Как понимать квантовую механику

16.3. СВЕДЕНИЕ К ЗАДАЧЕ О РАДИАЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ

463

При рассмотрении быстро растущих в нуле притягивающих (отрицательных) потенциалов следует проверить, попадает ли φ в пространство квадратично-интегрируемых функций L2(R+), т. е. φ(r) должно расти при

малых r не быстрее, чем 1 . Также следует проверить ограничен ли энерге-

√

r

тический спектр снизу, т. к. неограниченный снизу энергетический спектр означает падение частицы на центр с выделением бесконечной энергии. Потенциал −constr2 оказывается пограничным по обоим критериям.

16.3.2. Асимптотика r → ∞

При r → ∞ центробежный потенциал стремится к нулю, и главным членом оказывается либо U (r), либо E1.

Вреальных (не модельных) случаях потенциал на бесконечности стремится к константе, которую можно положить равной нулю, переопределив нулевой уровень энергии.

Вэтом случае получаем на бесконечности уравнение для свободной частицы:

−	¯h2
	2μ φ (r) E1φ(r), r → ∞, φ(0) = 0.	(16.9)

Может показаться, что условие φ(0) = 0 (бесконечновысокая стенка в нуле) в данном случае не важно, но на самом деле оно допускает адекватную переформулировку. Условие φ(0) = 0 означает равенство нулю потока вероятности jr(0) в нуле. При этом выполняется уравнение непрерывности для одномерной радиальной задачи:

∂ (r)			∂jr(r)
		+		= 0.
	∂t		∂r

Для стационарного состояния плотность вероятности не зависит от вре-

мени, а значит ∂ (r) = 0 и уравнение непрерывности дает¨ нам условие

∂t

отсутствия радиального потока вероятности:

∂jr(r)	jr(r) ≡ 0.
∂r = 0, jr(0) = 0		(16.10)

Условие отсутствия потока можно переформулировать еще¨ одним способом. Для всякого решения уравнения (16.7) φ(r) его вещественная и мнимая части также являются решениями с тем же значением E1. Однако граничное условие φ(0) = 0 из двух линейно независимых решений линейного однородного уравнения второго порядка (16.7) при данном E1 оставляет

464

ГЛАВА 16

только одно, а значит решения φ(r), Reφ(r), Imφ(r) совпадают с точностью до постоянного множителя.

Таким образом, условие отсутствия потока может формулироваться как условие вещественности φ(r), т. е. для уравнения (16.7) мы можем искать только вещественные решения.

Асимптотика (16.10) при отрицательных E1 < 0 (состояния дискретного спектра)

			√
φ(r)		e−κr, κ =		−2μE1	, r	→ ∞	.	(16.11)
				¯h

При положительных энергиях (состояния непрерывного спектра)

	√
φ(r) sin(kr + α), k =	2μE1	, α R, r → ∞.	(16.12)
	¯h

Фаза α не может быть зафиксирована исследованием потенциала при больших r. Например, если U (r) — непроницаемый шарик радиуса a, что соответствует φ(a) = 0, то при l = 0 точное решение имеет вид

φ(r) = C sin(k r −ka), r a.

α

На этом примере мы видим, что при одинаковом поведении U (r → ∞) фаза α может быть любой.

Случай неограниченного потенциала

Случай неограниченного потенциала

r→∞

U (r) −−−→ ∞

— это модельный случай, т. к. в реальной физике подобных потенциалов, неограниченно нарастающих на больших расстояниях, мы не наблюдаем.

Для неограниченных потенциалов нам не надо специально оговаривать условие отсутствия потока, т. к. это условие диктуется с обоих концов: не только условием φ(0) = 0, но и неограниченным ростом потенциала на бесконечности.

Конкретный вид асимптотики зависит от поведения U (r → ∞). Например, для потенциала трехмерного¨ изотропного гармонического осциллятора

U (r) = ω2 r2 2μ

16.4. АТОМ ВОДОРОДА

465

асимптотика совпадает с асимптотикой обычного одномерного гармонического осциллятора (см. главу 12 «Гармонический осциллятор»)

	r2
−			4		¯h
	2x2
φ(r) e	0 , x0 =					, r → ∞.
					μω

16.4. Атом водорода

Гамильтониан для атома водорода соответствует потенциалу U (r) = = −er2 , аналогично для водородоподобного иона (один электрон, обращаю-

щийся вокруг ядра с зарядом Z) U (r) = ниан, описывающий движение электрона принимает вид

ˆ	=	pˆ2
H1			−
		2μ

−Zer 2 . Таким образом, гамильтоотносительно центра масс (16.3),

Ze2	,	(16.13)
|r|

а одномерное уравнение Шредингера¨ для радиального движения (16.5), (16.6) становится таким

	¯h2		¯h2 l(l + 1)		Ze2
−	2μ φ (r) +	$		−	r − E1%φ(r) = 0, φ(0) = 0. (16.14)
			2μr2

16.4.1. Кулоновские и атомные единицы

Уравнение Шредингера¨ для атома водорода или водородоподобного иона удобно обезразмерить. В качестве атомной единицы массы используется масса электрона (приведенная)¨ . В качестве единицы действия, как

обычно в квантовой механике, используется постоянная Планка. В каче-

√

стве единицы заряда — Z e. То есть, чтобы ввести кулоновские единицы, мы полагаем три размерные константы (с несводимыми размерностями) равными единице

μ = 1, ¯h = 1, Ze2 = 1.

Этого достаточно, чтобы однозначно фиксировать систему единиц. Поскольку ядра существенно тяжелее электрона (протон в 2 ×103 раз),

приведенная¨ масса μ для движения электрона в поле ядра близка к массе свободного электрона. В частности для водорода

μ (1 − 0,5 × 10−3) · me.

466 ГЛАВА 16

Атомные единицы получаются в случае μ = me, Z = 1

me = 9,109 × 10−28 г = 1, ¯h = 1,055 × 10−27 эрг · с = 1, e = 4,803 × 10−10 ед. СГС = 1.

Размерности у этих констант следующие:

[me] = M, [¯h] = ET = M L2T −1, [e2] = EL = M L3T −2.

Выпишем следующие отсюда единицы некоторых физических величин. Это следует сделать хотя бы для того, чтобы представить себе порядок различных величин, характерных для задачи.

Характерная скорость оказывается порядка 1/100 от скорости света:

¯h = 2,187 × 10	8	см/с 10−	2	c,	c = 2,997 924 58 × 10 см/с.
e2					10

Это означает, что мы можем в первом приближении пренебречь релятивистскими эффектами, однако при умеренно точных измерениях релятивистские эффекты будут сказываться. Из гамма-фактора

γ =	1			≈	1				≈ 1 + 2,5 × 10−5
		1 − (v/c)	2			1 − 0,5 × 10−	4
относительная точность				нерелятивистского					приближения оценивается

как 10−5.

Атомная единица длины — радиус Бора, как мы видим, ангстрем (1 A˚ = 10−10 м = 10−8 см) оказался удобной единицей длины на атомных расстояниях

	¯h2		8	см = 0,529 A˚ .
a =		= 0,529 × 10−
	me2

Атомная единица времени (длина разделить на скорость) позволяет предварительно оценить, какие процессы, совершающиеся с атомами следует считать быстрыми, а какие медленными:

	¯h3		17
ta =		= 2,419 × 10−		с.
	me4

Атомная единица энергии составляет два ридберга (Ry). Мы видим, что 1 эВ оказался весьма удачной единицей для атомных процессов:

ε0 = 2Ry = me4 = e2 = 27,1 эВ = 4,34 × 10−18 Дж = 4,34 × 10−11 эрг.

¯h2 a

16.4. АТОМ ВОДОРОДА

467

16.4.2. Решение безразмерного уравнения

После обезразмеривания получаем

1

l(l + 1)

1

1

!φ(ρ) = 0,

−2 φ (ρ) +

−

ρ

+

φ(0) = 0.

(16.15)

2ρ2

2n2

E1

1

−

Здесь =

=

— обезразмеренная энергия (n — обезразмеренная

ε0

−2n2

r

— обезразмеренный

длина затухания волновой функции при r → ∞), ρ = a

радиус.

Мы будем

искать

состояния дискретного

спектра,

т. е. состояния

с < 0.

Мы знаем асимптотики φ при малых и при больших ρ

φ(ρ)

ρl+1, ρ

0,

φ(ρ)

e−ρ/n, ρ

1

= √

.

→

→ ∞

,

2

n

−

Выделим асимптотики из φ:

φ(ρ) = ρl+1 · e−ρ/n · u(ρ).

Здесь u(ρ) — новая неизвестная функция, она должна при малых ρ вести себя так, чтобы не испортить асимптотику ρl+1, а при больших — чтобы не

испортить e−ρ/n:

− n + u

− nρ

+ n2 %.

φ (ρ) = ρ ·e−

·$u + 2u

ρ

ρ2

l + 1

l(l + 1) 2(l + 1)

l+1

ρ/n

1

1

Радиальное уравнение принимает следующий вид:

2

+ u

ρ

− n

+ ρ

−n −

1

= 0,

u

l + 1

1

u n

l

ρ

l

1

ρu

+ 2u l + 1 −

+ 2u n −n

−

= 0.

n

Будем искать функцию u(ρ) в виде ряда по степеням ρ:

∞

u(ρ) =

Ckρk,

(16.16)

k=0

468	ГЛАВА 16
∞	∞
u (ρ) =	(k + 1)Ck+1ρk, u (ρ) = (k + 2)(k + 1)Ck+2ρk,
k=0	k=0

∞
)	(k + 2)(k + 1)Ck+2ρk+1 + 2(l + 1)(k + 1)Ck+1ρk −
k=0	%

	−	2(k + 1)	Ck+1ρ	k+1	+	2(n − l − 1)		Ckρ	k	= 0,
		n				n
∞							2k			2(n l 1)
											− −
$(k + 1)kCk+1 + 2(l + 1)(k + 1)Ck+1 − n Ck +											n
k=0	$(2l + k + 2)(k + 1)Ck+1 + 2(n − l n− 1 − k) Ck% ρk
∞

%

Ck ρk = 0,

= 0.

k=0

Отсюда получаем рекуррентную формулу для коэффициентов разложения:

		Ck+1 = −Ck				2(n − l − 1 − k)			.		(16.17)
						n(2l + k + 2)(k + 1)
При больших k
2		(		2 )k
		≈ const		n		u(ρ) ≈ const			2ρ/n
Ck+1 ≈ Ck									· e	, ρ → ∞.
	nk			k!
Это превращает правильную асимптотику φ								e−ρ/n	при ρ	→ ∞	в непра-
				+ρ/n
вильную асимптотику φ e						, которая тоже удовлетворяет уравнению

Шредингера,¨ но была откинута, т. к. такая волновая функция ненормируема. Чтобы сохранить правильную асимптотику на больших расстояниях необходимо потребовать, чтобы ряд по степеням ρ обрывался, т. е. должно

быть такое значение K = 0, 1, 2, . . . , что CK =,0но

CK+1 = − CK

=0

2(n − l − 1 − K)

= 0 n = l + 1 + K N.

n(2l + K + 2)(K + 1)

Таким образом, параметр n, с помощью которого мы параметризовали энергию, должен быть натуральным числом:

K

2ρ

k

(2l + 1)!(n

−

l

1)!

u(ρ) = C0 k=0

−

−

.

n

(2l + 2 + k)!(n

l

2

−

k)!k!

− −

16.4. АТОМ ВОДОРОДА

469

С точностью до нормировочного множителя

K

u(ρ) = const ·

k=0

Это полином степени K = n − l

k

−2nρ

(2l + 2 + k)!(K − 1 − k)!k!

− 1.

16.4.3. Атом водорода в «старой квантовой механике»*

Каждый школьник знает, что атом Бора — это не атом бора, а атом водорода.

П. Л. Капица во время посещения Н. Бором Москвы в 1961 г.*

*Цитируется по книге Белонучкин В. Е., Заикин Д. А., Ципенюк Ю. М. Основы физики. Курс общей физики: Учебн. В 2 т. Т. 2. Квантовая и статистическая физика / Под ред. Ю. М. Ципенюка. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

Интересно, что точный спектр для частицы в кулоновском поле может быть получен из квазиклассических соображений. Впервые это было сделано Бором в 1913 году исходя из того, что на классической круговой орбите должно умещаться целое число волн де Бройля, это условие соответствует условию квантования классического момента импульса при круговом движении: L = pR = n¯h.

Для круговой орбиты радиуса R2

e2

p2

U

e2

p = '

e2m

U = − R ,

K =

= −

2

=

,

2m

2R

R

p 2πR = n2π¯h

n¯h

e2m

p =

R

= ' R

1

=

e2m

E =

U

= −

e4m

2

.

R

n2¯h2

2n2¯h2

Как мы видим, значение энергии в точности соответствует строгому решению квантовой задачи, однако соответствующий размерный момент импульса

L = pR = n¯h

2Для упрощения выкладок мы пользуемся теоремой вириала из теоретической механики, которая для финитного движения в кулоновском поле дает¨ следующее соотношение между средними значениями кинетической и потенциальной энергией K = −12 U , т. е. E = U2 .

470

ГЛАВА 16

выходит из диапазона 0, . . . , (n − 1)¯h, который получается в квантовом случае.

В последствии Зоммерфельд обобщил результат Бора на эллиптические орбиты с 0 < L n¯h. L = 0 было исключено, чтобы получить соответствующую эксперименту кратность вырождения.

ГЛАВА 17

Квантовая и классическая история. Вместо послесловия (ффф)

Рассказывают, что один студент проквантовал классическую марксистско-ленинскую теорию, а потом пытался изложить результаты преподавателю на экзамене по научному коммунизму . . .

Физтеховский студенческий фольклор

17.1. Предварительные извинения

Эту главу не следует воспринимать слишком серьезно¨ — это всего лишь попытка применить физическую интуицию к гуманитарным вопросам. Физика при этом может выступать как образец по-настоящему хорошо работающей теории, а также как метафора. Впрочем, нельзя исключать, что некоторые обсуждаемые вопросы окажутся физически осмысленными.

17.2. Сослагательное наклонение в истории

17.2.1. Классическая неустойчивая динамика
Расхожая фраза «история не имеет сосла-
гательного наклонения» неявно подразумевает
исторический детерминизм в духе лапласовско-
го детерминизма. Более того, неявно подразу-
мевается, что историческая динамика устойчива
к малым возмущениям, что противоречит даже
опыту классической механики.
Также этот взгляд явно противоречит смыс-	Рис. 17.1. Георгий Геннади-
лу применения теории управления к челове-
ческому обществу: задача построения управле-	евич Малинецкий. [фото автора]

ния — построение системы, чья динамика будет существенно зависеть от

Рис. 17.2. Исаак Юдович Озимов (Айзек Азимов) 1965 г. (1920–1992). W

472

ГЛАВА 17

управляющего воздействия, т. е. динамика управляемой системы должна быть неустойчива по управляющему воздействию. В данном случае

управляемость неустойчивость по управляющему воздействию

(обратное не верно).

Самоорганизация общества, при котором оно само приходит в управляемый режим, т. е. получает возможность реагировать на внешнее воздействие как целое, аналогично известному в синергетике явлению самоорганизованной критичности, когда система сама приходит к состоянию, в котором характерный размер флуктуаций (откликов на внешние воздействия) становится сравнимым с масштабом системы.

Для построения теоретической истории как науки, имеющей реальную предсказательную силу не только по отношению к прошлому, но и по отношению к будущему, необходимо, по крайней мере, использовать наработки кибернетики (теории управления) и синергетики (теории самоорганизации сложных систем).

Классическая теоретическая история могла бы предсказывать вероятности тех или иных событий, выявлять периоды бифуркаций (развилок) и устойчивого (неуправляемого) развития. Для бифуркаций можно было бы предсказывать характер и величину управляющего воздействия, повы-

шающего вероятность выбора того или иного пути.

В настоящее время в России теоретическая история с точки зрения синергетики развивается в ИПМ им. М. В. Келдыша РАН группой Г. Г. Малинецкого (проект «Математическая история»). По всей видимости аналогичные разработки (преимущественно закрытого характера) в России и мире ведутся, по крайней мере, с середины XX века. В частности, С. Б. Переслегин предполагает, что в САСШ у истоков разработок по теоретической истории мог стоять биохимик (и писатель–фантаст) А. Азимов. Гипотеза о роли Азимова основывается на его несомненном интересе к проблеме, проявленном в таких НФ-произведениях, как цикл «Основание» (1951–1988 гг.), «Конец Вечности» (1955 г.), «Непреднамеренная победа» (1964 г.).

17.2.2. Квантовая многомировая история

С точки зрения многомировой интерпретации квантовой механики следует считать, что состояние Земли и Человечества описывается суперпози-