Как понимать квантовую механику

13.6. СОХРАНЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ И УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ

393

это соответствует тому, что плотность потока вероятности оказывается равна плотности вероятности ρ(x), умноженной на скорость m¯h ϕ(x), которая выражается через градиент фазы ϕ(x). Это позволяет придать физический смысл фазе волновой функции, записанной в координатном представлении.

13.6.2. Многочастичный случай

Рассмотрим гамильтониан следующего вида:

Hˆ =	1	(M −1)nkpˆ pˆ + U (Q) =	−	¯h2	(M −1)nk	n k	+ U (Q). (13.44)
	2	n k		2

Здесь мы ввели симметричную матрицу обратной массы (M −1)nk. По повторяющимся индексам n и k подразумевается суммирование4

∂ρ

∂(ψ ψ)

∂ψ

∂ψ

Hˆ ψ

Hψˆ

=

=

ψ + ψ

= ψ

+ ψ

=

∂t

∂t

∂t

∂t

i¯h

i¯h

1

¯h2

1

nk

n k + U (Q) ψ +

= ψ

−

2 (M −

)

− i¯h

1

¯h2

1

nk

n k + U (Q) ψ =

+ ψ

− 2 (M −

)

i¯h

1

¯h2

1

nk

1

¯h2

1

nk

= ψ

−

2 (M −

)

n k ψ + ψ

− 2 (M −

)

n k ψ =

− i¯h

i¯h

= −

i¯h

1

)

nk

(ψ n kψ − ψ n kψ) =

(M −

2

= −n i2

(M −

1

)

nk

(ψ k ψ − ψ kψ)! = −nj

n

.

¯h

Таким образом, (13.41) выполняется для плотности потока вероятнос-

ти, компоненты которой задаются так:

jn =

i¯h

(M −1)nk (ψ

k

ψ

−

ψ

k

ψ) = 1

(M −1)nk (ψ (pˆ ψ) + ψ pˆ ψ).

2

2

k

k

(13.45)

4Сделаем специальное

замечание для тех,

кто

хорошо знаком

с тензорами. Матрица

(M −1)nk и обратная к ней матрица Mnk выступают в роли обратной и прямой метрики. Компоненты импульса pˆn — компоненты ковектора, компоненты скорости vˆk = pˆn(M −1)nk — компоненты вектора, получающегося из импульса подниманием индекса с помощью обратной

−1 nk ˆ 1 −1 nk 1 n k

метрики (M ) . Кинетическая энергия T = 2 (M ) pˆnpˆk = 2 Mnk vˆ vˆ — половина скалярного квадрата от вектора vˆ, или ковектора pˆ.

ˆn dQ

dt

394 ГЛАВА 13

Если ввести оператор скорости как vˆn = = (M −1)nkpˆk, то выражение упрощается, причем,¨ как и раньше, оно может быть записано через

плотность вероятности ρ = |ψ|2					и фазу ϕ = arg ψ:
j	n	= 2	(ψ (ˆv	ψ) + ψ vˆ ψ) = Re(ψ vˆ ψ) = ρ (ivˆ ϕ) .			(13.46)
		1	n	n	n	n

скорость

13.6.3. Поток вероятности в присутствии электромагнитного поля*

В присутствии электромагнитного поля в гамильтониане появляются скалярные и векторные потенциалы, относящиеся к тем точкам, в которых находятся заряженные частицы. Эти потенциалы выступают как фиксированные функции, если мы рассматриваем внешние поля, либо как операторы, если мы рассматриваем квантованные поля.

Скалярный потенциал к потенциальной энергии частицы с номером a дает¨ добавку eaϕ(ra). Векторный потенциал изменяет выражение для ки-

нетической энергии, заменяя импульс на более сложное выражение pˆa →

→ pˆa − eca A(ra):

Hˆ =		1	pˆa −	ea	A(ra)	2
						+ U (Q) +		eaϕ(ra).	(13.47)
	a	2ma		c			a

Тем не менее, мы можем использовать для плотности потока вероятности прежнее выражение (13.46), если переопределим оператор скорости

vˆa =	dˆra	1		pˆa −	ea	A(ra) .
		=
	dt		ma		c

Такое переопределение соответствует связи между импульсом и скоростью в классическом случае.

Мы можем рассматривать модификацию гамильтониана в присутствии векторного потенциала как удлинение производной:

pˆa → pˆa −	ea	A(ra),	A	= a −	iea	A(ra),
			a → a
	c				c¯h

удлин¨енная производная называется также ковариантной производной. Аналогичная модификация производной применяется в теориях калибровочных полей.

13.7. ОТ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ К ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ**

395

13.6.4. Почему координатное представление?**

Почему при выводе уравнения непрерывности для вероятности мы ограничились координатным представлением?

Во-первых, для того, чтобы писать уравнение непрерывности, надо, чтобы спектр наблюдаемых, которые выбраны как аргументы волновой функции, был непрерывным.

Во-вторых, необходимо, чтобы под действием гамильтониана выбранные переменные менялись непрерывно со временем. Для рассмотренных выше гамильтонианов это обеспечивается диагональностью потенциальной энергии, которая уходит из уравнения непрерывности вне зависимости от своего конкретного вида, и конкретным видом кинетической энергии.

Если, например, рассматривать импульсное представление, то при выводе кинетическая энергия сократится, но станет существенной конкретная

ˆ

форма потенциала U (Q). В случае общего положения потенциал в импульс-

ном представлении действует на волновую функцию сверткой¨

ˆ ˜ −

U (Q)ψ(p) = U (p p ) ψ(p ) dp .

В общем случае эта операция нелокальна, и мы вообще не можем записать стандартное (с локальной плотностью потока) уравнение непрерывности в импульсном пространстве.

Тем не менее, если потенциал хорошо разлагается в ряд Тейлора (радиус сходимости покрывает область допустимых импульсов), то он оказывается дифференциальным оператором

		N					n
	∂		∂nU			∂
U i¯h	∂p	= n=0	∂Qn	Q=0	i¯h	∂p	.

В этом случае мы можем записать уравнение непрерывности в импульсном пространстве, но плотность потока вероятности зависит от вида потенциала и содержит производные от волновой функции вплоть до порядка N − 1. При N = ∞ выражение для плотности потока вероятности может оказаться нелокальным (невыразимым через переменные в данной точке импульсного пространства).

13.7. От матрицы плотности к плотности вероятности**

Смешанное состояние системы в классической теории описывается распределением вероятности в 2N -мерном фазовом пространстве (q, p),

396

ГЛАВА 13

а в квантовой теории — матрицей плотности ρˆ. Однако запись матрицы плотности в виде функции

ρ(q1, q2) = q1|ρˆ|q2 ,

ρ(p1, p2) = p1|ρˆ|p2

мало похожа на функцию распределения, т. к. оба аргумента оказываются одного сорта, а, кроме того, функция оказывается, как правило, комплексной.

Квантовый аналог распределения вероятностей называет функция Вигнера и определяется с помощью преобразования Фурье координатного представления матрицы плотности по разности аргументов:

W (q, p) =				i	px
	1					N
			ρ(q − x/2, q + x/2) e ¯h			d x.	(13.48)
	(2π¯h)N

Рис. 13.6. Юджин Вигнер (1902–1995).

Рис. 13.7. Владимир Иванович Манько.

Функция Вигнера во многом похожа на классическую функцию распределения. Она вещественна, это легко видеть, т. к. при комплексном сопряжении x в подынтегральном выражении меняет знак. Интегрирование функции Вигнера по одному из наборов аргументов позволяет получить распределение вероятности по другому набору аргументов (проверьте!):

ρ(q, q) = W (p, q) dN p,

ρ(p, p) = W (p, q) dN q.

Однако функция Вигнера не может рассматриваться как совместное распределение вероятностей по координатам и импульсам, потому что для некоторых состояний она может принимать отрицательные значения.

При переходе от квантовой механике к классической распределение вероятностей (q, p) получается из сглаженной функции Вигнера, при этом сглаживание должно размывать функцию Вигнера примерно на соотношение неопределенностей,¨ т. е. усреднять надо по фазовому объему¨ порядка (2π¯h)N .

13.7. ОТ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ К ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ**

397

Функцию Вигнера можно записать как среднее от зависящего от пара-

			ˆ
метров q, p эрмитового оператора A(q, p):
				i	px
1						N
Aˆ(q, p) =			|q + x/2 e ¯h		q − x/2| d x,
	(2π¯h)N
qˆα|q = qα|q ,			q|q = δN (q − q ),
		ˆ			ˆ	(13.49)
W (q, p) = A(q, p) ρ = tr(A(q, p) ρˆ).

Интегрируя функцию Вигнера по разным направлениям в фазовом пространстве, можно получить распределения вероятностей по всевозможным переменным q или p, таким, что они получаются из переменных q, p произвольным линейным каноническим преобразованием.

w(X, μ, ν) = W (q, p) dN (μq + νp), (13.50)

× ˆ

здесь μ и ν — матрицы N N , такие, что rank(μ, ν) = N . Компоненты X и pˆ = μqˆ + νpˆ связаны каноническими коммутационными соотношениями:

ˆα, pˆ ] = i¯hδαβ , α, β = 1, . . . , N.

[X β

Переход (13.50) от функции Вигнера W (q, p) к функции w(X, μ, ν) называется преобразованием Радона, а сама функция w(X, μ, ν) — квантовой томограммой.

Преобразование Радона обратимо, так что по томограмме можно восстановить функцию Вигнера и матрицу плотности, т. е. томограмма — другое представление смешанного состояния квантовой системы. Томограмма имеет хороший физический смысл: она задает¨ распределения вероятностей для всевозможных линейных комбинаций координат и импульсов.

Формулировка квантовой механики в терминах квантовой томографии разрабатывается в настоящее время группой В. И. Манько в МФТИ и ФИАНе.

ГЛАВА 14

Симметрии-2* (группы и представления)

В главе 11 «Симметрии-1» мы уже обсуждали роль симметрий в квантовой механике. Здесь мы изучим симметрии более глубоко, введя для этого более изощренный¨ математический аппарат. Можно сказать, что ранее мы изучали эффект какой-то одной симметрии (однопараметрической группы симметрий), а теперь мы рассматриваем случай, когда симметрий много (есть нетривиальная группа симметрий).

При первом чтении большую часть этой главы можно пропустить. При последующих прочтениях этот раздел призван дать более последовательный математический взгляд на симметрии в квантовой теории,

вчастности, на повороты и моменты импульса в трехмерном¨ пространстве.

14.1.Группы и их представления (л)

Как уже отмечалось ранее (глава 11 «Симметрии-1»), симметрия системы в квантовой механике задается¨ набором унитарных преобразований, коммутирующих с гамильтонианом системы. При этом между собой эти преобразования могут и не коммутировать.

Преобразования симметрий мы можем рассматривать с двух точек зре-

ния:

• Как симметрии комбинируются между собой? Что получится,		ес-
ˆ		ˆ	:
ли последовательно выполнить преобразования симметрии U1	и U2

ˆ ˆ

U2U1 = ?

• Как симметрии действуют на интересующие нас объекты? В квантовой

ˆ

механике нас интересует, как операторы симметрии U действуют на

ˆ

векторы состояния ψ: U ψ = ?

14.2. ГРУППЫ (Л)

399

Первая точка зрения — теория групп. Ей посвящен¨ раздел 14.2 «Группы (л)».

Вторая точка зрения — теория представлений групп (или просто: теория представлений). Ей посвящен¨ раздел 14.4 «Представления групп (л)».

14.2. Группы (л)

14.2.1. Определение и смысл (л)

Группа G — множество, на котором задана следующая структура:

•единичный элемент (единица) E G;

•операция умножения ◦ : G×G → G, т. е. g2 ◦g1 = g3, где g1, g2, g3 G. Умножение g, g1, g2, g3 G удовлетворяет условиям:

E ◦ g = g ◦ E = g, (g3 ◦ g2) ◦ g1 = g3 ◦ (g2 ◦ g1);

• операция взятия обратного элемента (·)−1 : G → G, т. е. g G

определено g−1 G. Операция взятия обратного элемента удовлетво-

ряет условию

g−1 ◦ g = g ◦ g−1 = E.

(фл) Сразу опишем физический смысл этих понятий. Группа — набор преобразований, удовлетворяющий следующим условиям:

•в группу входит единичный элемент — тождественное преобразование;

•если выполнить последовательно преобразования g1 и g2, то получится преобразование g3, также принадлежащее группе. g3 задается¨ как произведение преобразований g1 и g2 в обратном порядке (!!!): g3 = = g2 ◦ g1. Следующие свойства для преобразований выполняются автоматически:

E ◦ g = g ◦ E = g, (g3 ◦ g2) ◦ g1 = g3 ◦ (g2 ◦ g1);

•операция взятия обратного элемента — замена преобразования g на обратное g−1. То есть все преобразования, входящие в группу, должны

быть обратимы, причем¨ для всякого преобразования g G, обратное преобразование также входит в группу g−1 G. Автоматически выполняется свойство

g−1 ◦ g = g ◦ g−1 = E.

400

ГЛАВА 14

Почему мы положили, что умножение преобразований соответствует их выполнению в обратном порядке? Потому что при действии оператора

ˆ

на состояние мы пишем оператор слева от состояния: Aψ. Если на результат

¨ ˆ ˆ

подействовать еще одним оператором, то получится BAψ и мы получили

ˆ ˆ

слева от ψ комбинацию BA, в которой операторы написаны в обратном порядке, по сравнению с тем порядком, в котором они действуют. Естественно считать, что и групповое умножение преобразований выполняется в том же порядке. Это позволяет опускать значок «◦», обозначающий групповое умножение.

Может показаться, что группа, определенная¨ как набор преобразований, — частный случай группы вообще, однако это не так. Любая группа может быть представлена как группа преобразований самой себя: элемент группы g преобразует группу с помощью умножения слева (левых сдвигов) g : G → G

g : h →g ◦ h,

g, h G.

(14.1)

В теории групп естественно рассматривать отображение f : G → H

группы G на группу H, при котором сохраняется групповая структура, т. е.

f (E

G

) = E

H

,

g , g

G, f (g )

◦

f (g

2

) = f (g

g ), f (g−1) = f (g

1

)−1.

1 2

1

1◦ 2

1

(14.2)

Такое отображение называется гомоморфизм (гомоморфное отображение). Иногда реальная группа симметрий оказывается не той группой, которую мы ожидали с самого начала, а ее¨ гомоморфным отображением. Например, если у нас есть симметрия, относительно группы поворотов, а рассматриваемые состояния тождественно переходят в себя при любом повороте, то симметрия таких состояний описывается не группой поворо-

тов, а группой из одного тождественного преобразования.

Если гомоморфное отображение является еще¨ и взаимнооднозначным, то оно называется изоморфизмом, а группы G и H считаются одинаковыми (изоморфными). Изоморфизм обозначается так: G H.

Одинаковые (изоморфные) группы могут быть по-разному представлены как группы преобразований. В теории групп изучаются свойства, не зависящие от изоморфного представления группы, как группы преобразований. Таким образом, с точки зрения теории групп, группа преобразований по сравнению с абстрактной группой наделена «лишней» структурой, которая задает¨ действие элементов группы как преобразований некоторого пространства. Различные представления группы как группы преобразований изучаются теорией представлений.

14.2. ГРУППЫ (Л)

401

14.2.2. Коммутативность и некоммутативность (л)

Коммутативными (абелевыми) называются группы, для которых результат умножения не зависит от порядка множителей:

g1, g2 G g1 ◦ g2 = g2 ◦ g1.

Для абелевых групп групповую операцию могут называть не умножением, а сложением, а единичный элемент не единицей, а нул¨ем.

Для того, чтобы определить насколько данные элементы группы коммутируют или не коммутируют друг с другом вводят такой объект, как груп-

повой коммутатор

g1 ◦ g2 ◦ g1−1 ◦ g2−1.

Если данные элементы группы коммутируют, то групповой коммутатор равен единичному элементу E. Для абстрактной группы мы не можем определить матричный коммутатор [g1, g2] = g1g2 − g2g1, т. к. для элементов группы не определено вычитание.

(ф) Для квантовой механики коммутативная группа симметрии наиболее проста: гамильтониан коммутирует одновременно со всеми преобразованиями группы, а преобразования коммутируют между собой. Таким образом, все групповые преобразования и гамильтониан можно диагонализовать одновременно.

14.2.3. Подгруппы (л)

Подгруппой H группы G называется ее¨ подмножество, замкнутое относительно групповых операций группы G, т. е.

g, h H G, E, g−1, g ◦ h H.

Таким образом, подгруппа H G тоже является группой, причем¨ групповые операции в ней те же, что и в G.

(ф)Если первоначальная симметрия системы нарушается добавлением

вгамильтониан лишнего члена, то новый гамильтониан имеет уже меньшую симметрию, задаваемую уже не исходной группой, а какой-то ее¨ подгруппой. Например, если первоначально мы имеем частицу в сферически симметричном потенциале (атом), то симметрия системы описывается группой вращений. Если мы поместим атом во внешнее поле, то направление поля задаст в пространстве выделенное направление и в результате сохранятся только те симметрии из первоначальной группы, которые переводят это направление в себя. То есть от первоначальной группы всех поворотов SO(3) останется подгруппа поворотов относительно фиксированной оси SO(2) SO(3).

402

ГЛАВА 14

Задание подгруппы H позволяет разбить группу G на левые и правые классы эквивалентности:

g0 G [g0]л = g0H = {g G|g = g0 ◦ h, h H}, [g0]п = Hg0 = {g G|g = h ◦ g0, h H},

g0 [g0]л,п называют представителем класса эквивалентности. Множество левых классов эквивалентности G/H и множество правых

классов эквивалентности H \ G для произвольной подгруппы H могут не быть группами и не совпадать.

Среди подгрупп особенно важны подгруппы, удовлетворяющие усло-

вию

g G g−1Hg = H

— нормальные подгруппы. Нормальная подгруппа может также называться инвариантной подгруппой, или нормальным делителем группы.

У коммутативной группы все подгруппы являются нормальными. Нормальность подгруппы — необходимое и достаточное условие того,

что левые и правые классы эквивалентности совпадают H \ G = G/H. В этом случае на них вводится групповая структура:

EG/H = [E], [g]−1 = [g−1], [g1] ◦ [g2] = [g1 ◦ g2].

Результат операции не зависит от того, какой представитель класса эквивалентности мы используем. Получившаяся подгруппа называется факторгруппой группы G по модулю нормальной подгруппы H и обозначается G/H.

Всякая группа G имеет, по крайней мере, две нормальных подгруппы: всю группу G и подгруппу, состоящую из единицы {E} (тривиальная подгруппа). Если других нормальных подгрупп нет, то такая группа называется

простой группой.

Если задан некоторый гомоморфизм (14.2) f : G → L, то множество всех элементов, отображающихся на единицу группы L, называют ядром гомоморфизма:

f −1(EL) = {g G|f (g) = EL}.

Легко проверяется, что ядро f −1(EL) всегда является нормальной подгруппой группы G.