ves_sopromat

- 71 -

x y

x y 2

4 x y

4 xy2

x y

x2 2 x y

y2 4 x y

4 xy2

2

2

x y

x y

x y 2 4 xy2

2

x2 2 x y y2

4 xy2

x

y

x

y

xy2 .

2

2

2

2

x

y

x

y

2

Окончательно:

max

xy2 .

2

2

min

Далее присваиваются индексы главным напряжениям в соответствии с

условием: 1

2

3 .

Полное напряжение на наклонной площадке:

p

,

x

xy

Cos

;

или:

P ( ) n

Cos

Sin ;

Sin

Cos

xy

y

xy

y

Sin

x

yx

С учетом того, что Sin2 2Sin Cos , получаем:

P

n

Cos

xy

Sin ;

y

Sin

xy

Cos

Cos ; Sin

x

xCos xy Sin Cos y Sin xyCos Sin

xCos2 xy Sin Cos y Sin2 xy Sin Cos

xCos2 y Sin2 xy Sin2 .

Сучетом того, что Cos2 Cos2 Sin2 , получаем:

n

x

xy

y

xy

P

Cos

Sin ;

Sin

Cos

Cos

; Sin

xCos xy Sin ; y Sin xyCos Sin ; Cos

xCos xy Sin Sin y Sin xyCos Cos

x Sin Cos xy Sin2 yCos Sin xyCos2

			x		y
Sin Cos x	y xy Sin2 Cos2					Sin2 xyCos2 .
				2

Итак, получено:	xCos2 y Sin2 xy Sin2 ;
		x		y
					Sin2 xyCos2 .
				2

Направления главных площадок находим из уравнения

0 .

x

y

sin2 xy cos2 .

2

Разделив левую и правую части этого уравнения на cos2 , получим:

x

y

tg 2 xy ;

2

tg2

2 xy

.

x y

где: – угол наклона главных площадок от направления

x

против хода часовой

стрелки (положительный).

- 72 -

§34. Круги Мора при плоском напряженном состоянии.

В теории напряженного состояния различают две основные задачи:

а) прямая задача: по известным в точке главным площадкам и главным напряжениям определить нормальные и касательные напряжения, действующие на наклонных площадках;

б) по известным нормальным и касательным напряжениям требуется найт и главные напряжения и угол наклона площадки.

Графическое решение этих задач осуществляется с помощью кругов Мора.

Прямая задача:
Дано: 1 , 2 - главные напряжения;
- угол наклона площадки.	M
Найти: нормальные , и
касательные , напряжения

на наклонной площадке.						0		B	K
1					2			2

			2	D
2
		1

D

2	2	K		A
	C
				1

1

Порядок построения круга Мора следующий:

отложить отрезок ОА 1 ;

отложить отрезок ОВ 2 ;

найти середину отрезка АВ – точку С и радиусом АС провести окружность;

от оси отложить угол 2 против хода часовой стрелки, на окружности обозначить точку D ;

спроецировать D на оси и ;

отрезок ОK равен ; отрезок D K равен ;

продлить отрезок D С в обратном от точки С направлении до пересечения с окружностью, на их пересечении поставить точку D ;

спроецировать точку D на оси и ;

	отрезок ОK	равен ; отрезок D K равен , т.о. ;
	из точки К	вверх восставить перпендикуляр до пересечения с окружностью,
	на пересечении поставить точку М – полюс;

соединить точки М и А, а также М и В – это и будут направления действия главных напряжений 1 и 2 , соответственно.

ОK OC CDCos2 1 2 Cos2 1Cos2 2Sin2 ;

2

- 73 -

D K

CD Sin2 1 2 Sin2

;

2

ОK

OC CK

1 2

1

2 Cos2 1Sin2

2Cos2 ;

2

2

D K

1 2 Sin2

.

2

Обратная задача:

Дано: нормальные ,

и

касательные ,

напряжения

2

на наклонных площадках.

Найти: главные напряжения 1 ,

2

M

D

и угол наклона площадки .

2

K

2

0

B

K

A

1

2

C

1

2

1

D

1

Порядок построения круга Мора следующий:

отложить отрезки ОK

; ОK

;

из точек

K и

K

перпендикулярно

к оси

отложить отрезки

D K

и

D K

;

найти середину отрезка K K и обозначить ее точкой С;

провести окружность с центром в точке С радиусом D C ;

обозначить как А и В точки пересечения окружности с осью ;

отрезки ОA и ОB определяют величины главных напряжений 1 и 2 , соответственно;

из точки K восставить вверх перпендикуляр до пересечения с окружностью, на пересечении поставить точку М – полюс;

соединить точки М и А, а также М и В – это и будут направления действия главных напряжений 1 и 2 , соответственно;

продлить отрезок МА вниз за точку А; полученный угол между осью и направлением 1 , полученный угол – угол наклона площадки.

§35. Объемное напряженное состояние.

Объемным (трехосным) напряженным состоянием называется такое состояние, при котором все три главных напряжения отличны от нуля.

- 74 -

Объемное напряженное состояние возникает при совместном действии поперечного изгиба и растяжения-стяжения; кручения и растяжения -сжатия; при нагреве и охлаждении тел; при одновременном действии наружного и внутреннего давления в сосудах и пр.

2

3

	III
1	1

3

II

2 I

Рассмотрим элементарный куб в трехосном напряженном состоянии, грани которого совпадают с главными площадками:

1 2 3 0 .

Проведем три наклонные площадки I, II, III. На площадке I, параллельной линии действия главного напряжения 1 , нормальные и

касательные напряжения будут зависеть от главных напряжений 2 и 3 , и не будут зависеть от

главного напряжения 1 .

На площадках II и III – по аналогии.

Построим круг Мора для трехосного
напряженного состояния:	1 > 0,	2 >	0,
				max	D
						LI
3 < 0.

Он состоит из трех окружностей: LI, LII и LIII с диаметрами, соответственно:

2 3 , 1 3 , 1 2 .

Как известно, max возникает на площадках, наклоненных под углом 45 , 3 следовательно, если из точки 3 отложить угол в 45 против хода часовой стрелки,

то полученная точка D в проекции на осьбудет определять max .

Действительно, max 1 3 .

2

45	СI СII	2	СII 1
			LIII
LI

45

- 75 -

Образуем из элементарного куба октаэдр – правильный выпуклый восьмигранник. Все его наклонные площадки имеют один и тот же угол наклона . Площадки элементарного октаэдра называются октаэдрическими площадками.

					2																																																					n - нормаль к наклонной площадке.
																							n																																																													45 ,
											n
																															pn																																																		Cos Cos Cos ,
																																																																														Cos2 Cos2 Cos2 1 ,
																																																																																			2								1							Cos												1
																																																																														Cos													3 ,
																																																																																																														3
												n
																																																																																											1
																																											1
																																																																																											3
																																																																			1									0					0																1
																																																																																											1																							3
																																									P ( ) n																												0												0																						;				2		;
																																										n																																			2														3								3							3							3
																																																																					0							0			3
3
																																																																																											1
																																																																																											3
											1																				1																	1									1
	n pn							n						;							2		;					3																;											;															1							2						3								1					2					3			ср окт
																																																																																	3														3
											3
																					3 3																		3 3																			3											3 3
																																																		n										p					2								2
																																																															n										n
		pn					2															1								2								3															1								2								3									2								2								2				2									2										2
								pn pn																	;								;																								;								;													1						2									3						1								2								3
																																																																													3							3								3														3
																						3 3 3																														3 3																	3
		12						22 32			1										2							3								2								1
																																																									2										2								2				2							2						2
n																																																				3 1							3 2										3						3		1									2		3						2 1 2									2 2 3 2 3 1
							3																		3																			3
			1																																																																			2
						2 2			2	2	2									2		2														2																2																										2					2 2
										2										3														2																														1																																	2									3									1
	3							1																				1																2				3										3												3							1						2							3					1							2								3
																												1 2 2																													2 3 2												3 1 2														окт
																																																										3

Итак, при трехосном напряженном состоянии на октаэдрических площадках возникают октаэдрические нормальные и касательные напряжения:

			1 2 3	;				1 2	2 2 3	2 3 1	2	.
	окт					окт
		3							3

- 76 -

§36. Деформации при объемном напряженном состоянии. Обобщенный закон Гука.

Рассмотрим деформацию прямоугольного параллелепип еда с размерами

ав с под действием главных напряжений 1 2 3 > 0.

2

с+∆с

с

в+∆в в

Удлинение

ребер

будут, соответственно :

1

а; в; с ,

а

относительные

удлинения:

3

1

а ;

2

в

;

3

с .

а

а

в

с

а+∆а

Тогда 1 1 1 1 , т.е. относительное удлинение – результат действия всех

	трех главных напряжений 1; 2 ; 3 .
								,
	Согласно закону Гука Е ,			. Учитывая, что						,
			Е						Е

получаем: 1 Е1 ; 1 Е2 ; 1 Е3 .

По остальным направлениям – по аналогии.

Итак, обобщенный закон Гука в главных деформациях при объемном напряженном состоянии записывается следующим образом:

		1	1		2		3				1		1 2	3
			Е		Е		Е				Е
	2	2	3		1				1			2 3 1 ,
								Е
		Е		Е		Е
		3	3		1		2				1		3 1	2
			Е		Е		Е				Е

где: 1 , 2 , 3 – главные деформации.

Главные напряжения 1 , 2 , 3 следует подставлять в эти формулы с учетом их

знака.

Обобщенный закон Гука в главных деформациях в случае плоског о

напряженного состояния 2 0					записывается следующим образом:
		1		1		3			1	1 3
				Е		Е			Е
		3 1											,
	2											3
				Е		Е				Е			1
		3		3		1			1	3 1
				Е		Е			Е

Обобщенный закон Гука справедлив не только для главных, но и для относительных линейных деформаций по любым трем взаимно -перпендикулярным направлениям:

			1
								z
	x		Е		x	y

- 77 -

1

,

y

z

x

Е

y

1

y

z

Е

z

x

Согласно закону Гука для сдвига G , можно записать обобщенный закон Гука для относительных угловых деформаций:

xy G1 xy

yz G1 yz

zx G1 zx .

Объемная деформация V , представляющая собой относительное изменение

объема		V0 а в с после					приложения			к нему				главных				напряжений 1 , 2 , 3
определяется формулой:
		V	1			1 2	3	1	2 3 1						1	3 1 2
			Е					Е							Е
	1	1 2 3 2 3					1 3 1			2	1		1 2 3 2 1 2 2 2 3
	Е											Е
				1		1 2 1 1 2 2 1 2 3								1 2			1 2 3 .
				Е											E

Итак, получен объемный закон Гука :

V 1 2 1 2 3 .

E

Объемная деформация (объемный закон Гука) может быть выражена и через относительные линейные деформации:

V 1 2 x y z .

E

В частном случае, когда 1 2 3 p (всестороннее сжатие) имеем:

V 3 p 1 2 .

E

Полученное выражение позволяет установить предельное значение коэффициента Пуассона для любого изотропного материала:

при p > 0 , V > 0 ;

при p < 0 , V < 0 .

Это возможно, если 0,5. Следовательно, коэффициент Пуассона для любого

изотропного материала не может превышать величины 0,5.

Введем обозначение K – модуль объемной деформации.

K	E	,
	3 1 2

тогда: V Kp .

§37. Потенциальная энергия деформации.

- 78 -

Потенциальной энергией деформации называется энергия, накапливаемая в теле при его упругой деформации.

Потенциальная энергия деформации численно равна работе внешних сил, затраченной на упругую деформацию тела.

При рассмотрении центрального растяжения -сжатия было получено:

				U			N l			.
								2
Определим удельную потенциальную энергию:
	u	U				N l						2
												.
		V				2Fl			2			2E
	2
Итак, получено:	u 2E .
В случае объемного напряженного состояния, когда U определяется суммарной
работой главных напряжений 1 , 2 , 3						на соответствующих перемещениях 1 , 2 , 3 ,
удельная потенциальная энергия определяется по формуле:
	u		1 1			2 2					3 3		.
				2				2			2

Воспользовавшись обобщенным законом Гука, можно исключить деформации:

	1		1 1	2		2	3				3				1		1			1			1				2				3				2		1			2					3					1				3		1					3	1		2
u
	2														2					E																	E																			E
								1		2																2															2
																				3					2									3						2											3						3
								2E					1				1							1				2					2						1				3						1						2
																			1				2			2			2	2																			.
																							1			2			3								2					3					1
																		2E																	1					2				3

Итак, удельная потенциальная энергия деформации, выраженная через главные напряжения, определяется по формуле:

u	1		2		2		2	2							.
			1		2		3		2		3		1
	2E							1		2		3

Удельная потенциальная энергия деформации, выраженная через нормальные и касательные напряжения, определяется по формуле:

	1		2		2		2						1		2		2		2
u					y		z	2									yz		zx	.
	2E		x					x y	y z	z x			E		xy

Для нахождения полной потенциальной энергии, накапливаемой в теле при упругой деформации, необходимо проинтегрировать удельную потенциальную энергию тела по всему объему:

U udV .

V

Полная удельная потенциальная энергия упругой деформации находится по формуле:

u uV uф ,

где: uV - удельная потенциальная энергия изменения объема; uф - удельная потенциальная энергия изменения формы.

Прочность материалов определяется в основном энергией формоизменения.

Т.к. u	, то u		0 V , где:	0	1 2 3	, тогда:
	2	V	2		3

- 79 -

		0 V		1			1 2 3		1 2											1 2							2
u												1		2		3						1		2		3		.
V		2		2			3			E										6 E

Итак, получена формула для определения удельной потенциальной энергии изменения объема:

uV 1 2 1 2 3 2

6 E

Вычтем полученное выражение из полной удельной потенциальной энергии и получим формулу для определения удельной потенциальной энергии изменения формы:

u u u		1	2		2					2			2							1 2										2
																								1		2		3
Ф	V	2E		1				2		3					1 2	2 3	3 1				6 E
							1				1			2 2 2 3			2 3 1				2 .
								6 E
Итак, получено:
				uФ					1			1 2 2 2 3 2 3							1 2 .
									6 E

§ 38. Эквивалентное напряжение и гипотезы прочности.

Важнейшей задачей инженерного курса является оценка прочности детали по известному напряженному состоянию, т.е. с учетом главных напряжений 1 , 2 , 3 .

Наиболее просто эта задача решается при одноосном напряженном состоянии. Условие прочности при одноосном напряженном состоянии:

													0				0
	1			р	- при растяжении (			1	> 0,			2		,		3		); или
3		с - при сжатии ( 1 = 0,					2			0 ,			3 < 0).

В случае двух- и трехосного напряженного состояния необходи мо оценивать напряженное состояние по некоторому критерию прочности, учитывающему действие всех главных напряжений, отличных от нуля.

Соответственно такому критерию устанавливается понятие эквивалентного напряжения.

Эквивалентным называется напряжение одноосного растяжения элемента материала, который равнопрочен тому же элементу при сложном напряженном состоянии.

Рассмотрим основные гипотезы прочности (критерии прочности).

Первая теория прочности.

Гипотеза наибольших нормальных напряжений.

экв

1 , при 1 > 0, или экв

3

.

Условие прочности имеет вид:

вр

в

с

экв

, при

1

р

,

3

с , где:

р

nв

и

с

nв

.

Гипотеза подтверждается на практике только для хрупких и однородных материалов (гипс, стекло, некоторые виды керамики).

Вторая теория прочности.

- 80 -

Гипотеза наибольших относительных линейных деформаций.

Критерием предельного состояния является наибольшая по величине деформация: max .

Условие прочности имеет вид:

max 1 n ,

где: n – коэффициент запаса.

Учитывая, что			, а	также	1	1	1		3	,
		E				Е		2
1 2 3 . Следовательно: экв				1 2	3 .

абсолютной

получаем:

Внастоящее время при расчетах эта гипотеза не применяется из -за малой практической достоверности.

Третья теория прочности.

Гипотеза наибольших касательных напряжений (Треска – Сен-Венана).

Воснову этой гипотезы положено то, что касательные напряжения достигают опасных значений.

			1	3
										,	1 3 . Откуда: экв 1 3 .
	max
			2					2

Гипотеза хорошо согласуется с экспериментами для пластичных материалов, для хрупких материалов - не применима.

Четвертая теория прочности.

Гипотеза удельной потенциальной энергии формоизменения (Хубера – Мизеса).

Опасное состояние материала наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия изменения формы достигает опасного значения.

u	1				2 2 2					,
	6 E
Ф			1	2	2	3	3	1

uФ uФТ ,

где: uФТ - потенциальная энергия изменения формы в момент начала текучести.

При одноосном растяжении имеем: 1 Т																	,	2 0 ,					3 0 ; следовательно:
					u			1			2 2		1				2		1 2 .
						Ф		6 Е				1	3Е			1			3Е				Т
						Т
Приравняем uФ		uФ		:
			Т
	1								2					2					2				1		2
				1				2				2 3			3				1	=			3Е		Т	,
		6 E
					2 Т2 1 2 2 2 3 2 3 1 2 .
Условие прочности имеет вид:
		Т						1 2 2				2 3 2							3 1 2				,
													2

откуда: