телом будем считать совокупность материальных точек, не смещающихся относительно друг друга. То есть тело, не поддающееся деформациям и сохраняющее форму. Конечно, в природе абсолютно твердых недеформируемых тел не бывает. Любое тело подвержено бóльшим или меньшим деформациям, возникающим вследствие приложения сил. Мы будем рассматривать такие тела, величина деформации которых много меньше их размеров.

Прежде, чем приступить к описанию вращательного движения сделаем

два важных замечания.

1. Угловую скорость можно представить в векторном виде. Направление находится по правилу буравчика. Если тело вращается вокруг оси Z против часовой стрелки (буравчик вывинчивается), угловая скорость направлена вверх, по оси Z (проекция положительная), рис. 3.1, а). Если тело вращается вокруг оси Z по часовой стрелке (буравчик ввинчивается), угловая скорость направлена вниз, против оси Z (проекция отрицательная), рис. 3.1, б).

Z	Z
ω
	ω
а)	б)
	Рис. 3.1

Угловое ускорение тоже можно представить в виде вектора: если тело раскручивается, угловое ускорение направлено по угловой скорости, а если

	тормозит – против.
	2. Векторное произведение векторов a и b – это вектор cr, такой, что
	cr	а) его длина с = absinα;
	r	б) перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы a и b :
	b	r		cr b ;
	α	cr Pl(ar,b) , то есть cr ar,
		в) направлен по правилу буравчика, который делает кратчайший
	ar	поворот от ar	к br.	r	r
	Рис. 3.2
		Одно из обозначений векторного произведения c			=[a b] , а
	схематичное изображение показано на рис. 3.2.
		r r	r	r
	Свойства: 1) [a b] = −[b a] ; 2) если a || b , то [a b] = 0 .
	18

3.1. Момент силы и момент импульса относительно точки. Уравнение моментов

Пусть к балке длины r приложена сила F, как показано на	A
рис. 3.3. Тогда момент силы относительно точки О			α	F
M = F·|OA| = Frsinα,		O	r
где |OA| – расстояние от точки О до линии действия силы или
плечо силы. Это хорошо известное из школы определение мо-			Рис. 3.3
мента силы.

Более точное определение: момент силы F относительно точки О – это

вектор, равный векторному произведению радиус-вектора r	из точки О в точку
приложения силы и этой силы:
M =[rrF],	(3.1)

см. рис. 3.4.

По величине M = Fr sin α. Из этой формулы следует размерность момента силы [M] = H·м.

Z		α	Z
				r
		F			M
	r			α
O			O
		Y			Y
X			X	F

Рис. 3.4

Аналогично определяется момент импульса.

Момент импульса материальной точки относительно точки О – это вектор, равный векторному произведению радиус-вектора r материальной точки и импульса pr этой точки:

r r	rr	(3.2)
L =[r p] = m[r υ],

см. рис. 3.5.

По величине L = mυr sin α. Из этой формулы следует размерность момента импульса [L] = кг·м2/с.

Z

Z

r

υ

O

υ

O

α

r

m

Y

Y

X

L

r

Рис. 3.5

X

Пусть точка О неподвижна. Возьмем производную момента импульса по

времени:

drr r

rdpr

dLr

r r

rr

rr

r

=

p

+

r

=[υp] +[rF]

=[rF

] = M .

dt

dt

dt

Это уравнение моментов для одной материальной точки.

19

Дляr rтвердого тела (системы материальных точек), к которому приложены силы F1, F2 ,... (рис. 3.6) уравнение моментов аналогичное:

				dL	r	(3.3)
				dt	= M ,
	r	r r	r r
				] +... – суммарный момент всех сил относительно точки О.
	где M =[r1F1		] +[r2 F2

Производная по времени от момента импульса твердого тела относительно неподвижной точки О равна векторной сумме моментов всех сил относительно этой точки.

Z r	F1		Уравнение моментов похоже на второй закон Ньютона,
			где вместо импульса – момент импульса, а вместо силы – мо-
r1	rr2	F	мент силы. С помощью уравнения моментов можно описать
O		2	любое вращательное движение, даже самое сложное, напри-
		Y	мер, вращение гироскопов1, применяющихся для определения
X
			отклонений корпусов кораблей, торпед, самолетов, ракет,
Рис. 3.6			спутников и т.д.

3.2. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Это уравнение можно назвать вторым законом Ньютона для вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. Будем рассматривать только случай плоского вращательного движения, когда силы, приложенные к телу (а также и скорости всех точек вращающегося тела), лежат в плоскостях перпендикулярных оси вращения.

В предыдущем параграфе мы говорили о моментах относительно точки.

	Z						Здесь нам понадобятся моменты относительно оси. Момент
	r						силы относительно оси – есть проекция на эту ось момента
	ω						силы относительно какой-либо точки на оси. То есть берем
							удобную точку на оси, находим момент силы относительно
	dL						нее и проектируем его на ось. Аналогично для момента им-
						r	пульса: момент импульса относительно оси – есть проекция
		rr
						υ	на эту ось момента импульса относительно какой-либо точки
							на оси.
				dm
							Пусть твердое тело произвольной формы вращается
	Рис. 3.7						вокруг неподвижной оси Z под действием нескольких каса-
							тельных сил F1, F2,… с угловой скоростью ω (рис. 3.7). Вы-

делим в теле бесконечно малую частицу массы dm, движущуюся со скоростью υ по окружности радиуса r. Тогда момент импульса этой частицы относительно оси Z

dL = dmυr = dmωr2.

Чтобы найти момент импульса всего тела нужно сложить моменты импульса всех частиц, то есть взять интеграл от полученного выражения. Учиты-

1 Гироскоп представляет собой быстро вращающийся диск, закрепленный в специальном подвесе. Ось вращения диска сохраняет ориентацию при поворотах гироскопа.

20

вая, что все частицы, составляющие тело, вращаются с одной угловой скоростью ω, получим

L = ∫dL = ω∫r 2dm .

Интеграл ∫r2dm называется моментом инерции тела относительно оси вра-

щения. Момент инерции зависит от массы, размеров и формы тела, а также от оси, вокруг которой вращается тело,

J = ∫r2dm .

(3.4)

Как пользоваться этой формулой, увидим в дальнейшем.

Поэтому момент импульса твердого тела определяется следующим обра-

зом:
		L = Jω,			(3.5)
Из уравнения моментов (3.3) в проекциях на ось Z
	dLz			= M z ,
		dt
опуская индексы и подставляя выражение (3.5), получим
d(Jω) = M ,
		dt
и если момент инерции постоянный, J = const,
J		dω	= Jε = M		(3.6)
		dt
Это основное уравнение (закон) динамики вращательного					движения

твердого тела. Закон формулируется следующим образом: произведение момента инерции тела J относительно оси вращения на угловое ускорение равно суммарному моменту M всех внешних сил относительно той же оси.

Например, на вращение тела, изображенного на рис. 3.8, влияют две силы: F1 и F2. Их моменты относительно оси Z соответственно M1 = F1r1 и M2 = F2r2.

	Тогда полный момент сил относительно оси Z	Z
	М = M1 – M2 = F1r1 – F2r2.
	Обратим внимание, что суммирование моментов
	идет с учетом знаков, см. определение момента силы от-	r1
	носительно оси. Правило достаточно простое и следует из	F1
	векторного произведения: если сила действует по направ-
	лению вращения (раскручивает тело), то ее момент берет-	r2
	ся с «плюсом», а если против вращения (тормозит) – с
	«минусом». Как и в случае прямолинейного движения,	F2
	тормозящее действие на вращающиеся тела тоже оказы-	Рис. 3.8
	вают силы трения.

Уравнение (3.6) похоже на второй закон Ньютона (2.1), где вместо массы – момент инерции, вместо ускорения – угловое ускорение, вместо силы – момент силы. То есть параметры, характеризующие поступательное движение, меняются на соответствующие параметры вращательного движения. Так, обычная масса служит мерой инертности тела при поступательном движении, а

21