Как понимать квантовую механику

15.4. СПИН 1

443

Базисные состояния с определенным¨ значением σ (проекции на ось z) принято обозначать по-разному:

|		=		1		|	1, 0			0		|	−		0
				0						0					1
1, +1				0	,				=	1	,		1, 1	=	0	.

15.4.1. Вращения для спина 1 и для векторов

Оператор поворота для спина 1, как и для любого другого момента, задается¨ формулой

Rn(ϕ) = eiϕsˆn .

Поскольку собственные числа sˆn равны +1, 0, −1, их третья степень, как и для σ-матриц, дает¨ исходную матрицу. Таким образом,

s3n = sn n = 0, 1, 2, . . . , s2nn+2 = s2n =s0n = E, s2nn+1 = sn.

(15.16)

Аналогичные соотношения мы получали ранее, для генераторов матриц поворота в трехмерном¨ пространстве (15.2). В этом состоит специфика спина 1.

Разлагая экспоненту в ряд, получаем:

Rn(ϕ) = eiϕsˆn = ∞ (iϕsˆn)n n!

n=0

(iϕ)2n

∞

(iϕ)2n+1

∞

= E + sˆ

+ˆs2

,

n

(2n + 1)!

n

(2n)!

n=0

n=1

(cos

−

1)

i sin ϕ

ϕ

Rn(ϕ) = E + sˆn i sin ϕ + sˆ2n (cos ϕ − 1),

+nz

n−

0

1 + nz2

nz n−

n−2

√

2

√

2

2

2

sˆn =

√2

0

√2

,

√2

1 − nz

−√2

n+

n−

2

nz n+

2

nz n

0

nz

−

z

√2

−

2

2

√2

n+

nz n+

1 + n2

n+2

Выше (см. 15.1.1 «Генераторы вращений (л)») мы уже получали трех¨- мерное неприводимое представление группы вращений с помощью обычных ортогональных матриц поворотов. Вернулись ли мы к тому же самому представлению в иной форме, или получили что-то новое?

444

ГЛАВА 15

Если мы следующим образом свяжем базис состояний {|1, m }+1 −

m= 1

с базисом единичных векторов вдоль декартовых осей координат {eα}3α=1, то матрицы jα, генерирующие ортогональные матрицы поворотов перейдут, в матрицы компонент sˆα спина 1:

− ex − iey

e+

ex − iey

e−

|1, +1 =

= −√

,

|1, 0 = ez ,

|1, −1 =

= √

.

√

√

2

2

2

2

− |1, +1 + |1, −1

i|1, +1 + i|1, −1

(15.17)

ex =

,

ey =

, ez = |1, 0 .

√

√

2

2

(15.18)

Таким образом, представление группы вращений для спина 1 с точностью до комплексной замены базиса совпадает с привычным нам из стереометрии и классической механики векторным представлением группы вращений, когда повороты отождествляются с матрицами собственных вращений, действующими на векторы из R3.

15.4.2. Спин и поляризация фотона

Фотон — квант электромагнитного поля. Как мы обсуждали в разделе 12.11 «Квантованные поля (ф*)», при квантовании электромагнитного поля в ящике с периодическими граничными условиями каждой моде колебаний, характеризующейся волновым числом k и поляризацией σ, ставится в соответствие гармонический осциллятор с частотой, равной частоте моды. Число заполнения данного осциллятора рассматривается как число фотонов с данными k и σ.

Каков спин фотона? Этот вопрос эквивалентен вопросу о том, как переменная, характеризующая фотон, но не связанная с его движением (т. е. поляризация), преобразуются при вращениях.

Поляризация σ электромагнитной волны описывается с помощью вектора поляризации eσ. Как мы установили выше (15.17), (15.18), вектор преобразуется по представлению спина 1. То есть фотон — векторная частица — частица со спином 1.

Однако у частицы со спином 1 должно быть 3 поляризации, а у фотона — только 2. Какая поляризация пропала?

Рассмотрим одну конкретную моду колебаний. Пусть волновой вектор k (и импульс ¯hk) направлен по оси z. В соответствии с уравнениями (15.18) спиновые состояния соответствуют следующим поляризациям:

2

ex√−iey

2

−ex−iey

√

15.5. СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ*

445

• |1, +1 = — спин направлен вдоль импульса — правая круговая поляризация (вращение поля связано с направлением k правым винтом);

• |1, −1 = — спин направлен против импульса — левая круговая поляризация (вращение поля связано с направлением k левым винтом);

•|1, 0 = ez — проекция спина на импульс равна нулю — продольная поляризация (поле колеблется вдоль импульса).

Однако электромагнитная волна — поперечная волна и продольная поляризация для нее¨ отсутствует. Если мы задаем¨ поляризацию электромагнитной волны направлением вектора E, то продольная поляризация отсутствует с самого начала, а если направлением векторного потенциала A, то вклад в поле продольной части A в точности компенсируется вкладом скалярного потенциала ϕ. Так и для квантованного электромагнитного поля (в зависимости от используемого формализма): продольная поляризация либо отсутствует с самого начала, либо нефизична (не дает¨ вклада).

Такая ситуация является типичной для любых безмассовых (движущихся со скоростью света) частиц: вне зависимости от спина имеется две поляризации: по часовой стрелке (проекция спина на импульс +s) и против часовой стрелки (проекция спина на импульс −s). Это связано с тем, что мы не можем выбрать для такой частицы систему покоя, в любой системе отсчета¨ есть выделенное направление (вдоль импульса), и симметрия оказывается ниже, чем стандартная SU(2). Иногда для таких частиц избегают применять слово спин и говорят спиральность.

15.5. Сложение моментов*

Пусть система состоит из двух подсистем, для каждой из которых

; ;

определены операторы момента импульса j1 и j2. Пусть также для каждой

из подсистем определен¨ квадрат момента импульса (j1(j1 + 1) и j2(j2 + + 1) соответственно). Для системы мы можем ввести базис, состоящий из состояний вида

|m1 |m2 = |j1, m1 |j1, m2 .

(В обозначении |m1 |m2 мы опустили фиксированные квантовые числа j1

и j2.)
ˆ2	Таким образом, мы имеем базис собственных векторов для операторов
	ˆ ˆ2	ˆ
j1	, j1z , j2	, j2z . Наша задача — построить базис собственных векторов для

ˆ2 ; ; 2 ˆ ˆ ˆ

операторов суммарного момента J = (j1 + j2) и Jz = j1z + j2z .

446		ГЛАВА 15
	(*) С точки зрения теории представлений, мы имеем произведение
двух		неприводимых представлений группы SU(2), отвечающих момен-

там j1 и j2	, и нам надо разложить произведение в сумму неприводимых
представлений.			ˆ
				. Базисные состояния |m1 |m2 для него
Проще всего с оператором Jz
уже является собственными:
ˆ	ˆ	ˆ	|m2	= (m1		+ m2) |m1 |m2 = M |m1 |m2 .
Jz |m1 |m2	= (j1z + j2z )|m1

M

Если отложить по осям координат квантовые числа m1 и m2, то новое квантовое число M надо будет откладывать по оси, направленной по диагонали (см. рис. 15.4). При этом, M пробегает с шагом 1 все значения от −(j1 + j2) до j1 + j2. Кратность различных значений M (число точек, на тонких линиях поперек¨ оси M на рис. 15.4) меняется от 1 (при M = ±(j1 + + j2)) до 2j1 + 1, где j1 — наименьший из двух моментов.

	m1			M = m1 + m2
		j1 + j2
	j1
				j2
					m2
–(j1 + j2)
Рис. 15.4. Связь M с m1 и m2.

Начнем¨ с состояния с максимальным значением проекции момента.

ˆ

ˆ

+

Такое состояние только одно: |j1 |j2 . Под действием оператора J+

= j1+

ˆ

оно обнуляется

+ j2+

ˆ

ˆ

ˆ

|j2

ˆ

)

|j2

+ |j1

ˆ

) = 0,

J+|j1 |j2 = (j1+

+ j2+)|j1

= (j1+|j1

(j2+|j2

0

0

15.5. СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ*

447

значит в этом состоянии проекция момента достигает максимальной величины и мы можем записать первый вектор нового базиса:

|j1 + j2, j1 + j2 = |j1 |j2 .

JM

Действуя 2(j1 +j2) раз на состояния |j1 +j2, j1 +j2 понижающим опе-

ˆ ˆ ˆ

ратором J− = j1− + j2, мы можем найти остальные состояния, для которых J = j1 + j2, а M меняется от −J до +J с шагом 1. ((*) Тем самым мы выделяем первое неприводимое представление, отвечающее моменту j1 + j2.)

В частности однократное применение понижающего оператора дает:¨

ˆ

+ j2, j1

+ j2 = 2(j1 + j2)|j1

+ j2, j1 + j2 − 1 =

J−|j1

ˆ

ˆ

ˆ

2

| 1

ˆ

1− + j2−)|j1 |j2

1−| 1 |

2−| 2

) =

= (j

= (j

j ) j

+ j

(j j

= 2j1|j1 − 1 |j2 + 2j2|j1 |j2 − 1 ,

√

√

j

+ j , j

+ j

−

1

=

j1

|j1

− 1 |j2 +

j2

|j1 |j2 − 1

.

|

1

2 1 2

√

j1 + j2

JM

Унас имеется два линейно независимых состояния, для которых M =

=j1 + j2 − 1 (см. рис. 15.4). Если из тех же состояний составить комбинацию, ортогональную состоянию |j1 + j2, j1 + j2 − 1 , то мы получим

√

− 1 |j2

√

− 1

| j1

+ j2

− 1, j1

+ j2

− 1 =

j2

|j1

−

j1

|j1 |j2

.

√

j1 + j2

JM

То, что в данном состоянии J = M , проверяется с помощью повышающего оператора:

ˆ

|

−

|

− |

|

−

j1+ .|. .

|

2 −

j2+ .|. .

|

j1

= 0.

J+( j2

1

j2

j1 j1

j2

1

) = 2j1j2 j1

j

2j1j2 j1

j2

|

|

Из состояния |j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1 с помощью понижающего оператора

ˆ −

J− мы получаем остальные состояния с J = j1 + j2 1 и другими M . Таким образом, мы из соображений ортогональности находим все сос-

тояния вида |J, J при J = j1 + j2, j1 + j2 − 1, . . . , |j1 − j2|. С помощью

ˆ |

оператора J− мы получаем все состояния J, M , для которых M < J.

448

ГЛАВА 15

Общее число состояний нового базиса такое же, как у старого:

j1+j2

|

+ j2

− |j1 − j2

| + 1) (j1

+ j2

+ |j1

− j2

| + 1) =

(2J + 1) = (j1

J= j1 −j2|

число слагаемых

среднее слагаемое

=(2j1 + 1)(2j2 + 1).

(*)Таким образом, мы разлагаем произведение неприводимых пред-

ставлений группы вращений, отвечающих моментам j1 и j2, в сумму неприводимых представлений, отвечающих моментам j1 +j2, j1 +j2 −1, . . . , |j1 −

−j2|.

Коэффициенты разложения векторов нового базиса по старому

m1, m2|J, M

называются коэффициентами векторного сложения или коэффициентами Клебша – Гордана, они образуют унитарную матрицу, т. к. описывают ортонормированную замену координат. Как и всякие скалярные произведения ортонормированных волновых функций, коэффициенты Клебша – Гордана задают амплитуды перехода между соответствующими состояниями.

15.5.1. Сложение спинов 12 + 12

Проиллюстрируем процедуру сложения моментов импульса на прос-

тейшем случае двух спинов 1 .

2

В соответствии с общей схемой, начнем¨ с состояния с максимальной

проекцией момента:

|1, 1 = |+ |+ ,

ˆ

√

S−|1, 1 = 2|1, 0 = (ˆs1− + sˆ2−)|+ |+ =

= (ˆs1−|+ ) |+ + |+ (ˆs2−|+ ) = |− |+ + |+ |− ,

|

−

|−

|1, 0 =

|− |+ + |+ |−

√

,

2

ˆ

√

|− |+ + |+ |−

S−|1, 0 = 2|1, −1 = (ˆs1− + sˆ2−)

√

=

2

=

|− (ˆs2−|+ ) + (ˆs1−|+ )|−

√

2

15.5. СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ*

449

|1, −1 = |− |− .

Состояние |0, 0 получаем как линейную комбинацию состояний |+ |− и |− |+ (состояния с нулевой проекцией спина), ортогональную состоянию |1, 0 :

|− |+ − |+ |− |0, 0 = √ .

2

Все состояния с суммарным спином 1 оказались четными,¨ относительно перестановки спинов, а состояние с суммарным спином 0 — нечетным¨.

Если спины относятся с двум тождественным частицам (фермионам, т. к. спин 12 ), то волновая функция должна быть нечетной¨ (менять знак) относительно перестановки двух частиц:

ψ(r1, σ1; r2, σ2) = −ψ(r2, σ2; r1, σ1).

Мы можем отделить спиновую волновую функцию от координатной, если волновая функция факторизуется:

ψ(r1, σ1; r2, σ2) = φ(r1, r2) · χ(σ1, σ2).

Условие нечетности¨ принимает вид

φ(r1, r2) · χ(σ1, σ2) = −φ(r2, r1) · χ(σ2, σ1).

Таким образом, если

χ(σ1, σ2) = ±χ(σ2, σ1)

(«+» для спина 1, «−» для спина 0), то

φ(r1, r2) = φ(r2, r1).

То есть в данном случае четность¨ координатной части волновой функции двух тождественных частиц соответствует четности¨ суммарного спина («+» для спина 0, «−» для спина 1). Подробнее этот вопрос разобран в следующем разделе

15.5.2. Четность¨ при сложении двух одинаковых спинов

Пусть складываются два одинаковых момента импульса s1 = s2 = s.

Введем¨			ˆ
	оператор перестановки спинов Ps:
	ˆ	|m2 = |m2	|m1	.
	Ps|m1

450 ГЛАВА 15

Оператор обратим и сохраняет скалярное произведение, т. е. он унитарен

Pˆ† = Pˆ−1		. Кроме того, оператор совпадает со своим обратным Pˆ	= Pˆ−1	,
s	s	s	s

следовательно, он одновременно эрмитов. Унитарный эрмитов оператор может иметь собственные числа только ±1.

Состояние с максимальной проекцией момента оказывается четным,¨ относительно их перестановки:

ˆ					|2s, 2s = |s |s .
		= sˆ	+ sˆ		переводит четные¨		состояния снова в четные,¨
Оператор S	−
а нечетные¨		1−	2−		ˆ	сохраняет четность:¨
	— в нечетные,¨			т. е. S−
					ˆ	ˆ
					[S−, Ps] = 0.

Таким образом, все состояния с максимальным спином

|2s, M , M = −s, . . . , +s

оказываются четными¨.

Состояние с суммарным спином 2s − 1 строится как ортогональное к состоянию

|s − 1 |s + |s |s − 1 |2s, 2s − 1 = √ ,

2

т. е.

|s − 1 |s − |s |s − 1 |2s − 1, 2s − 1 = √ .

2

Таким образом, состояние |2s − 1, 2s − 1 оказалось нечетным¨. Поскольку

ˆ	все состояния
S− сохраняет четность,¨
|2s − 1, M ,		M = −s + 1, . . . , +s − 1,
оказываются нечетными¨.
	ˆ	сохраняет четность,¨	следует, что все состо-
Вообще, из того, что S−

яния с одинаковым суммарным спином имеют одинаковую четность¨ (если четность¨ определена).

Покажем по индукции, что и далее четные¨ и нечетные¨ состояния будут чередоваться по мере уменьшения суммарного спина.

Предположим, что для наибольших K значений спина (2s до 2s −K + + 1) четность¨ чередуется (для K = 1 мы это уже доказали)

ˆ	k	|2s − k, M , k = 0, . . . , K − 1.
Ps|2s − k, M = (−1)

15.5. СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ*

451

Обозначим HK (K = 0, . . . , 2s) — (K + 1)-мерное подпространство состояний, для которых M = 2s − K.

Состояние |2s − K, 2s − K находится из условия ортогональности состояниям |S, 2s − K (S = 2s, . . . , 0).

1. Покажем, что состояние |2s − K, 2s − K должно иметь определенную¨ четность:¨

− | ˆ | − − ± − | − −

S, 2s K Ps 2s K, 2s K = S, 2s K 2s K, 2s K = 0, S = 2s, . . . , 2s − K + 1.

ˆ | − −

Состояние Ps 2s K, 2s K ортогонально K базисным векторам из K + 1, таким образом оно обязано быть пропорционально оставшемуся базисному вектору |2s − K, 2s − K , т. е. оно имеет определенную¨ четность¨.

2.Вычислим размерность подпространства четных¨ состояний HK+

HK . В подпространстве HK имеется K + 1 базисное независимое состояние вида |m1 |m2 (m1 + m2 = M = 2s − K). Линейно независимые состояния вида

ˆ	|m2 = |m1	|m2 + |m2 |m1
|m1 |m2 + Ps|m1

образуют базис в подпространстве четных¨ состояний. Состояния, отличающиеся перестановкой m1 и m2, попарно совпадают, так что

+

K

dim HK

=

2 ! + 1,

где квадратные скобки обозначают взятие целой части.

Для подпространства нечетных¨ состояний HK− HK

dim HK−

= K −

K

!.

2

K 1

|

−

K −

K

−

3. Покажем, что четность¨ состояния

2s

1

K, 2s

1

будет ( 1)K .

У нас уже имеется

2

−

−

2

нечетных¨ состо-

− + 1 четных¨ и K

−

яний, полученных с)

помощью понижающего оператора

ˆ

*

)

*S− из состояний

HK±−1. Чтобы получить правильные размерности пространств HK± , нам надо, чтобы состояние |2s −K, 2s −K имело подходящую четность¨. Если K нечетно,¨ то нам надо добавить одно нечетное¨ состояние. Если K четно,¨ то

надо добавить одно четное¨ состояние.
С учетом¨	ˆ	сохраняет четность,¨	получаем, что
	того, что оператор S−

четность¨ состояния |2s − K, M равна (−1)K .

452

ГЛАВА 15

Тождественные частицы

Если рассмотренные выше частицы со спином s являются тождествен-

ными, то

ψ(r1, σ1; r2, σ2) = (−1)2sψ(r2, σ2; r1, σ1).

Мы можем отделить спиновую функцию от координатной, если волновая функция факторизуется:

ψ(r1, σ1; r2, σ2) = φ(r1, r2) · χ(σ1, σ2).

Мы только что определили четность¨ спиновой волновой функции, при сложении двух спинов s:

χ(σ1, σ2) = (−1)K χ(σ2, σ1) = (−1)2s−S χ(σ2, σ1).

Таким образом, четность¨ координатной волновой функции определяется суммарным спином системы из двух тождественных частиц:

φ(r1, r2) = (−1)S φ(r2, r1).

15.5.3. Сложение моментов j + 12

При сложении моментов j и 12 суммарный момент пробегает два зна-

чения

1

J = j ± 2

,

|j + 21 , j + 21 = |j |+ .

ˆ

ˆ

Действуя на это равенство понижающим оператором J−

= j− + sˆ−, полу-

чаем

2j

2j + 1|j + 21 , j − 21

= 2j|j − 1 |+ + |j |− ,

1

1

| −

| | |−

|j + 2 , j − 2 =

√

j

1

+ + j

.

√

2j + 1

Из ортогональности находим

|j − 1 |+ − √

|j |−

1

1

2j

|j − 2 , j

− 2 =

.

√

2j + 1

ˆ

N

на состояния

Остальные состояния находятся действием оператора J−

|j + 12 , j + 12 и |j − 12 , j − 12 . Поскольку для спина 12 выполняется условие

sˆ 2	= 0, от бинома Ньютона остаются только два первых члена:
−	Jˆ−N = (ˆj− + sˆ−)N = ˆj−N + Nˆj−N−1sˆ− = (ˆj− + N sˆ−)ˆj−N−1,