ves_sopromat

- 41 -

J x y2dF y2dxdy

F F

J y x2dF x2dxdy

F F

	b					h														b										h																								h				3
2					2					2					2										y		3			2							b											b				2
	dx y dy x
		b						h													b				3						h								2								2						3
		2						2													2										2
	h					b														h									b																								b					3
2								2							2										x	3		2								h											h					2
					2
dy x dx y
		h						b													h				3					b									2								2						3
		2						2													2									2
											h				2													bh3										bh3								bh3
		J x			J x										bh																																				,
																												12											4								3
		1									2
											b				2													b3h										b3h								b3h
		J y				J y									bh																																				.
																												12											4								3
		1									2

						h				3
														3
					2
															bh		,
					3									12
					b				3
														3
					2
														hb			;
				3										12

Итак, получено:

J x

bh3

,

J y

hb3

,

J x

bh3

,

J y

b3h

.

12

12

1

3

1

3

Пример.

Круг.

у

R

r

Рассмотрим круг диаметром D = 2R. Через центр тяжести

О проведем и оси х и у декартовой системы координат,

а также

О

x

введем полярную систему координат (r, ).

D 4

2

R

2

r 4

R

2 R

4

R4

D4

2

2

3

2

4

J

dF

r

rdrd d

r

dr

0,1D

.

4

4

2

2

32

0

0

F

F

0

0

x y R

D

Jx J y ,

то: J x J y

J

R4

D4

Т.к. для круга

и

J

.

2

2

4

64

Итак, получено:

J

D4

J

D4

J

D4

.

32

,

x

64

,

y

64

Пример.

Кольцо.

у

Рассмотрим

кольцо

с

внешним

диаметром D и внутренним

диаметром d. Через центр тяжести кольца – точку О, проведем оси х

и у декартовой системы координат.

D

D

4

d

4

D4 d 4

D

4

d

4

J

1

,

d

4

О

x

32

32

32

32

D

- 42 -

J

J

J

D4 d 4 .

x

y

2

64

Итак, получено:

J

D4 d 4

,

J

J

D4 d 4

.

x

y

32

64

- 43 -

Пример.
Треугольник.
у
h dу	dF

у

Оb(y)

b

Итак, получено: J x

Рассмотрим треугольник, левый нижний угол которого

поместим в начало координат. На расстоянии у от оси х выделим

элемент площади dF.

Из подобия двух треугольников следует:

b y

h y

,

b y

b h y

; площадь элементарной

b

h

h

x

b

площадки dF b y dy

h y dy . Тогда:

h

h

h

3

h

4

3

J x y2dF y2

b

h y dy

by

by

bh

.

F

0

h

3

0

4h

0

12

bh3 .

12

§17. Изменение моментов инерции при повороте осей.

у

у1

y1 y

B dF

E C

	A	D

О

x1

х

x1

x

Рассмотрим произвольное сечение площадью F в декартовой системе координат

XOY.

Рассмотрим также новую систему координат X1OY1, полученную поворотом системы XOY против часовой стрелки на угол

.

Координаты элементарной площадки dF могут быть представлены через координаты прежней системы XOY следующим образом:

x1 OC OE AD ОАCos ABSin xCos ySin , y1 BC BD AE ABCos OASin yCos xSin .

Приложение.

Тригонометрические соотношения:

Sin2 Cos2 1,

(1)

Cos2 1 Sin2 ,

Sin2 1 Cos2 , (1б),

1

(1а),

1 tg 2 ,

(1в);

Cos

Сos2 Cos2 Sin2 ,

(2),

Sin2 Cos2 Cos2

(2а),

Cos2 Sin2 Cos2 (2б);

Sin2 2Sin Cos ,

(3),

Sin Cos

Sin2

.

2

Подставим в (1а) выражение (2а): Cos2 1 Cos2 Cos2 , Cos2

1 Cos2

, (4);

2

- 44 -

Подставим в (1б) выражение (2б): Sin2 1 Sin2 Cos2 , Sin2

1 Cos2

, (5).

2

Определим осевые и центробежный моменты инерции относительно осей х1 и

у1:

J x1

y12dF yCos xSin 2 dF y2Cos2 dF 2xySin Cos dF x2Sin2 dF

F

F

F

F

F

JxCos2 Jxy Sin2 J y Sin2 Jx

1 Cos2

J y

1 Cos2

Jxy Sin2

2

2

Jx

1 Cos2

J y

1 Cos2

J

Sin2

Jx

Jx

Cos2

J y

J y

Cos2 J

Sin2

xy

xy

2

2

2

2

2

2

J x

J y

J x J y

Cos2 J

Sin2 ;

xy

2

2

J y1

x12dF xCos ySin 2 dF x2Cos2 dF 2xySin Cos dF y2Sin2 dF

F

F

F

F

F

J yCos2 Jxy Sin2 Jx Sin2 J y

1 Cos2

Jx

1 Cos2

Jxy Sin2

2

2

J y

1 Cos2

Jx

1 Cos2

J

Sin2

J y

J y

Cos2

Jx

Jx

Cos2 J

Sin2

xy

xy

2

2

2

2

2

2

J x

J y

J x J y

Cos2 J

Sin2 ;

xy

2

2

J x1 y1 x1 y1dF xCos ySin yCos xSin dF

FF

xyCos2 dF x2Sin Cos dF y2Sin Cos dF xySin2 dF

F F F F

J

Cos2 J

Sin2

J

Sin2

J

Sin2 J

Cos2 Sin2

Sin2

J

J

xy

y

x

xy

xy

x

y

2

2

2

J

Cos2

J x

J y

Sin2 .

xy

2

Итак, получено:

Jx

J x

J y

Jx J y

Cos2 Jxy Sin2 ,

1

2

2

J y

J x J y

Jx

J y

Cos2

Jxy Sin2 ,

2

2

1

Jx y

J x

J y

Sin2 JxyCos2 .

1

1

2

Полученные формулы справедливы для любых центральных осей, а также при повороте любой системы прямоугольных осей на угол .

- 45 -

Учитывая, что полярный момент инерции J Jx J y , для системы координат X1OY1

получаем: J Jx1	J y1 , т.к. оси х1 и у1 взаимно-перпендикулярны.
При повороте системы координат на угол = 90 получаем:
	Jx J y ,	J y Jx ,	Jx y Jxy .
	1	1	1	1

- 46 -

§18. Главные моменты инерции и главные оси инерции.

y

v

					u
		0			x
Итак,	J	x1 y1	J	uv	0 ,
О

Наибольший	практический	интерес	представляют	главные
центральные оси,	относительно	которых	центробежный	момент
инерции равен нулю. Если оси u и			v являются главными

центральными осями инерции, то относительно них Juv 0 .

	или:	J x y			J x J y	Sin2 0 J xyCos2 0 0 .
					2
		1	1

Разделив это выражение на Cos2 0 , получим:
	J x J y	tg 2 0 J xy ,		tg 2 0		2J xy		(6),	или :	2J xy J y J x tg2 0 , (6а).
					J y J x
2
Получаемые отсюда два значения угла 0								отличаются		на 90 и определяют положение
главных осей.
При = 0 получаем:				Ju JxCos2 0 J y Sin2 0 Jxy Sin2 0 ,
				Jv		Jx Sin2 0			J yCos2 0 Jxy Sin2 0 .

Сложим и вычтем эти выражения:

Ju Jv JxCos2 0 J y Sin2 0 Jxy Sin2 0 Jx Sin2 0 J yCos2 0 Jxy Sin2 0Jx Cos2 0 Sin2 0 J y Sin2 0 Cos2 0 Jx J y .

Итак, получено:

Ju Jv

Jx J y ,

(7).

Ju Jv JxCos2 0

J y Sin2 0 JxySin2 0 Jx Sin2 0 J yCos2 0 Jxy Sin2 0

Jx Cos2 0

Sin2 0 J y Cos2 0

Sin2 0 2Jxy Sin2 0

Jx J y Cos2 0

2Jxy Sin2 0

J x J y Cos2 0 J у J х tg 2 0 Sin2 0 J x

J y Cos2 0

tg 2 0 Sin2 0

J

Sin2 2

J

Cos2 2

Sin2 2

J

1

J

J

J

.

Cos2

0

0

0

x

y

0

Cos2 0

x

y

Cos2 0

x

y

Cos2 0

Cos2 0

Итак, получено:

J

J

Jx J y

,

(8).

u

v

Cos2 0

Решим систему уравнений (7) и (8) относительно Ju

и Jv :

Ju Jv

Ju Jv

1

1

J x J y

Ju

J x

J y J x J y

2

Cos2 0

J x J y

,

1

J

J

1

Cos2

J

J

J

0

v

x

y

x

y

2

Cos2 0

Учитывая тригонометрическое соотношение (1в), получаем:

	1
			1 tg 2 2 0 ,		(9).
	Cos2 0

- 47 -

2

1

2J xy

4J xy2

Подставим (6) в (9):

Cos2

0

1

J

x

J

1 J

x

J

y

2 .

y

Теперь определим моменты инерции относительно осей u и v :

Ju

Jv

J x J y

J x J y

4J xy

1 J J

J J 1

2

2

x

y

x

y

J x J y

2

2

2

J

x

J

y

J

x

J

y

2

2

J

;

xy

2

2

J x J y

J x J y

2

J

J

1

J

J

1

4J xy

J x J y

2

x

y

x

y

2

2

2

2
1	4J xy
	J x J y	2

2
1	4J xy
	J x J y	2

J

x

J

y

J

x

J

y

2

J 2 .

2

2

xy

Итак, получено:	J					J x		J y
		u						2
	J				J x			J y
		v						2
	J						J x J y
		max
								2
		min

J

x

J

y

2

J 2

,

2

xy

J

x

J

y

2

J 2

,

2

xy

J

x

J

y

2

J 2 .

2

xy

Верхние знаки в полученных формулах следует брать, если J x J y , нижние – наоборот, если J x J y . Т.к. оси u и v – главные, то Juv 0 , следовательно:

J x

Ju Cos2 J v Sin2

Ju

J v

Ju

J v

Cos2 ,

2

2

J y

Ju Sin2 J v Cos2

Ju

J v

Ju

J v

Cos2 ,

2

2

J

Ju

J v

Sin2 .

xу

2

§19. Моменты сопротивления сечений.

Осевым моментом сопротивления сечения изгибу называется отношение осевого момента инерции к наибольшему расстоянию от центра тяжести сечения до наибо лее удаленной его точки по противоположной оси.

W	J	x	,	W	J y	.
x	ymax			y	xmax

- 48 -

Осевой момент сопротивления сечения изгибу может принимать положительные или равные нулю значения и имеет размерность [ l3 ].

Полярным моментом сопротивления сечения кручению называется отношение полярного момента инерции сечения к его максимальному полярному радиусу.

W J .

max

Полярный момент сопротивления сечения кручению может принимать положительные или равные нулю значения и имеет размерность [ l3 ].

Рассмотрим моменты сопротивления некоторых сечений.

Прямоугольное сечение. y

W

J x

bh3 2

bh2

,

О

x

ymax

12 h

6

h

x

Wy

J y

b3h 2

b2h

,

b

xmax

12 b

6

Круглое сечение.

у

W W

J

x

d 4

2

d 3

,

x

y

ymax

64 d

32

О D

x

W

J

d 4 2

d 3

,

max

32 d

16

Wx

Wy

Wx

W

bh62 ;

b2h .

6

Wy d 3 ;

32

d 3 .

16

Кольцевое сечение.

у

D4 d 4 2

D4 d 4

D3

d 4

J x

D3

d 4

W W

y

1

, W W

y

1

;

4

4

x

ymax

64D

32D

32

D

x

32

D

D

О d

x

D4 d 4 2

D4 d 4

J

D3

d 4

D3

d 4

W

1

,

W

1

.

max

32D

16D

16

D

4

D

4

16

§20. Кручение круглых профилей.

- 49 -

Кручением называется такой вид нагружения бруса, при котором в его поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор, отличный от нуля, крутящий момент Mz или

Мкр.

Примером конструкции, работающей на кручение, является вал.

	Mz	При действии разнонаправленных крутящих моментов
		одинаковой величины в противоположных торцах вала, он
	Mz	будет закручиваться, сечения вала будут поворачиваться
		относительно друг друга, а длина вала будет оставаться
		неизменной.
		Правило знаков.

Положительным считается крутящий момент, направленный против часовой стрелки, если смотреть на сечение со стороны внешней нормали.

Правило знаков для крутящего момента условно (в отличие от правил зн аков для растяжения-сжатия), т.к. материал бруса одинаково ведет себя при кр учении в разных направлениях.

Экспериментально показано, что если закручивать вал до разрушения, то диаграмма кручения подобна диаграмме растяжения-сжатия.

Мz				Основные характерные точки:
Mв
				M пц - момент пропорциональности,
M	Закон Гука			до	которого		выполняется
				закон Гука;
Mпц	для кручения:			M Т - момент текучести;
	G .			M m a x -	максимальный момент,
				выдерживаемый			образцом до
0				разрушения.
G – модуль сдвига	(модуль		упругости	второго рода), справочная величина,
неизменная и постоянная для каждого материала.
Размерность:	G	Н	Па .
		м2
Экспериментально показано, что Е G.
Для стали: G = 0,8 104 МПа.
– угол сдвига (угловая деформация).				Размерность:		рад .

Рассмотрим вал с нанесенной на его поверхность прямоугольной сеткой.

Вал до деформации

Вал после деформации

Mz

	- 50 -
	Mz
Элемент сетки	Элемент сетки
до деформации	после деформации
	- угол сдвига

Опыт показывает, что расстояния между сечениями скручиваемого вала не изменяются. Продольные линии сетки приобретают винтовую форму, прямые углы искажаются, как в случае чистого сдвига.

Выделенный элементарный объѐм вала находится в условиях чистого сдвига. Радиусы остаются постоянными. Нижележащие слои (ближе к центру) испытывают меньшую деформацию, а максимальная деформация достигается по образующей поверхности вала.

Следовательно, выделенный элемент объема любого слоя материала вала находится в условиях чистого сдвига, т.е. кручение – есть чистый сдвиг.

Рассмотрим круглый брус поперечного сечения F, жестко закрепленный своим левым торцом. Направим ось z вдоль оси бруса от жесткой заделки слева направо. Рассмотрим на поверхности бруса образующую (горизонтальную линию) и приложим к правому свободному торцу бруса крутящий момент M z . Тогда образующая повернется на малый угол сдвига , а любой радиус поперечного сечения бруса на расстоянии z от жесткой заделки на малый угол (z) (угол закручивания).

	(0)=0
		(z)	(z)+d	max
				(l)
	A

		dF
Mz	ma		M
z	О	dF

z	dz				dS
	l
			Мысленно	вырежем		бесконечно	малый
	dS		участок бруса	длиной	dz и	радиусом .	В силу
			гипотезы о линейной зависимости деформаций от
		d
			приложенных	сил,	относительный		угол

dz	закручивания равен:

	d ( z )		const,		рад	.
	dz				м

В силу закона Гука для кручения (сдвига):

	G G tg G	d	,	т.к. dS d ,	tg	dS	,				1 ,
		dz				dz

касательные напряжения лежат в плоскости круглого поперечного сечения бруса и перпендикулярны его радиусу , а крутящий момент определим как: