ves_sopromat

- для пластичных материалов,

- 81 -

	экв		1	2 2	2	3 2 3	1	2
						2		.

Гипотеза хорошо применима для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, для хрупких материалов гипотеза не применима.

Пятая теория прочности.

Гипотеза Мора.

Универсальная гипотеза для пластичных и хрупких материалов.

экв 1 k 3 ,

где: k Т р

Тc

kвр - для хрупких материалов.

вc

Условие прочности имеет вид:

экв	1 k 3		Т (или	B ).
			nT	nB

Для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, получаем k 1 , и гипотеза Мора обращается в гипотезу Треска – Сен-Венана.

Точка бруса, в которой достигается максимальное значение эквивалентного напряжения при сложном напряженном состоянии, называется опасной точкой, а поперечное сечение, которому принадлежит эта точка, называется опасным сечением.

§ 39. Сложное сопротивление. Принцип суперпозиции.

Понятие сложного сопротивления означает, что в поперечном сечении бруса под действием приложенных к нему внешних сил возникает более одного внутреннего силового фактора.

Примером простого сопротивления могут быть следующие виды нагружения:

чистый изгиб;

кручение;

центральное растяжение-сжатие.

В перечисленных случаях в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор: изгибающий момент, крутящий момент, нормальная сила, соответственно.

Все остальные случаи нагружения ведут к возникновению в поперечном сечении бруса сложного сопротивления.

Примеры сложного сопротивления:

поперечный изгиб (поперечная сила и изгибающий момент);

косой изгиб (вертикальный и горизонтальный изгибающие моменты);

внецентренное растяжение-сжатие (нормальная сила, вертикальный и горизонтальный изгибающие моменты);

-82 -

совместное действие изгиба и кручения (горизонтальная и вертикальная поперечные силы, вертикальный и горизонтальный изгибающие моменты, крутящий момент);

и т.п. случаи сложного нагружения.

На основании принципа независимости действия сил, напряженное состояние жесткого стержня определяют путем суммирования напряжений, возникающих от каждого вида простого нагружения (в отдельности по нормальным и кас ательным напряжениям).

Принцип суперпозиции (как и принцип независимости действия сил) означает, что результирующее напряжение представляет собой суммы отдельно взятых нормальных или касательных напряжений от каждого внутреннего силового фактора.

Если в элементе возникают и нормальные, и касательные напряжения, то для дальнейшей оценки его напряженного состояния полученные с помощью принципа суперпозиции напряжения подставляют в формулы для определения эквивалентных напряжений по известным гипотезам прочности.

Принцип суперпозиции применим во всех случаях, когда деформации малы, а материал подчиняется закону Гука.

Понятие сложного сопротивления не эквивалентно по смыслу понятию сложного напряженно-деформированного состояния и одно не подразумевает другого. Это различие будет в дальнейшем проиллюстрировано примерами.

§ 40. Косой изгиб.

Косой изгиб – это такой вид нагружения бруса, при котором плоскость действия изгибающего момента не перпендикулярна ни одной из главных центральных осей поперечного сечения.

Различают два вида косого изгиба:

плоский;

пространственный.

При плоском косом изгибе все нагрузки действуют в одной силовой плоскости и упругая линия бруса – это плоская кривая. При пространственном косом изгибе нагрузки, вызывающие его, действуют в разных продольных силовых плоскостях, а упругая линия бруса – это пространственная кривая.

	Пространственный
Плоский косой изгиб	косой изгиб

			горизонтальная
	q		силовая
y		y	плоскость
			q
M

x	x
z	M	z	вертикальная
			силовая плоскость

- 83 -

Косой изгиб можно рассматривать как совокупность двух прямых изгибов во взаимно-перпендикулярных плоскостях.

Спроецируем изгибающий

y

момент М на оси x и y, тогда

Mx

M

полученные

проекции

можно

представить как:

А

x

M x

MCos ,

M y

MSin .

O

My

Напряжения,

обусловлен-

y

ные действием этих моментов,

xС

z

возникают

на

площадке,

совпадающей с

плоскостью

В

нейтральная

поперечного сечения, которому

линия

принадлежит точка С(х;у),

плоскость действия

поэтому

они

мо гут

быть

сложены алгебраически.

изгибающего момента

силовая линия

yCos

M x y

M y x

xSin

x; y

M x

M y

М

Ix

I y

Ix

I y

.

Нейтральной линией называется геометрическое место точек поперечного сечения бруса, в которых нормальные напряжения равны нулю.

Положение нейтральной линии можно найти, исходя из условия: 0 , т.е.

yCos		xSin	0 .
Ix
		I y

Тогда уравнение нейтральной линии будет иметь вид:

		y x	Sin				Ix	x tg	Ix		.
			I	y			Cos		I	y
	Введем обозначение:	k tg		Ix		, тогда уравнение нейтральной линии имеет
				I y

вид: y kx.

Положение нейтральной линии определяется тангенсом угла ее наклона (tg ) к оси x.

Итак,	tg	М	у	, тогда	tg	I	x	tg . Если	Ix I y , то нейтральная линия не
		М х				I y

перпендикулярна силовой линии и tg tg .

- 84 -

Силовой линией называется линия пересечения плоскости действия изгибающего момента и плоскости поперечного сечения.

У круга, квадрата и прямоугольного ромба I x I y , поэтому нейтральная и

силовая линии будут перпендикулярны, следовательно, в сечениях этих форм не бывает косого изгиба.

Очевидно, что в точках А и В, наиболее удаленных от нейтральной линии, возникнут максимальные нормальные напряжения разных знаков.

Условие прочности д ля опасных точек будет иметь вид:

M

yCos

xSin

max

.

min

Ix

I y

§ 41. Внецентренное растяжение-сжатие. Ядро сечения.

Внецентренное растяжение-сжатие – нагружение, при котором нормальная

равнодействующая внешних сил не совпадает с осью бруса, но параллельна ей. Переместим внецентренно приложенную нормальную силу Р к центру тяжести

сечения по правилу параллельного переноса силы. В результате в центре тяжести сечения появляется и изгибающий момент:

М = Ре ;

где: е – эксцентриситет (расстояние от точки приложения силы Р (точки А( хp ; yp ))

до центра тяжести сечения).

Спроецируем изгибающий момент на координатные оси х и у :

Mx Pyp , M y Pxp .

Напряжение в любой точке поперечного сечения определяется как сумма напряжений от каждого внутреннего силового фактора :

			P		Pyp y		Pxp x		1
		P M x M y						P
			F		Ix		I y		F

		yp y		xp x
					.
		Ix		I y

y			y
	А	x	А	x
	x	P	x y
е	y		O	Мх
				Му
	O
		z	P	z

Для определения положения опасных точек нужно найти положение нейтральной линии, уравнение которой определяется из условия 0 , т.е.:

	1		xp x		yp y	0 .
	F		I y		Ix

- 85 -

Введем понятие новой геометрической характеристики поперечного сечения – радиуса инерции.

Осевой момент инерции сечения можно представить в виде произведения площади этого сечения на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции сечения, т.е.:

Ix y2dF F ix2 и	I y x2dF F iy2 ;
F	F

где: ix2 и iy2 - радиусы инерции сечения относительно осей х и у, соответственно.

Тогда: ix		I	x		и	iy		I y		.
		F						F

Теперь уравнение нейтральной линии можно представить в виде:

				xp x0			yp y0		1	;
				iy2			ix2
где: x0 и y0 -	длины		отрезков, отсекаемых нейтральной линией от
соответствующих координатных осей.
	x0	iy2	и y0				i2
Действительно:							x	.
		xp
							yp

Из полученных уравнений следует, что нейтральная линия пересекает координатные оси в точках, принадлежащих квадранту, противоположному квадранту точки приложения внецентренной нормальной силы.

Определив положение нейтральной линии, находят максимальные растягивающее и сжимающее напряжения в наиболее удаленных от нее точках А и В. Для этих точек записывают условия прочности:

1

y

y

A

x x

0

0

A

A

P

;

F

I x

I y

1

y y

B

x x

B

P

0

0

.

B

F

Ix

I y

Условия прочности записывают с учетом знаков напряжений, определяемы х направлением действия силовых факторов и знаков координат точек А и В.

Если сила Р приложена в центре тяжести сечения, то в нем все напряжения будут однознаковыми (знака приложения силы Р) и нейтральная линия будет находиться в бесконечности.

С удалением точки приложения силы Р от центра тяжести, нейтральная линия будет к нему приближаться, т.о. при внецентренном растяжении -сжатии нейтральная линия может как пересекать сечение, так и находиться за его пределами.

Ядром сечения называется область вокруг центра тяжести сечения, внутри которой приложение силы Р вызывает напряжения одного знака во всех его точках.

Определение геометрии ядра сечения имеет практический интерес для материалов неодинаково работающих на растяжение и сжатие.

- 86 -

Пример. Бетон или кирпичная кладка плохо сопротивляются растяжению ( ВС ВР ). При

расчете конструкций из этих материалов следует исходить из условия их работы только на сжатие. Т.е., необходимо знать такое максимальное значение

эксцентриситета (emax ) приложения внецентренной силы, при котором в сечении будут возникать только отрицательные напряжения.

Для определения координат ядра сечения задают различные положения нейтральной линии, проводя ее касательно к контуру сечения и нигде не пересекая его. Таким образом, определяют координаты точек приложения силы Р по формулам, полученным из уравнения нейтральной линии:

	yр	i2		xр		iy2
		x	;				.
		yн				xн
Пример.	Определить положение	ядра		сечения			прямоугольника со сторонами
	b и h.

	у
	3
h	2	4
	0
		х
	1

b

h

b

Полученные точки

1

0;

; 2

; 0

;

6

6

линиями.

1) зададим yн h2 ; xн .

i2

Ix

bh3

h2

,

x

F

12bh

12

2) зададим x

b

н

2

i2

I y

hb3

b2

,

y

F

12bh

12

i2

h2 2

h

y

x

.

р

12 h

yн

6

;

yн

.

iy2

b2 2

b

x

р

.

12 b

xн

6

3		0;	h		;	4	b		;0		соединяем прямыми
			6				6

- 87 -

Пример. Определить положение и форму ядра сечения сплошного круга радиусом R.

у

1) Зададим yн

R

xн

i2

I

x

R4

R2

4 R2

2

x

F

4

i2

R2

R

3

y

x

4

р

yн

4

4

R

0

х

2) Зададим xн

R

yн

R

1

I y

R

4

R

2

i2

4 R2

y

F

4

x

iy2

R2

R

р

xн

4 R

4

R

R

R

R

Полученные точки 1

0;

; 2

0;

; 3

;0

; 4

;0

соединяем окружностью.

4

4

4

4

Возвращаясь к понятиям сложного напряженного состояния и сложного сопротивления, проиллюстрируем на примерах различие в этих понятиях:

а) внецентренное растяжение-сжатие:

xy 0 ; yz 0 ; zx 0 ;

x 0 ; y 0 .

N M x	M y -	суммарное
нормальное	напряжение	от	трех
внутренних силовых факторов.			z

у

z х

Получено: 1 z ; 2 0 ; 3 0 - одноосное (линейное)

напряженное состояние.

Сложное сопротивление, но простое напряженное состояние.

б) кручение:

x

0 ; y

0 ; z

0 ;

у

zx 0 ; yx

0 ; zy

0 .

zх

y

M z

16M z

Мz

zx

;

W

d 3

x

p

z

z

y

max

z

y

2

zx2

zx .

O

2

z

min

2

Получено: 1 zx ; 2 0 ; 3 zx - двухосное

напряженное состояние.

хz

х

(плоское)

Простое сопротивление, но сложное напряженное состояние.

На практике при реальном нагружении конструкций чаще всего возникает сочетание сложного сопротивления и сложного напряженного состояния.

- 88 -

§42. Изгиб с растяжением (сжатием).

При

таком виде сложного

сопротивления

внутренние

силовые факторы

приводятся к совместному действию продольной силы и изгибающих моментов.

Пусть

сила

N

приложена

перпендикулярно

к

плоскости

y

поперечного

сечения

бруса,

а сила P

действует в самой плоскости поперечного

Py

P

сечения бруса под углом φ к оси y.

Опасное сечение – заделка.

φ

x

Спроецируем поперечную силу P на оси x

и y:

N

Px

Px PSin и

P PCos .

y

z

z

От

каждой

из

полученных

поперечных

сил возникают изгибающие моменты:

Mx Py z и

M y Px z .

В силу принципа суперпозиции имеем:

z

z( N )

z(M

)

z(M

) ,

т.е.

x

y

N

M

x

y

M y

x .

z

F

Ix

I y

Уравнение нейтральной линии имеет вид:

N

M

x

y

M y

x 0 ,

F

Ix

I y

или

N

M

x

M y

0

, т.к.

W

I

x

; W

I y

.

F

Wx

Wy

x

ymax

y

xmax

Максимальные растягивающее и сжимающее напряжения будут наблюдаться в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной линии.

Поочередно приравнивая x и y к нулю, можно найти длины отрезков, отсекаемых нейтральной линией от осей x и y,соответственно:

x	N I y		; y			N I		x	.
				0
0	M y	F				M x	F

При изгибе с растяжением (сжатием) влиянием касательных напряжений (от действия поперечных сил) как правило, пренебрегают из -за их малости по сравнению с нормальными напряжениями.

Условие прочности при изгибе с растяжением (сжатием) имеет вид:

max

N

M x

max

M y

max

.

F

Wx

Wy

Если нормальная сила N приложена внецентренно, то вместо первого слагаемого в данной формуле записываются три слагаемых (см. §41. «Внецентренное растяжение-сжатие»).

§43. Изгиб с кручением.

Сочетание деформаций изгиба и кручения характерно для работы валов, осей, кривошипов машиностроительных конструкций.

-89 -

Вэтом случае при определении напряжений учитывают напряжения, возникающие только от действия изгибающих и крутящих моментов. Касательные напряжения от поперечных сил не учитываются в виду их малости.

Рассмотрим вал, испытывающий действие изгибающих ( M x и M y ) и крутящего

( M z ) моментов.			Rb			у
							Σ
		Опасное	В	Mz		Mизг
					Mz	Mz
	Р1	сечение
							х
			Hb			Mу
	Ra		Р2		Mx
y
	А				My	Mх
	Ha					Σ
						Mизг

z x

Mизг max

Порядок расчета вала при совместном действии изгиба и кручения следующий:

строят эпюру M z .

определяют опорные реакции в горизонтальном и вертикальном направлен иях и строят эпюры M x и M y .

строят суммарную эпюру изгибающих моментов, определяя Mизг во всех

характерных точках по длине вала M		M 2	M 2	, т.к.	M	x	и M	y	векторны е
изг		x	y
величины.

определяют положение опасного сечения, т.е. сечения в котором максимален приведенный момент ( Mпривmax ).

записывают условие прочности для опасного сечения: max .

из условия прочности выражают требуемое неизвестное (диаметр вала d или P, или a).

Максимальное нормальное напряжения			M			W W W			d 3
			изг	,	где				(для
	z max						y
			W			x			32

круглого сечения) достигается на поверхности вала.

Максимальное касательное напряжение: zy max	M	z		M	z	(т.к. Wp	d 3
							),
				2Wx
	Wp						16

достигается на поверхности вала.

Суммарное напряжение определяется величиной эквивалентного напряженияэкв , рассчитываемого по одной из гипотез прочности.

Элемент объема, выделенный у поверхности вала, находится в двухосном напряженном состоянии.

	y
zy yz		z
z	x	zy

z

- 90 -

M

min

y z

y z 2

zy2 ;

изг

Wx

2

2

max

M

z

2

max

z

z

zy2

;

Wp

2

2

min

z

2

z

zy2 .

2

2

1

max ;

2

0 ; 3

min .

Определим эквивалентные напряжения по гипотезе Треска Сен-Венана.

		1 3		z				z 2	2		z				z 2	2	2			z 2	2
	экв			2					zy		2					zy					zy
								2							2					2

			4	2
					4 2					2			4 2 .
				z
			4				zy					z	zy
							2			4 2 .
					экв			z			zy

Определим эквивалентные напряжения по гипотезе Хубера Мизеса.

																				IV							1					2		2								2						3	2					3						1	2
																					экв																							2
																				2																										2																																									2
					z					z			2										z										z			2															z								z					2							z							z				2
														2																												2																									2															2
													zx			0						0															zx																													zx																zx
					2																		2																												2								2												2							2
											2																							2
																																										2
																																																																																						2
			2											2							2								2																				2										2																					2
		z									z									z								z															z															z																		z
																2							2																													2														2																2
					z									zx								zx									z																			zx											zx									2												zx
			4								2										4								4																													4
																																													2																																2
																																					2
																				2		2									2				2
																		z			2 xz		4								z		xz
																																																		2			2
																													4																	2 z					6 xz
																																																																2		3			2		.
																									2																										2													z					xz

эквIV z2 3 zy2 .

Данные формулы также применимы при совместном (сжатия) и кручения.

Определим эквивалентные напряжения по третьей и прочности при действии Mприв .

М

2

M

2

М

2

M

2

III

2

4 2

z

z

изг

4

изг

4

экв

z

xz

W

W

W

2W

x

p

x

х

		М 2			М 2			М III
			изг			z		прив		.
				Wx				Wx
М III						М	2 М 2 .
	прив					изг		z

действии растяжения

четвертой гипотезам

	М 2	4	M	2
	изг		z
	W 2		4W	2
	x		х