ГЛАВА III. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

Впервой главе упоминалось поле тяжести Земли или гравитационное поле, действующее на тела, имеющие массу. После открытия французским физиком Ш. Кулоном притяжения разноименно заряженных тел с XIX века к числу свойств частиц стали прибавлять электрический заряд. Для описания взаимодействия движущихся зарядов английский физик М. Фарадей ввел в науку новое понятие электромагнитного поля. Физическое поле – это особый вид материи, посредством которого осуществляется взаимодействие между частицами на расстоянии.

Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях, а также взаимодействие между ними изучает электродинамика.

Воснове учения об электромагнетизме лежат следующие экспериментальные факты.

Электрическое поле порождается заряженными частицами или переменным магнитным полем.

Магнитное поле порождается движущимися заряженными частицами или переменным электрическим полем.

Лекция 13. Электростатика

Электростатика изучает электрические поля неподвижных заряженных тел. Эти поля не меняются со временем и называются постоянными.

Явление приобретения электрического заряда телами при определенных условиях, например, при трении, называют электризацией. При этом происходит разделение зарядов между контактно взаимодействующими телами или между частями одного тела вследствие неконтактного влияния других тел.

Заряд измеряется в кулонах (Кл = А·с). Элементарным зарядом является заряд электрона е = –1,6·10–19 Кл, то есть любой заряд кратен заряду электрона. Если в теле избыток электронов, его заряд отрицательный, если недостаток – положительный.

Один из фундаментальных законов электричества – закон сохранения заряда: если через границу системы не проходят заряженные частицы, полный заряд системы не меняется.

Другой фундаментальный закон – закон Кулона: сила взаимодействия двух точечных1 зарядов в вакууме направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды, пропорциональна их величинам q1 и q2 и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними

	F = k	q1q2	,	(13.1)
		r 2

1 Точечными считаются заряженные тела, размеры которых малы по сравнению с расстоянием r между ними.

79

1

9

−12

постоянная величина k =

= 9·10

м/Ф, где ε0 = 8,85·10

Ф/м – электриче-

4πε0

r

r

ская постоянная; F1

= −F2 и F1 = F2

= F, рис. 13.1.

F1

F2

Разноименные заряды притягиваются, одноименные –

отталкиваются.

q1

r

q2

Характеристиками

электрического

поля

являются

Рис. 13.1

напряженность

(силовая

характеристика) и

потенциал

(энергетическая характеристика).

13.1. Напряженность и потенциал электрического поля

Напряженность электрического поля E в какой-либо точке пространст-

ва – это сила, действующая на единичный1 неподвижный точечный заряд, находящийся в данной точке.

Еслиr заряд q находится в электрическом поле в точке, где напряженность поля E , то на заряд действует сила

										F = qE .	(13.2)
										Если q > 0, то сила направлена в ту же сторону,
	E		q
									F	что и поле, а если q < 0, то в противоположную, как по-
	F		q							казано на рис. 13.2. Напряженность – силовая характери-
										стика поля: чем больше напряженность, тем сильнее
		Рис. 13.2
										действует поле на заряд.

Электрическое поле не видно, оно проявляется действием на заряд и схематически изображается в виде силовых линий (линии напряженности поля). Для определенности силовые линии направляют от положительного заряда к отрицательному. При этом вектор напряженности поля направлен по касательной к силовой линии в данной точке. Если напряженность во всех точках пространства одинакова, поле однородное, если нет – неоднородное.

Напряженность поля точечного заряда q на расстоянии r от него

				r	q r
		r	E	E = k			r ,		(13.3)
					r3
						q			(13.3)′
q				E = k r 2 .
				Поле точечного заряда неоднородное, оно убы-

Eвает с расстоянием, E(r) ~ 1/r2, как показано на рис. 13.3.

			Чтобы найти напряженность поля нескольких
			точечных зарядов в какой-либо точке, надо векторно
			сложить напряженности каждого отдельного заряда,
	0	r	создаваемые в этой точке, рис. 13.4. В этом заключа-
			ется принцип суперпозиции электрических полей.
	Рис. 13.3

1 Единичным называют положительный заряд величины 1 Кл.

80

	E1
	E
	E2
q1	q2
	Рис. 13.4

Простейшей системой точечных зарядов является электрический диполь. Так называются два равных по величине и противоположных по знаку точеч-

ных заряда +q и –q на расстоянии l друг от друга, рис. 13.5.				r
Если длина диполя l пренебрежимо мала по сравнению с рас-				l
	q					q
стоянием от диполя до точки наблюдения, то диполь называ-		Рис. 13.5
ют точечным. Характеристика диполя – дипольный момент
pr = ql .

Молекулы многих диэлектриков обладают дипольным моментом и определяют электростатические свойства вещества. Более подробно об этом – в следующем параграфе.

Чтобы найти напряженность поля в случае, если заряд не точечный, а произвольной формы, его нужно разбить на множество точечных зарядов и векторно просуммировать напряженности полей каждого из них.

Для этого удобно пользоваться теоремой Гаусса, согласно которой поток ФЕ вектора напряженности электрического поля (электрический поток) заряженного тела через произвольную замкнутую поверхность, окружающую это тело, пропорционален суммарному заряду q, находящемуся внутри этой поверхности,

ФЕ = 4πkq.		(13.4)
По определению1 поток вектора E через маленькую пло-
щадку S равен ФЕ = Е Scosα, где α − угол между вектором E	S	E
и нормалью к площадке, рис. 13.6.		α
Теорема Гаусса используется для нахождения напряженно-		n
сти электрического поля, создаваемого заряженными телами раз-
личной формы (сфера, пластина, нить, цилиндр и др.). Для этого	Рис. 13.6
необходимо ФЕ выразить через напряженность электрического
поля и подставить в формулу (13.4).

Так, например, напряженность поля внутри заряженной по поверхности сферы радиуса R (с полным зарядом q) равна нулю, а поле вне сферы определяется так же, как и для точечного заряда q:

0,				r < R,
	q				(13.5)
E(r) =
k			,	r ≥ R.
	r	2

1 Точное определение потока вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность S: ФE = ∫∫(Enr)dS , где интеграл берется по замкнутой поверхности S.

S

81

q				r	Эта формула справедлива и для заряженного ме-
					таллического шара, так как весь заряд у проводников со-
				r	средоточен на поверхности, то есть внутри проводника
					электрического поля нет. Формулу (13.5) можно полу-
				R
					чить следующим образом, см. рис. 13.7. Мысленно ок-
					ружим сферу (шар) сферой радиуса r ≥ R. В силу сим-

Eметрии величина напряженности поля одинакова на поверхности этой сферы, а сам вектор напряженности перпендикулярен поверхности сферы. Тогда по определению потока ФЕ = ES = 4πEr2. По теореме Гаусса ФЕ =

0	R	r	4πkq,	откуда следует второе выражение в формуле
Рис. 13.7			(13.5). Аналогичные рассуждения для внутренней части:
			мысленно выделим сферу радиуса r < R. По определе-
нию потока ФЕ = ES = 4πEr2,				а по теореме Гаусса ФЕ = 0, так как внутри «мыс-
ленной» сферы заряда нет.

σНапряженность электрического поля равномерно за-1

				ряженной бесконечной пластины (плоскости, рис. 13.8) с
		E
				поверхностной плотностью заряда σ	равна	2
				E = 2πkσ.		(13.6)
				Напряженность поля между двумя противоположно
	Ex			заряженными пластинами, находящимися вблизи друг дру-
				га (плоский конденсатор, рис. 13.14),
		0	x	E = 4πkσ.		(13.7)
				Как видно из формул (13.6) и (13.7) вблизи пластин
				поле однородное, рис. 13.8 (однако бесконечных пластин не
	Рис. 13.8
				бывает, и около их краев поле неоднородное, рис. 13.14).

Следует подчеркнуть, что вектор напряженности электрического поля на поверхности заряженного проводника всегда перпендикулярен поверхности, иначе будет течь ток. Как уже отмечалось, заряды в проводниках внутрь не проникают, а всегда находятся на поверхности, скапливаясь на ее заостренных частях.

Перейдем к следующей характеристике электрического поля – потенциа-

лу.

Потенциал электрического поля ϕ в какой-либо точке пространства можно определить как энергию единичного неподвижного точечного заряда в данной точке.

Если заряд q находится в электрическом поле в точке с потенциалом ϕ, то его потенциальная энергия

U = qϕ.	(13.8)
Таким образом, потенциал является энергетической	характеристикой

электрического поля: чем больше потенциал, тем больше энергия заряда в этом

1Размеры пластины много больше расстояния до точки наблюдения.

2Вывод формулы рекомендуется проделать самостоятельно, взяв в качестве «мысленной» поверхности цилиндр, перпендикулярный заряженной плоскости.

82

поле. В отличие от напряженности потенциал величина скалярная, являющаяся

функцией координат ϕ(x, y, z), единица измерения – вольт: [ϕ] = В = Дж/Кл = Н·м/(А·с) = кг·м2/(А·с3).

Потенциал определен с точностью до произвольной постоянной. Значение этой постоянной не играет роли, так как электрические поля связаны с разностями потенциалов между различными точками пространства. В теоретической физике за нулевой потенциал берут потенциал бесконечно удаленной точки пространства, а на практике – потенциал поверхности Земли. Поверхность, во всех точках которой потенциал одинаков, называется эквипотенциальной, причем силовые линии перпендикулярны этой поверхности.

Разность потенциалов ϕ1 − ϕ2 между точками 1 и 2 – это работа, совершаемая силами электрического поля при перемещении единичного заряда из точки 1 в точку 2.

Если заряд q перемещается из точки 1 с потенциалом ϕ1 в точку 2 с потенциалом ϕ2, то работа сил электрического поля

A12 = U1 − U2 = q(ϕ1 − ϕ2).

(13.9)

Работа сил электрического поля не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положением заряда, поэтому электрические силы являются потенциальными (см. п. 2.4). Если A12 > 0, то работают электрические силы, если A12 < 0, то работа совершается против электрических сил. Работа при перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю.

Найдем связь потенциала с напряженностью электрического поля. Пусть 1 и 2 бесконечно близкие точки на оси Х, так что х2 – х1 = dx. Работа при переме-

щении заряда q из точки 1 в точку 2 будет δA12 = Fх dx = qЕх dx. Та же работа равна δA12 = q(ϕ1 − ϕ2) = −qdϕ. Поэтому dϕ = −Ех dx. Аналогичное рассуждение

применимо для осей Y и Z. В результате получаются три соотношения:

Ex = −

∂ϕ

,

Ey

= −

∂ϕ

,

Ez = −

∂ϕ

,

∂y

∂z

∂x

которые можно объединить в одну векторную формулу

r

∂ϕ r

∂ϕ r

+

∂ϕ r

r

(13.10)

E = −

i +

j

k

= −gradϕ = − ϕ.

∂x

∂y

∂z

Выражение в скобках – вектор, который называется градиентом потенциала1. В правой части показаны сокращенные обозначения градиента. Мы уже неоднократно встречались с градиентом в одномерных случаях, изучая вязкость (п. 6.2), теплопроводность и диффузию (п. 8.1 и 8.2). Здесь то же самое: если электрическое поле направлено вдоль оси Х, то

1 Градиент функции ϕ(x, y, z) есть вектор, направленный в сторону максимального возрастания этой функции, а его длина равна производной функции в том же направлении. Величины ∂ϕ/∂x, ∂ϕ/∂y, ∂ϕ/∂z называются частными производными функции ϕ(x, y, z). При взятии производной по x величиныy и z фиксируются(считаются постоянными), аналогично по y и по z.

83

E = −

dϕ

.

(13.10)′

dx

ся

В случае сферической симметрии градиент тоже существенно упрощает-

dϕ

E = −

.

(13.10)″

dr

ϕ

Из формул (13.3)′

и (13.10)″ после интегрирования

можно получить зависимость потенциала ϕ точечного заряда

q от расстояния r до него

ϕ = k

q

.

(13.11)

0

r

r

как пока-

Рис. 13.9

Потенциал убывает с расстоянием, ϕ(r) ~ 1/r,

зано на рис. 13.9.

Потенциал заряженной сферы радиуса R с зарядом q имеет вид

q

k

,

r < R,

ϕ

R

ϕ(r) =

(13.12)

q

k

r

,

r ≥ R.

То есть потенциал внутри заряженной сферы постоян-

0

R

r ный, а вне сферы имеет тот же вид, что и потенциал точечно-

Рис. 13.10

го заряда, рис. 13.10. Для заряженного металлического шара

вид зависимости потенциала от расстояния до центра шара точно такой же, то есть потенциал внутри проводника одинаковый и равен потенциалу на его поверхности.

Распределение потенциала равномерно заряженной

ϕбесконечной пластины (плоскости) с поверхностной плот-

	0	ностью заряда σ определяется из формул (13.6) и (13.10)′
	x	тоже после интегрирования (рис. 13.11)
		ϕ(x) = 2πkσx,	x < 0,	(13.13)
Рис. 13.11
		− 2πkσx,	x > 0.

Разность потенциалов или напряжение V между двумя заряженными пластинами (не обязательно противоположных знаков), расстояние между которыми d,

V = ϕ1 − ϕ2 = Ed,

(13.14)

где Е – напряженность поля между пластинами. Эта формула справедлива только в случае однородного поля и получается интегрированием (13.10)′. Из нее хорошо видно, что напряженность измеряется в В/м.

84