Как понимать квантовую механику

14.4. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП (Л)

413

инвариантными подпространствами соответствующей группы симметрий. Если разбиение представления на неприводимые единственно3, то каждое минимальное инвариантное подпространство группы симметрий обязано быть собственным подпространством гамильтониана, обладающего соответствующей симметрией. Таким образом, если мы разложили наше представление группы симметрий на неприводимые и показали единственность разложения, то большая часть работы по диагонализации гамильтониана уже выполнена: уже найден базис (т. е. набор стационарных состояний, годится любой базис, полученный объединением базисов в минимальных инвариантных подпространствах), осталось только найти собственные числа.

14.4.4. Умножение представлений (лф*)

Помимо суммы представлений вводится также операция умножения. Умножению представлений соответствует тензорное умножение соответствующих линейных пространств и операторов:

[f1

(g) f2

(g)]( ψ1

ψ2

) = (f1

(g)ψ1)

(f2

(g)ψ2) .

H1

H2

H1

H2

При сложении представлений их размерности складываются, а при умножении — умножаются.

(ф) Физически умножение представлений соответствует объединению подсистем, на которые действуют преобразования симметрии. Например, если в центральном поле ядра имеются два электрона, то мы можем написать два представления f1 и f2 группы вращений, соответствующих вращениям первого и второго электронов соответственно. Одновременному одинаковому вращению обоих электронов будет соответствовать произведение представлений f1 f2. Взаимодействие между электронами нарушает вращательную симметрию отдельного электрона, но сохраняет вращательную симметрию системы в целом, поэтому и законы сохранения оказываются связанными с одновременным поворотом обоих электронов (сохранение суммарного момента импульса). Как всегда, разделение системы на подсистемы не обязательно связано с пространственным разнесением компонент, например вместо орбитального движения двух электронов мы можем рассматривать орбитальное движение и спин (собственный момент импуль-

3Пример неединственности разложения представления на неприводимые — представление

{− } ˆ

группы 1, +1 на пространстве одномерных волновых функций L2(R) операторами I (ин-

ˆ

версия по координате) и 1.

414

ГЛАВА 14

са) одного и того же электрона. Например, далее (см. 15.5 «Сложение моментов*») мы составим таблицы умножения неприводимых представлений квантовой группы вращений SU(2).

При изучении конкретной группы симметрий помимо составления классификации неприводимых представлений полезно также составить таблицу умножения представлений: произведение каждой пары неприводимых представлений снова разлагается в сумму неприводимых представлений.

(ф) После разложения произведения представлений на неприводимые слагаемые мы, как правило, уже не можем связать отдельное слагаемое с той или иной подсистемой. Практически всегда каждое из слагаемых представлений действует на обе подсистемы одновременно.

ГЛАВА 15

Вращения и моменты

С главе 14 «Симметрии-2» мы обсудили применение теории групп и их представлений для описания симметрий в квантовой механике. Данная глава иллюстрирует «Симметрии-2», но может читаться и независимо. Здесь разбирается конкретный важный пример симметрии относительно поворотов и соответствующих этой симметрии операторов момента импульса.

15.1.Группа вращений

Вданном разделе мы выясним некоторые свойства поворотов, которые зависят от того, как повороты комбинируются друг с другом. Действие поворотов на состояния квантовых систем здесь обсуждаться не будет. То есть мы обсуждаем абстрактную группу вращений, но не касаемся ее¨ представлений.

15.1.1. Что такое поворот (л)

Вращения собственные и несобственные (л)

Поворот — преобразование координат, которое оставляет неподвижным начало координат и сохраняет расстояние в трехмерном¨ евклидовом пространстве:

x = Rx,	x		R3	, (x , x ) = (x )T x = xT RT Rx = xT x = (x, x).

Поскольку вектор x R3 произволен, мы получаем условие на матрицу R:

RT R = E.

(15.1)

Такие матрицы называются ортогональными. Множество ортогональных матриц 3 ×3 обозначается O(3), имеет структуру группы и называется группой вращений.

416

ГЛАВА 15

Если взять определитель от равенства (15.1), то получится условие

(det R)2 = 1 det R = ±1.

Это условие разбивает все повороты R на два класса, в зависимости от знака определителя. Повороты с определителем +1 называются собственными вращениями. Множество собственных вращений обозначается SO(3), является нормальной подгруппой O(3) и называется группой собственных вращений. Собственные вращения — обычные повороты, которые можно выполнить, непрерывно поворачивая тело вокруг некоторой оси. Несобственные вращения, для которых det R = −1, выполнить непрерывно, вращая тело, нельзя, т. к. при непрерывном вращении матрица R меняется непрерывно, непрерывно меняется и det R, а значит определитель не сможет перепрыгнуть от значения +1 = det E к значению −1. Несобственные вращения представляют собой комбинации собственных вращений и зеркальных отражений.

Топология вращений (л)

Группа O(3) состоит из двух связных кусков: SO(3) — группа собствен-

ˆ ˆ

ных поворотов, и P SO(3) (напомним, P — оператор пространственной инверсии 11.4.2 — отражение по всем трем¨ осям, здесь пока можно считать,

ˆ	2	=
что P = −E) — несобственные повороты (группу не образуют, т. к. (−1)

= +1 произведение двух несобственных поворотов всегда дает¨ собственный).

Группы O(3) и SO(3) трехмерны:¨ их можно параметризовать тремя непрерывными параметрами.

SO(3) параметризуется заданием вектора вдоль оси поворота (направление вектора выбираем по правилу правого винта), длина которого равна углу поворота. Углы поворота можно брать в диапазоне [0, π]. При этом поворот на π вокруг вектора n и вокруг вектора −n — это одинаковые повороты, поэтому их надо отождествить.

Таким образом, мы параметризовали все собственные вращения точками трехмерного¨ шара радиуса π, при этом диаметральные точки на поверхности сферы описывают одинаковые повороты и должны быть попарно отождествлены.

Мы получили, что группа SO(3) имеет топологию проективного пространства — топологию трехмерного¨ шара, у которого склеены (отождествлены) диаметральные точки на границе.

Топологически группа O(3) состоит из двух несвязанных кусков, каждый из которых устроен как SO(3).

15.1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ

417

Генераторы вращений (л)

Собственные вращения могут быть представлены как матричные экспоненты от генераторов вращений. Поскольку пространство поворотов трехмерно,¨ у нас есть три линейно независимых генератора, например, генераторы, отвечающие вращениям вокруг осей координат.

Поворот на угол ϕ вокруг оси x может быть записан как действие матрицы на столбец:

x =	y		=		0	cos ϕ		sin ϕ	y		= Rx(ϕ) x = eiϕ jx x.
	x				1	0		0		x
	z				0 − sin ϕ cos ϕ				z
						R	x (ϕ)
										x

¯hjx — генератор поворота вокруг оси x. Как уже упоминалось ранее (см. 11.3.2), поворот (сдвиг по обобщенной¨ угловой координате) порождается обобщенным¨ импульсом по этой координате. Для угла ϕ это момент импульса в проекции на ось x. Таким образом, jx — проекция момента импульса, деленная¨ на ¯h (измеренная в единицах ¯h).

Обратите внимание! Мы сейчас обсуждаем групповые свойства вращений, но не их представления! То есть мы обсуждаем, как повороты комбинируются друг с другом, но пока не интересуемся тем, как они действуют на волновые функции! Представления группы вращений мы обсудим позже.

Матрицу ijx мы можем определить, продифференцировав Rx(ϕ) по

углу ϕ в нуле			0	0	0
	dR
				−
ijx =	dϕx			0
			0	1	0
		ϕ=0

Мы можем легко проверить, что экспонента от ijx воспроизводит исходную матрицу поворота, если учтем,¨ что

jx3 = jx n = 0, 1, 2, . . . jx2n+2 = jx2 =jx0 = E, jx2n+1 = jx.

(15.2)

Это свойство относится только к представлению вращений матрицами 3×3! (См. также 15.4 «Спин 1».)

Аналогично для других генераторов (проекций момента импульса)

	0 0	−1			0	1 0
	1 0	0			0	0 0
ijy =	0 0	0	, ijz =		−1 0 0		.

418 ГЛАВА 15

Запишем теперь собственный поворот общего вида Rn(ϕ) — поворот вокруг оси, задаваемой единичным вектором n на угол ϕ:

Rn(ϕ) = eiϕjn .

Здесь jn = (j, n) = nxjx + ny jy + nz jz , где j — вектор с компонентами (jx, jy , jz ).

Мы можем вывести коммутационные соотношения для компонент момента импульса, просто посчитав коммутаторы соответствующих матриц 3 × 3:

	[jx, jy ] = ijz и циклические перестановки x, y, z.
	eαβγ =	[jα, jβ ] = ieαβγ jγ , α, β, γ = 1, 2, 3.			(15.3)
		0, среди α, β, γ есть совпадающая пара индексов,
		+1, (α, β, γ) — четная¨ перестановка (1, 2, 3),
		−
		1, (α, β, γ) — нечетная¨ перестановка (1, 2, 3).
По	повторяющимся индексам в формуле		(15.3)	подразумевается суммиро-

вание, впрочем, в сумме здесь (при заданных α, β) не больше одного ненулевого члена.

Найденные коммутационные соотношения не зависят от представления группы вращений, а характеризуют группу как таковую. Символ eαβγ задает¨ структурные константы группы SO(3).

Используя коммутационные соотношения, легко убедиться, что опера-

ˆ2		ˆ2	ˆ2	ˆ2	коммутирует со всеми
тор квадрата момента импульса j		= jx	+ jy	+ jz
генераторами:		ˆ
ˆ2					(15.4)
[j	, jα] = 0.

В теории представлений такой оператор называется оператором Казимира и используется для нумерации представлений (для разделения переменных, путем¨ разбиения пространства состояний на инвариантные относительно

ˆ

действия jα подпространства).

15.1.2. Квантовые вращения**

Данный раздел призван объяснить, почему при дальнейшем изучении вращений квантовых систем мы не будем беспокоиться о том, чтобы эти вращения описывались группой собственных вращений SO(3), а будем следить лишь за тем, чтобы генераторы вращений вели себя как компоненты момента импульса (чтобы алгебра Ли совпадала с алгеброй so(3)).

15.1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ

419

До сих пор мы рассматривали вращение как математическое преобразование, связывающее начальное и конечное состояния системы. Было упомянуто, что собственные повороты, в отличие от несобственных (содержащих нечетное¨ число отражений), можно осуществить непрерывно, начиная с тождественного преобразования, т. е. это не просто преобразования описания системы, а преобразования, которые можно осуществить на эксперименте.

Описывая последовательность, в которой мы совершаем собственное вращение на эксперименте, как непрерывное преобразование, нам мало задать конечное преобразование, а надо задать непрерывную последовательность всех промежуточных поворотов от тождественного преобразования до конечного поворота.

Представим себе, что у нас имеется ряд одинаковых наблюдателей, каждый из которых повернут¨ относительно предыдущего на малый угол (в пределе — бесконечномалый), и поворот осуществляется путем¨ перехода от точки зрения одного наблюдателя к точке зрения следующего. (Мы подразумеваем, что эти наблюдатели ничего не измеряют, а лишь переписывают со своей точки зрения состояние системы.)

Таким образом, экспериментальная реализация вращения задается¨ не одной точкой пространства собственных поворотов (группы SO(3)), а непрерывной кривой R(l) от тождественного преобразования E, до конечного поворота Rn(ϕ):

R(·) : [0, 1] → SO(3), R(0) = E, R(1) = Rn(ϕ).

И если мы задаем¨ вопрос о преобразовании состояния системы при реальном, проведенном¨ экспериментально, повороте, то это преобразование должно непрерывно зависеть не только от конечного поворота Rn(ϕ), но и от всей последовательности промежуточных поворотов R(l). Таким образом, мы имеем новый набор преобразований, связанных уже не с вращениями, а с траекториями R(l).

Тем не менее, обращаясь к нашей картине ряда наблюдателей, мы можем утверждать, что физически значимые выводы последнего наблюдателя не должны зависеть от ориентации промежуточных наблюдателей. Это означает, что каков бы не был ряд промежуточных наблюдателей, преобразование от первого наблюдателя к последнему может меняться не более чем на фазовый множитель.

Примем следующее упрощающее предположение: пусть конечное преобразование не меняется при непрерывных деформациях с фиксированными концами траектории R(l). Другое предположение, приводящее к тому же результату: пусть группа преобразований квантовых состояний, связанных

420

ГЛАВА 15

спутями в пространстве вращений R(l) локально (когда траектория R(l) не выходит из малой окрестности единицы E) устроена так же, как группа SO(3), т. е. алгебра генераторов (алгебра Ли) новой группы должна совпадать с алгеброй Ли группы SO(3).

Итак, в окрестности единицы преобразования однозначно определяются конечной точкой траектории R(l). Однако глобально одному элементу SO(3) может соответствовать несколько разных преобразований волновых функций. Число таких преобразований для данного элемента SO(3) не более числа различных способов (с точностью до непрерывных деформаций), которыми можно провести путь до данного элемента из единицы.

Если два пути R(l) с фиксированным концом деформируемы друг в друга, то, пройдя из единицы до конечной точки по первому пути, а вернувшись по второму, мы получим замкнутый путь (петлю) из E в E, который может быть непрерывно стянут в точку. Если две траектории с фиксированным концом не деформируемы друг в друга, то полученная из них петля не может быть стянута в точку. Таким образом, изучение различных путей R(l) ведущих, в данную точку, сводится к изучению петель, из E в E, проходящих через данную точку R(1).

Однако на связном пространстве (а SO(3) связно) при изучении стягиваемости петель в точку нам не важно в какую точку петля стягивается и через какую точку проходит начальная петля. Мы можем любую петлю

спомощью непрерывной деформации пропустить через любую точку, если, прежде чем проходить саму петлю, сходим в эту точку и вернемся¨ обратно по тому же пути (эта добавка, очевидно, стягиваема в точку). Таким образом, нам достаточно исследовать непрерывные замкнутые петли, проходящие через E (или любую другую точку), не накладывая дополнительных условий.

Классы эквивалентности таких петель (эквивалентны петли, которые непрерывно деформируемы друг в друга) образуют фундаментальную группу пространства. Единичная петля — петля, стягиваемая в точку, обратная петля — прохождение петли в обратном направлении, произведение петель — петля, образованная последовательным проходом сперва первой,

апотом второй петли.

Для пространства SO(3) (проективного пространства) фундаментальная группа состоит из двух элементов: Z2 = {+1, −1}. Элементу −1 этой группы соответствует петля, которая нечетное¨ число раз пересекает поверхность поворота на угол π (см. 15.1.1 «Топология вращений (л)»). Другими словами, поворот на 2π не стягивается в точку, а потому может давать преобразование состояний, отличное от тождественного, а поворот на 4π в точку стягивается и должен соответствовать тождественному преобразованию.

15.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРАЩЕНИЙ

421

Повороту на 2π может соответствовать умножение на фазовый множитель P . Поворот на 4π получается двухкратным повторением поворота на 2π, т. е. соответствовать умножению на P 2, но поворот на 4π должен быть тождественным преобразованием, т. к. соответствующая петля стягивается в точку. Поэтому

P 2 = 1, P = ±1.

Выбор P = +1 соответствует исходной группе SO(3). Выбор P = −1 соответствует квантовой группе поворотов, различающей повороты на 2π и 4π. Как мы увидим далее, при изучении спина 12 , квантовые повороты описываются группой SU(2).

15.2. Представления вращений

Теперь, получив некоторое представление о том, что такое «поворот вообще», т. е. обсудив группу вращений как абстрактную группу, посмотрим как вращения действуют на те или иные квантовые системы, т. е. обсудим конкретные представления группы вращений.

15.2.1. Орбитальные моменты

Рассмотрим момент импульса, связанный с движением точечной частицы. В классической механике момент импульса частицы задается¨ как

			ypz − zpy	.
L = [r	×	p] =	zpx − xpz
			zpy − ypz

Поскольку во всех компонентах L все перемножаемые координаты и импульсы относятся к разным осям, то проблем с упорядочением множителей не возникает, и квантовые операторы проекций момента импульса получаются из классических формул приписыванием шляпок. Как и раньше, при обсуждении группы поворотов и ее¨ генераторов, сразу обезразмерим квантовые моменты импульса, поделив их на ¯h (по повторяющимся индексам снова подразумевается суммирование):

ˆ	1
lα =	¯h eαβγ xˆβ pˆγ = −i eαβγ xβ ∂γ ,
ˆ	1	(ˆypˆz − zˆpˆy) = −i(y∂z − z∂y ),
lx =	¯h
ˆ	1	(ˆzpˆx − xˆpˆz ) = −i(z∂x − x∂z ),
ly =	¯h

422		ГЛАВА 15
ˆ	1	(ˆxpˆy − yˆpˆx) = −i(x∂y − y∂x).
lz =	¯h

ˆ

Здесь мы сразу переписали операторы lα как дифференциальные операторы в координатном представлении, ∂α = ∂x∂ α .

Проверим коммутационные соотношения для компонент орбитального

ˆ

момента импульса lα:

ˆ

ˆ

1

[lx, ly] =

¯h2

[ˆypˆz − zˆpˆy , zˆpˆx − xˆpˆz ] =

=

1

([ˆypˆz , zˆpˆx] − [ˆypˆz , xˆpˆz ] − [ˆzpˆy , zˆpˆx] +[ˆzpˆy, xˆpˆz ]) =

2

¯h

0

0

1

1

ˆ

=

¯h2

(ˆy [pˆz , zˆ] pˆx + xˆ [ˆz, pˆz ] pˆy) = i ¯h

(ˆxpˆy − yˆpˆx) = ilz .

(−i¯h)	i¯h

С помощью циклических перестановок x, y, z получаем коммутационные соотношения, совпадающие с (15.3):

ˆ ˆ ˆ

[lα, lβ ] = i eαβγ lγ .

Сферические координаты

ˆ

Операторы lα являются операторами производных вдоль векторных полей1

− −

lx = i(0, z, y),

y = −i(z, 0, −x), l

z = −i(−y, x, 0). l

Эти векторные поля с точностью до множителя −i представляют собой поля скоростей при вращении вокруг соответствующих осей координат с еди-

1В дифференциальной геометрии принято считать, что вектор и производная вдоль этого вектора — один и тот же объект, т. к. между ними естественным образом устанавливается взаимно-однозначное соответствие: ∂v = va∂a . При этом операторы частной производной

вдоль координат ∂a = ∂ a выступают в роли базисных векторов (координатный базис). Та-

∂x

кой базис в общем случае не является ни ортогональным, ни нормированным. Компоненты вектора, разложенного по координатному базису, при замене координат преобразуются по тому же закону, что и бесконечномалый радиус-вектор с компонентами dxa , соединяющий две бесконечноблизкие точки.