ves_sopromat

- 141 -

Сопоставляя полученные формулы для определения Pкр в общем случае, получаем:

2 EI

Pкр min ,

( l)2

где: µ – коэффициент приведения длины; l – фактическая длина стержня.

Обозначив lпр l – приведенной длиной стержня, получим формулу Эйлера :

	P	2 EI	min .
		l 2
	кр
		пр

Коэффициент приведения длины стержня µ показывает, чему равна длина одной полуволны синусоиды при заданной длине стержня l.

§ 62. Критическое напряжение. Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского.

По значению критической силы P	можно определить вызываемое ею
кр

критическое сжимающее напряжение кр , т.е. то напряжение, при котором стержень теряет устойчивость:

Pкр

2 EI

min ,

кр

F

(l)2 F

2 Ei2

I

Минимальный радиус инерции

сечения i

min

, тогда

min

,

кр

min

F

( l)2

обозначим l , тогда:

imin

кр 2 E ,

2

где: λ – гибкость стержня, безразмерная величина.

Формула Эйлера была получена в предположении, что стержень деформируется в пределах действия закона Гука, т.е. до предела

пропорциональности пц ,

т.о. кр пц .

Итак,

2 E

. Найдем отсюда гибкость стержня:

кр

2

пц

пр

E

,

пц

где: пр – минимальная предельная гибкость, при которой применима формула

Эйлера.

Вывод: формула Эйлера применима для сжатого стержня лишь при условии, что его расчетная гибкость не менее предельной гибкости, т.е. расч пр .

Предельная гибкость стержня не зависит от формы его сечения, а только от механических прочностных пц и деформационных Е свойств материала.

Определим предельные гибкости различных материалов:

- 142 -

	сталь:			E			3,14		2 1011		100 ;
		пр							200 106
					пц

чугун: пр 80 ;

дерево: пр 110.

Если

расч <

пр ,

то критическое напряжение кр , определяемое по ф. Эйлера,

оказывается выше пц , а в некоторых случаях и выше

Т

и В ,

что противоречит

логике.

Пример.

Расчетная гибкость некоего стального стержня

l

50 , т.е.

<

расч

расч

imin

пр

(т.к.

50<100).

Определим

критическое

напряжение:

2 E

3,14 2 1011

788,8МПа . Получено,

что

>

, следовательно, ф.

кр

2

кр

пц

502

Эйлера в этом случае не применима.

Если расч < пр , то критическое напряжение определяют по формуле Ясинского:

кр a b ,

где: a и b - коэффициенты, зависящие от свойств материала и определяемые экспериментально (справочные величины). Их размерность [МПа].

Пример. Для стали Ст3 коэффициенты a=310МПа; b=1,14МПа.

Ф. Ясинский – профессор, русский ученый конца XIХ – начала XХ столетий. Работал над вопросами устойчивости сжатых стержней (колонн) в упругой среде и на упругих опорах; ввел понятие приведенной длины и коэффициента приведения длины; автор таблицы критических напряжений в стержнях в зависимости от их гибкости.

Формула Ясинского применима для стержней из малоуглеродистых сталей, у

которых

расч 40 100. При

расчете стальных стержней,

у которых расч <

0 40,

критическое напряжение кр T

const .

кр

[МПа]

прямая Ясинского

T

240

пц

200

гипербола Эйлера

160

120

стержни

стержни

стержни

малой

средней

большой

80

гибкости

гибкости

гибкости

< 0 40

40 100

> 100

40

кр T

кр а b

кр

2

Е

2

пр

0

20

40

60

80

100

120

140

- 143 -

Стержни малой гибкости рассчитывают на прочность. Стержни большой и средней гибкости рассчитывают на прочность и устойчивость.

§ 63. Расчет сжатых стержней на устойчивость.

Для продольно сжатых стержней кроме условия прочности должно выполняться условие устойчивости:

Ð

,

F

ó

где:

- допускаемое напряжение на устойчивость, определяемое по формуле:

ó

êð

;

ó

n

y

- коэффициент запаса устойчивости (различен для различных материалов,

ny

зависит от гибкости стержня ).

nT - для пластичных материалов;

ny

nB - для хрупких материалов.

ny

Допускаемое напряжение на устойчивость

можно также определить по

ó

формуле:

,

ó

где:

-

коэффициент продольного изгиба (коэффициент уменьшения основного

допускаемого напряжения), справочная величина, зависящая от материала стержня и его гибкости.

Для стали Ст3: 120 ,	0, 45 ;
100 ,	0, 6 ;
80 ,	0, 75 ;
60 ,	0,86 ;
0 ,	1.

Итак, при продольном изгибе условие устойчивости имеет вид: FP ;

условие прочности имеет вид: FP .

§ 64. Основные понятия об усталости и выносливости материалов.

Большинство деталей машин и различных механизмов работают в условиях переменных напряжений.

Опыт и анализ поломок деталей показывает, что их разрушения происходят при напряжениях, значительно меньших ζВ, а в ряде случаев и ζТ; также снижается срок их службы по сравнению с конструкциями, работающими в статическом режиме.

Деталь, работающая при переменных нагрузках в пределах нормативного ресурса времени, испытывает миллионы циклов нагружения:

железнодорожный мост – 2∙106 циклов;

-144 -

ось железнодорожного вагона – 2∙108 циклов;

коленчатый вал авиационного двигателя – 1,8∙107 циклов;

вал паровой турбины – 1,6∙1010 циклов;

лопатки паровой турбины – 1011 циклов.

Процесс разрушения начинается с появления микротрещины, которая со временем растет. Под влиянием переменных напряжений края трещины попеременно расходятся и сходятся, надавливая друг на друга и шлифуя поверхности. С ростом трещины уменьшается площадь поперечного сечения детали, а напряжения увеличиваются до определенного предела, после чего деталь внезапно окончательно разрушается. Такие разрушения называются усталостными.

В нефтедобывающей промышленности в значительной степени усталостным разрушениям подвержены штанги глубинных насосов. При их работе в поперечных сечениях штанг возникают повторно -переменные нормальные напряжения.

	1		Внешний	вид поперечного сечения	штанги
		при усталостном разрушении имеет неоднородный
		характер:
		1	– шероховатая поверхность (вязкое разрушение);
	2	2	– гладкая	(притертая) поверхность	(хрупкое
			разрушение).

Усталость – это процесс постепенного накопления повреждений матери ала под действием переменных напряжений, приводящих к образованию трещин и разрушению.

Выносливость – это способность материала сопротивляться разрушению при многократном действии переменных напряжений.

Предел выносливости – это максимальное напряжение, которое может выдержать материал, не разрушаясь при повторно-переменном нагружении.

При симметричном цикле предел выносливости обозначают ζ-1 (т.к. R 1 ), при асимметричном цикле ζ0 (т.к. R 0 ).

			Рассмотрим ось	железнодорожного
Р		Р	вагона. На участке	l ось испытывает
	D		чистый изгиб:
			M x Pa const .
			Возьмем на образующей поперечного
			сечения некоторую точку К.
			y	ζmax

a	l		a	К
				φ
				Mx
P∙a		P∙a		ζmax

- 145 -

Нормальное напряжение при изгибе определяют по формуле Навье:

M x y ,

J x

где: 0 у D2 , в зависимости от положения точки К.

Следовательно, для любого ее положения имеем: y D2 sin .

При равномерном вращении угол можно определить по формуле:

t ,

где: угловая скорость вращения оси; t время.

Тогда y D2 sin t , следовательно, нормальное напряжение в точке К можно выразить так:

к		M x		D	sin t ,
		J x
			2

а т.к. D2 ymax , то:

к max sin t .

Полученная формула показывает, что напряжение в точке К меняется по

синусоиде.
							Точка	К	будет попеременно
max							находиться	то	в	растянутой, то в
						t	сжатой области.
							Циклом напряжений называется
min							совокупность		их	последовательных
			Период (цикл)				значений за один период.
				Т = 2π
					Основные характеристики цикла:
	max			– максимальное напряжение;
	min			– минимальное напряжение;
		m	max min		– среднее напряжение;
				2
		a	max min		– амплитуда цикла;
				2
	R			min – коэффициент асимметрии цикла.
				max

§ 65. Классификация циклов при повторно-переменном нагружении.

В зависимости от назначения и характера работы конструкции, ее элементы могут находиться в различных режимах нагружения, что выражается различиями в циклах напряжений.

- 146 -

ζ	Симметричный цикл.
	max

			t
			min
	max	min	R 1
	Несимметричные циклы (знакопеременные).
ζ	max		ζ	max

t

				t
	max >		min	min			min
				-1 < R < 0	max <	min	R < -1
	Несимметричные циклы (знакопостоянные).
ζ	max			ζ	max

t

			min	t						min
						max			min
	max > min			0 < R < 1				<		R > 1
ζ	Пульсационные циклы (отнулевые).				ζ
	max				max		0

t

min	0		t
max > min		R = 0

max <		min	min
			R =

Наиболее опасным является симметричный цикл.

Циклы, имеющие одинаковые коэффициенты асимметрии R, называются

подобными.

max

max

min

t

min

t

max

min

- 147 -

Циклы с одинаковым значением max и

min называются равноценными.

t

Экспериментально установлено, что закон изменения напряжений во времени не оказывает влияния на прочность детали, существенны лишь значения max и min .

§ 66. Методы определения предела выносливости. Диаграммы усталости.

Наиболее распространенными являются испытания в условиях симметричного цикла. Используется принцип чистого изгиба вращающегося образца. Образцы цилиндрические Ø 7÷10мм. Обычно используют партию образцов количес твом не менее 10 шт.

Первый образец нагружают так, чтобы максимальные напряжения в нем были ниже B , но выше 1 (0,6÷0,7 B ). В следующих образцах максимальное напряжение уменьшают и всякий раз фиксируют число циклов нагружения (с помощью счетчика оборотов), которое выдержал образец до разрушения.

По мере снижения напряжения образцы выдерживают до разрушения все большее число циклов.

По результатам испытаний строится кривая Веллера.

Кривая Веллера для стали.

max

№ разрушившегося образца

B

1

	2	горизонтальная асимптота
		7

3		9
4	5	10
1

8	6	N
		циклическая долговечность
		(число циклов)

Число циклов, до которого ведется испытание, называется базой испытания.

Базовое число циклов для стали и чугуна N 107 .

Кривые выносливости цветных металлов не имеют горизонтальных асимптот,

поэтому для них база испытания увеличивается до N 108 .

Опыт показывает, что если стальной образец не разрушается при t = 20°C до

N 107 циклов (Т ≈ 54 часа при = 3000 об/мин), то он не разрушится и при более длительном испытании.

Предел выносливости при симметричном цикле нагружения центральным растяжением-сжатием образца 1 p 0,7 0,9 1 .

Предел выносливости при симметричном цикле кручения 1 0,58 1 .

- 148 -

Чтобы иметь представление о порядке величин числа циклов отметим, что

вагонная ось на пути от Москвы до Владивостока испытывает около 3 106 циклов. Для характеристики сопротивляемости материала циклическими напряж ениями

при различной асимметрии циклов строятся следующие диаграммы:

а) диаграмма предельных напряжений (диаграмма Смита).

Строится по экспериментальным данным (партия образцов ≈ 10 штук).

σmax			T ( B )			max
		0
										В
									Т
			max
	max
			a					0
max					1
											m
1			a	m				Упрощенная
		min					диаграмма Смита.
max
	45	0
		min
				σm
min			симметричный цикл max		min ;

пульсационный цикл max > 0, min 0 ;асимметричный цикл max > 0, min > 0;предельные напряжения 1 и T ( B ) .

Введем угол .
tg max				2 max	. Разделим	полученную дробь на		, получим:
							max
			m	max min
tg		2	. Если 45 , то max m			– среднему напряжению.
		R
1

б) диаграмма предельных амплитуд (диаграмма Хейя).

Строится по экспериментальным данным (партия образцов ≈ 10 штук).

a		Введем угол .
		tg a						max min			1 R
Т
1				m				max min			1 R
0			0						– отнулевой цикл.
2					m			a
		2
45		m
0	Т	В

2

- 149 -

Предел выносливости при различных способах нагружений определяют по следующим формулам:

при циклических изгибных нагрузках:

- для сталей – 1 0, 4 0,5 B ;

-для цветных металлов – 1 0, 25 0,5 B .

при циклических крутящих нагрузках:

-для сталей – 1 0,6 1 ;

-для цветных металлов – 1 0,8 1 .

§67. Основные факторы, влияющие на предел выносливости.

Предел выносливости материала в значительной степени зависит от следующих

факторов:
	наличия концентраторов напряжений (отверстий, проточек, шпоночных
	канавок, резких изменений геометрии формы);
	состояния поверхности детали;
формы и размеров детали;
	коррозии металлов.
Все перечисленные факторы ведут к снижению предела выносливости и
учитывается следующими коэффициентами:
1. Наличие концентраторов напряжений.
а) теоретический коэффициент концентрации напряжений (учитывает
местные напряжения):
							max ;		max ,
							ном		ном
где:	max	и max	– наибольшие местные напряжения;
	ном	и ном	– номинальные напряжения, т.е. те, которые не учитывают эффекта
			концентрации, их определяют в наиболее ослабленном сечении.
								скругление		поднутрение
			P
						max
						A A
							разгрузочная канавка			скругление
A			A
			концентратор
							Для снижения местных напряжений скругляют
						острые углы пересечения поверхностей (формируют
						галтели), протачивают разгрузочные канавки или
			P			поднутрения.

							- 150 -
б) эффективный коэффициент концентрации напряжений:
	k		1			;	k		1	,
			1k					1k
где: 1	, 1 – пределы выносливости гладких образцов;
1k	, 1k – пределы выносливости образцов с концентраторами напряжений.
Размеры гладких и негладких образцов принимают одинаковыми.
в) коэффициент чувствительности материала к концентрации
напряжений:
	q	k		1			q	k 1
					;						,
				1				1

где: q – справочная величина, различная для различных материалов.

2. Состояние поверхности детали.

Плохая обработка поверхности детали снижает предел выносливости.

Коэффициент качества поверхности:

	k			( k 1),
		1	,
	f			f
		1П

где: – предел выносливости шероховатой поверхности образца;

1

– предел выносливости полированной поверхности образца.

1П

Для улучшения состояния поверхности применяют азотирование, цемент ацию, поверхностную закалку токами высокой частоты, дробеструйную обдувку, наклеп поверхностного слоя обкаткой роликами.

3. Форма и размеры детали (масштабный фактор).

Предел выносливости (усталостная прочность) детали снижается с увеличением площади ее поперечного сечения.

Коэффициент масштабного фактора (влияния абсолютных размеров):

				1d	;			1d ,
			1d0					1d0
где: 1d ; 1d – предел выносливости рассматриваемой детали;
1d0 ;	1d0 – предел выносливости					лабораторного образца диаметром
d0 7 10мм, при том, что d d0 .

Причины проявления масштабного фактора:

-статистический фактор – большая вероятность проявления дефектов и перенапряженных зерен структуры материала;

-производственный фактор – ухудшение качества материала с увеличением объема детали;

-технологический фактор – влияние способа обработки детали в процессе еѐ изготовления.