ves_sopromat

y грузовая

эпюра не линейна

y

zс

единичная

эпюра

линейна

а

zc

в

d p

C

dz

yc

p

MxP

z

Mx1

z

- 121 -

Суть метода (как и в интеграле Мора) состоит в приложении в точке искомого перемещения единичной нагрузки (P=1 или M=1) в требуемом направлении, построении силовой (грузовой) и единичной эпюр моментов и последующего их перемножения по определенному правилу.

Рассмотрим эпюры M xP и M x1 в прямом стержне постоянной жесткости:

M xP - произвольная силовая эпюра; M x1 - линейная единичная эпюра.

Начало координат поместим в точку пересечения эпюры M x1 и оси z, тогда:

- 122 -

М x1 z tg - единичный момент. Запишем интеграл Мора:

b

M

M

tg b

EI

dz

EI

z M

xР x1

dz

n

xР

а

x

x а

d P

M xР dz d P - элементарная площадка грузовой эпюры.

b

Тогда: z M xРdz zd p zc P ,

а

p

где P - площадь грузовой эпюры M xP ; zc - абсцисса ее центра тяжести.

Тогда: zc tg yc , n p yc - формула Верещагина.

EIx

Определение перемещений с помощью способа Верещагина (по аналогии с интегралом Мора) ведется путем суммирования перемещений по всем ненулевым участкам.

z2			Р = ql
l
А	z1	HB = ql	В	z3
RA = ql		l	RB = ql
		ql2
		С2
	2/3l		ql2
		С3		l

2/3l

MxР

Пример. Определить угловое перемещение правой опоры рамы ( B ).

Воспользовавшись найденными в предыдущем примере величинами силовых опорных реакций, построим силовую эпюру изгибающих моментов M xP .

Освободим раму от внешней нагрузки и в точке B приложим единичный момент (М = 1) в предполагаемом направлении поворота опоры.

					1
z2				ус2=2/3
					1
				ус3=1
z1	М = 1		z3
		В		Mx1
А	HB = 0

	RA		1		l			1
			l			RB
								l

Определим единичные опорные реакции:

	n
	Fx H B 0	, H B	0 ;
	i 1
	n			1
	M A RB l 1 0 , RB					;
					l
	i 1
			RA 1 .
	M B RA l 1 0 ,
	n
	i 1						l

Построим единичную эпюру изгибающих моментов M x1 .

Воспользуемся способом Верещагина (рассматриваем «ненулевые» 2 -ой и 3-ий участки, т.е. отличные от нуля в силовом и в единичном нагружении):

- 123 -

n

p

M xP yc

M x1

ql2 l 2

ql2

l 1

5ql3

B

i

i

.

i 1

EIx

2 3 EIx

2 EIx

6EIx

Каждое слагаемое в формуле Верещагина положительно, т.к. силовая и единичная эпюры одного знака, т.е. выстроены на внутреннем контуре рамы.

Полученное положительное значение перемещения свидетельствует о том, что опора В поворачивается в направлении действия единичного момента.

Ответ:			5ql3	.
	B
			6EIx

§55. Определение напряжений и перемещений в витых пружинах.

Пружина – пространственно изогнутый стержень, ось которого представляет собой витую линию.

Назначение:

в качестве амортизаторов, т.е. для смягчения ударов и толч ков;

в качестве аккумуляторов упругой энергии для приведения в движение деталей и механизмов (в военном деле, радиотехнике, в приборо- и

двигателестроении).

Все пружины можно классифицировать по характеру работы:

пружины растяжения – сжатия (витки пружины работают в основном на кручение);

пружины кручения (витки пружины работают в основном на изгиб). Пружины в основном навивают из круглых прутков.

пружина

растяжения

Р Р

Применяется в радиотехнике, электротехнике, в военной промышленности.

пружина

кручения

М

Применяется в часовых механизмах.

пружина

сжатия

Р

Р

Широко распространена в тяжелом и легком машиностроении, в подъемно-транспортных устройствах, в автомобилестроении.

Верхнюю и нижнюю опорные поверхности пружин сжатия стачивают, а в расчетах не учитывают действие верхнего и нижнего витков.

- 124 -

Рассмотрим основные характеристики цилиндрической пружины.

ось пружины

Р

d

			D – диаметр пружины;
			d – диаметр прутка;
			n – количество витков;
		Р	h – высота пружины;
h			λ – осадка пружины;
			α – угол подъема пружины;
			S – шаг пружины.

D

Осадка пружины – это разница между ее высотой до и после нагружения. Осадка максимальна, когда витки касаются друг друга.

Шаг пружины – расстояние между точками, взятыми в одном и том же месте на разных витках.

				развертка			Рассмотрим пружину в развернутом
				одного			виде.
				витка			Длина одного витка пружины в
							развертке – это длина окружности:
						S	l D .
S							Длину всего прутка пружины в
							развертке можно определить по формуле:
							L Dn .
							Тогда, учитывая угол наклона витков
							к горизонтали, можно определить шаг
			D
							пружины по формуле:
				l
							S D tg .
		Р	Линейная часть				Зависимость осадки пружины от
							величины сжимающей силы Р можно
							представить в виде графика.
							Чем больше длина его линейной
							части, тем большее количество упругой
							энергии аккумулирует пружина.

- 125 -

Р

Мысленно рассечем пруток плоскостью,

перпендикулярной

образующей

осевой

пружины, и отбросим ее нижнюю часть.

Действие

отброшенной

части

уравновесим равнодействующей силой R,

которая при параллельном переносе в

R = Р

плоскость сечения прутка может быть

M

Q

заменена силой Q и моментом М:

D

Q P ;

M P

D .

2

y

M

Разложим эти силовые факторы на

Mz

составляющие по осям у и z:

Qy

Q Cos ;

M кр

M z

M Cos ;

Q

Qy

Q

M

N Q Sin ;

Mизг

М х

M Sin .

N

z

Ввиду

того,

что

угол

10 15 ,

Мx

Sin ;

Cos 1 . Тогда имеем:

Q P ; N P

; M

z

P D ;

M

x

P D .

y

2

2

Определим напряжения, возникающие в сечении прутка.

Из-за малости угла можно считать, что

Mкр

Mизг и Qy

N . Следовательно,

при определении суммарных напряжений можно пренебречь нормальными

напряжениями

M

x

и

N .

Тогда в

сечении прутка

остаются

только касательные

напряжения M

и Q

.

z

y

y

Q

М

Поперечная сила Qу, создающая

Mz

у

z

в

сечении

срез,

равномерно

распределена

по

всей

его

x

поверхности.

Максимальные

касательные

Q

напряжения возникают по наружной

образующей прутка:

max

M

Q .

z

y

Ввиду

того,

что

d

D

(т.к.

D 5 10 ),

касательные

напряжения

M

Q ,

d

z

y

поэтому последними можно пренебречь, тогда

M z

PD 16

8PD .

max

M z

W

p

2 d 3

d 3

Итак, получено:

max

8PD

. Таким образом,

показано, что пружина растяжения-

d 3

сжатия в основном работает на кручение.

Определим перемещения пружины растяжения-сжатия, т.е. ее осадку .

Для этого воспользуемся интегралом Мора и приложим единичный момент

M

z1

1 D

в точку искомого перемещения:

2

- 126 -

M

z

M

z1

L

P D D

PD2

L

P D3n 32

8PD3n

dz

dz

.

GI p

2 2 GI p

4GI p

4G d

4

Gd

4

z

0

М

Итак, получено: 8PD3n .

Gd 4

Определим напряжения в пружине кручения круглого поперечного сечения.

Рассмотрим поперечное сечение пружины. При приложении нагрузки, т.е. при ее закручивании, в нем возникает только момент М, который можно разложить на составляющие по осям у и z:

M кр

M z

M Sin ;

вертик аль

M

М

y

Mизг

М y

M Cos .

М

Из-за

малости

угла

Mz

D

имеем: Sin ,

Cos 1

и

х

Мy

M 1 PD .

можно считать, что M

y

M

z

, тогда M

y

гориз онтал ь

2

Следовательно: M

M

и последними можно

z

y

z

пренебречь, тогда максимальные напряжения,

возникающие

в

поперечном

сечении

пружины

кручения можно определить по формуле:

				M y			PD 32		16 PD	.
							2 d 3		d 3
	max		M y	W	y

Таким образом, показано, что пружина кручения в основном работает на изгиб. В пружине кручения для определения углового перемещения одного торца относительно другого также воспользуемся интегралом Мора и приложим

единичный изгибающий момент M y1 1 Cos 1 в точку искомого перемещения:

M y M y1

L PD 1

PDL

PDL 64

32PDL

dz

dz

.

EI

y

2 EI

y

2EI

y

2E d 4

Ed 4

z

0

Итак, получено:

16 PD

;

32PDL

.

max

d 3

Ed 4

§56.

Статически

неопределимые системы.

Статически неопределимой называется система, в которой число реакции связи больше числа основных уравнений равновесия ( уравнений статики). Для плоской системы – 3 уравнения равновесия. Для пространственной – 6 уравнений равновесия.

Если в системе число реакций связей равно числу основных уравнений равновесия, то она статически определима.

Если в системе число реакций связей меньше числа основных уравнений равновесия, то она представляет собой механизм.

-127 -

Встатически неопределимых системах связи, накладываемые сверх связей равновесия, называются дополнительными («лишними»).

Степень статической неопределимости системы равна числу дополнительных связей. Для нахождения «лишних» связей записывают дополнительные уравнения совместности деформаций. Их число равно степени статической неопределимости системы.

RA P1 P2 RB

				B НB			статически
A							определимая система.
RA	P1	RС	P2	RB
A		С		B	НB		1 раз статически
							неопределимая система.
RА	P1	RС	P2	RB
	A						3 раза статически
					B НB
НА		С					неопределимая система.
МА
RА	P1
	A
НА			P2	RB			2 раза статически
							неопределимая система (рама).
МА
					B	НB

Перечисленные статически неопределимые системы статически неопределимы внешним образом. Статическая неопределимость может быть задана не только дополнительными связями, но и условием образования системы.

			Пример: замкнутый контур – 3 раза статически
			неопределим внутренним образом.
			Для раскрытия его статической неопределимости
	М Q	М	необходимо разрезать его в любом месте. В точке
			разреза возникает 3 внутренних силовых фактора :
			нормальная сила N, поперечная сила Q, и изгибающий
	N	N
			момент М. Форма контура не влияет на степень
		Q	статической неопределимости.

Установка шарнира на оси стержня обращает в нуль изгибающий момент в этом сечении, следовательно, снижает степень статической неопределимости на единицу.

Если в шарнире сходятся n стержней, то он снижает степень статической неопределимости на n-1, т.к. заменяет собой столько же одиночных шарниров.

i1 in

				- 128 -
	замкнутый					3 раза
	контур 3 раза
						ст. неопр.
	статически		система 2 раза					система 1 раз
							-2
	неопределим		статически	-2				статически
	Q		неопределима			3 раза		неопределима
	-1					ст. неопр.
N	Q N					-1

3 раза ст. неопр.

Если в конструкции имеются две стойки, оканчивающиеся заделками, образуя плоский замкнутый контур, то она тоже 3 раза статически неопределима.

§57. Канонические уравнения метода сил.

Для раскрытия статически неопределимости заданной (исходной) системы

необходимо, прежде всего, превратить ее в статически определимую, называемую основной, устранив в ней дополнительные («лишние») связи.

В основной системе перемещения по направлениям отброшенных «лишних» связей должны быть равны нулю, что можно выразить уравнением:

i i1 i2 ... i,n 1 in ip 0

(1),

где: i - перемещение по направлению i-той отброшенной связи,

в перемещениях первый индекс означает номер отброшенной связи, второй индекс – номер причины (силового фактора), вызвавшей перемещение. Вместо отброшенных дополнительных связей приложим единичные силовые

факторы (получим эквивалентную систему), которые вызовут единичные перемещения. Тогда выражение (1) можно переписать в виде:

i	x1 i1 x2 i2	... xn 1 i,	n 1 xn in iP 0	(2),
		т.к. in xn in .
Число таких уравнений равно числу степеней статической неопределимости

системы. Они называются каноническими уравнениями метода сил, т.е.

уравнениями, составляемыми по определенному правилу (канону).

В общем виде для n раз статически неопределимой системы канонические уравнения метода сил выглядят так:

x1 11 x2 12 ...				xn 1n 1P 0,
	x2 22			xn 2n 2 P 0,
x1 21
.....................................................
x	x	n 2	...	x	nn		nP	0.
1 n1	n			n

Перемещения iP и ij определяют с помощью интеграла Мора или способа

Верещагина, предварительно построив силовые (грузовые) и единичные эпюры моментов.

Согласно теореме Максвелла: ij ji , тогда 12 21; 23 32 ; 1n n1; 3n n3 и т.п.

x1; x2 ; xn

x1; x2 ; xn ,

- 129 -

Решив систему канонических уравнений относительно неизвестных прикладывают их к основной системе вместо отброшенных дополнительных связей с учетом знака. После этого решают основную систему, учитывая найденные

как обычные заданные силовые факторы. Проверка правильности раскрытия статической неопределимости, т.е. нахождения реакций, заключается в контроле равенства нулю перемещений по их направлениям.

Для расчета одной и той же статически неопределимой системы можно предложить несколько основных систем: рациональнее выбирать ту, которая дает наиболее простые силовые и единичные эпюры моментов.

RА

P = ql

RВ

Пример.

Раскрыть

статическую

A

В

неопределимость балки.

НА

l /2

l /2

Исходная

система 1

раз

статически

МА

P = ql

X1=1

неопределима (из 4 неизвестных реакций

A

вычитаем

3

основных

уравнения

(МхP)= ql2 ·l /2·2·2

равновесия).

ql2/2

C

MxP

В

качестве

наиболее

рациональной

основной системы выбираем консоль.

yc(Mx1)= 5l /6

(Мх1)= l·l /2

Вместо отброшенной дополнительной

l

Mx1

связи RB прикладываем единичную силу

C yc(Mx1)= 2l /3

P = ql

RВ=5ql/16

x1 1 ,

т.о.

получаем

эквивалентную

A

В

систему.

l /2

l /2

Записываем

одно

каноническое

уравнение метода сил:

5ql2/32

6ql2/32

11ql/16

5ql/16

M	11x1 1P 0,	x1		1P	.
				11
	Строим силовую и единичную эпюры
Q	изгибающих моментов.

С помощью способа Верещагина определяем единичное и грузовое

перемещения 11

и 1P , соответственно:

М

х1 ус М х1

l l 2l

l3

;

11

EIx

2 EIx 3 3EIx

М хР ус М х1

ql 2

l 5l

5ql 4

.

1Р

EIx

2 2 2 EIx 6

48EIx

Находим Х

5ql

4 3EI

x

5ql

.

Итак R

5ql

.

1

48EI

x

l3

16

B

16

Окончательно выстраиваем эпюру изгибающих моментов M с учетом

найденной реакции

RB

и

эпюру

поперечных сил Q, позволяющую определить

реакцию RA .

Статическая неопределимость раскрыта.

Ответ:

Н А 0 ;

R

11ql

; M

6ql 2

; R

5ql

.

A

А

16

32

B

16

- 130 -

Способ раскрытия статической неопределимости систем с помощью канонических уравнений метода сил является универсальным и может применяться для как для рам, так и для балок.

§58. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости рам.

Симметричной называется система, в которой геометрическая схема имеет ось симметрии и жесткости симметрично расположенных элементов равны между собой.

l

Р					Использование свойств		симметрии		позволяет
		l/2			ускорить и упростить расчет статически неопределимой
	l/2
		симметрии			системы.
					Рассмотрим	симметричную		раму,	степень
			l		статической неопределимости которой равна трем.
					Для ее раскрытия может быть предложено, к
		ось			примеру, два	варианта	эквивалентных		систем;
					предпочтительным из которых будет второй,
					базирующийся на использовании свойств симметрии.

Р

l

l				l
			Х3 = 1	Х1 = 1
				Х2 = 1

l

Рl/2

Х2 = 1

ось симметрии

Х3 = 1 l/2

Х1 = 1

l

Канонические уравнения метода сил имеют вид:

Х1 11 Х 2 12 Х3 13 1Р 0

Х1 21 Х 2 22 Х3 23 2 Р 0.Х1 31 Х 2 32 Х3 33 3Р 0

Построим эпюры моментов от единичных силовых факторов x1 , x2 и x3 .

Х1 = 1

Mx1

1

1

Х2 = 1

Mx2

l

l

l/2

l/2

Х3 = 1

l/2

Mx3