Как понимать квантовую механику

15.5.

СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ*

453

C j + 1 , j + 1

N

= Jˆ

N j + 1

, j + 1

= (ˆj + N sˆ )ˆj N−1

j + =

|

2

2 −

−

|

2

2

−

− −

| |

= C (ˆj− + N sˆ−)|j − N + 1 |+

= C (

|j − N |+ + N |j − N + 1 |− ).

(2j − N + 1)N

Нормируя на единицу (с учетом¨ того, что C, C > 0), получаем

√

√

|j +

1

1

2j − N + 1

|j − N |+ + N |j − N + 1 |−

2 , j +

2 − N =

√

.

2j + 1

M

Аналогично (либо из ортогональности) получаем

√√

|j −	1	, j +		1	− N =			N |j − N |+ − 2j − N + 1|j − N + 1 |−			.
	2			2				√
									2j + 1

M

15.5.4. Сложение моментов 1 + 1

Суммарный момент пробегает значения 2, 1, 0. Состояния для моментов 2 и 0 четные,¨ а для момента 1 нечетные¨.

Процедура получения новых базисных состояний полностью стандарт-

ная. Выкладки облегчаются тем, что для момента 1 ненулевой множитель

ˆ

ˆ

√

при действии оператором j−

всегда одинаков: j−|m =

2|m −1 при m =

= 1, 0.

Сделав эти замечания, сразу (выкладки вполне можно проделать в уме)

выпишем новый базис:

|2, 2 = |1 |1 ,

|0 |1 + |1 |0

|2, 1 =

√

,

2

|2, 0 =

| − 1 |1 + 2|0 |0 + |1 | − 1

√

,

6

|2, −1 =

| − 1 |0 + |0 | − 1

√

,

2

|2, −2 = | − 1 | − 1 ,

|0 |1 − |1 |0

|1, 1 =

√

,

2

454

ГЛАВА 15

|1, 0 =	| − 1 |1 − |1 | − 1					,
	√
		2
|1, −1 =	| − 1 |0 − |0 | − 1					,
	√
		2
|0, 0 =	| − 1 |1 − |0 |0 + |1 | − 1
			√				.
				3

ГЛАВА 16

Задача двух тел

Как и в классической теоретической механике, в квантовой механике ставится и решается задача двух тел. В этой задаче изучается движение двух точечных частиц, взаимодействие которых задается¨ потенциалом U (|r1 −r2|), зависящим только от расстояний между частицами |r1 −r2|. Соответствующий квантовый гамильтониан совпадает с классическим с точностью до шляпок:

ˆ		pˆ12			pˆ12
H =			+			+ U (|r1 − r2|).	(16.1)
		2m1			2m1
В случае электрона и атомного ядра, взаимодействующих по закону
Кулона U (|r1 − r2|) = −		Ze2		, мы получаем задачу об атоме водорода
	|r1 −r2|

или водородоподобном ионе (в нерелятивистском пределе, без учета¨ спинов частиц и их размеров).

Как мы увидим, задача двух тел в квантовой механике и в классической решается во многом аналогичными методами, поскольку обе задачи имеют практически одинаковые симметрии, а симметриям соответствуют законы сохранения, которые позволяют проводить разделение переменных как в классическом, так и в квантовом случае.

16.1. Законы сохранения

Перечислим законы сохранения, которые могут возникать в задаче двух

тел.

•Закон сохранения энергии выполняется, поскольку гамильтониан не зависит от времени.

•Закон сохранения суммарного импульса выполняется, поскольку гамильтониан не меняется при сдвиге системы как целого.

•Закон сохранения суммарного орбитального момента импульса выполняется, поскольку гамильтониан не меняется при повороте системы как целого.

456 ГЛАВА 16

• Закон сохранения пространственной четности¨ выполняется, поскольку гамильтониан не меняется при зеркальном отражении.

•	Для специальных видов потенциала (U (|r1 −2		r2|) =		k|r1−r2	|2	— гармо-
					2
	нический осциллятор, U (|r1 − r2|) = −	Ze		— кулоновский потен-
		|r1 −r2|

циал) могут возникать дополнительные симметрии, законы сохранения и соответствующее им вырождение уровней энергии (часто называемое «случайным»)1.

•Если частицы имеют спин, то при гамильтониане (16.1), который не действует на какие-либо спины, спин каждой частицы сохраняется. В этом случае спин влияет только на кратности вырождения уровней, а для тождественных частиц см. также следующий пункт.

•Для двух тождественных частиц система должна быть симметричной относительно их перестановки. При этом соответствующая четность¨ должна быть +1 (волновая функция с учетом¨ спинов при перестановке частиц не меняется) для бозонов и −1 (волновая функция с учетом¨ спинов при перестановке частиц меняет знак) для фермионов.

16.2. Сведение к задаче одного тела

Как и в классической механике, мы можем разделить переменные, расписав энергию (гамильтониан) через движение центра масс и относительное движение частиц. Соответствующие выкладки с точностью до шляпок такие же, как в классике.

Суммарный импульс и суммарная масса системы, радиус-вектор центра масс:

ˆ				r1m1	+ r2m2
P = pˆ1	+ pˆ2, M = m1	+ m2	, R =	m1	+ m2	.

Относительный импульс и приведенная¨ масса системы, относительный радиус-вектор:

v1

−

v2

+ m2

+ m2

m1 + m2

−

m1

m1

pˆ =

pˆ1

pˆ2

m1m2

=

pˆ1m2

− pˆ2m1

, μ =

m1m2

, r = r1

r2.

m1

m2

μ

vотн.

1На самом деле такие законы сохранения обеспечиваются замкнутостью классических траекторий (эллипсов) при финитном движении. В случае общего положения вместо замкнутого эллипса классическая частица будет рисовать «розочку» (прецессия перигелия).

16.2. СВЕДЕНИЕ К ЗАДАЧЕ ОДНОГО ТЕЛА

457

Легко видеть, что для новых переменных выполняются канонические коммутационные соотношения:

ˆ	ˆ
[Rα, Pβ ] = i¯hδαβ , [ˆrα, pˆβ ] = i¯hδαβ ,
ˆ	ˆ	ˆ	ˆ

[Rα, pˆβ ] = [ˆrα, Pβ ] = [Rα, rˆβ ] = [pˆα, Pβ ] = 0.

Также легко проверить, что замена (r1, r2, p1, p2) → (r, R, p, P) сохраняет объем¨ в координатном и импульсном пространстве. Покажем это для x-компонент:

				1 2	1 2
	D(rx, Rx)			1		−1
	D(r1x, r2x) =			m +1m m +2m = 1,
				m		m
				m2
	D(px, Px)					− m1
		=		m1 + m2 m1 + m2				= 1.
	D(p1x, p2x)
				1	1

Это позволяет записывать волновые функции в новых переменных, не думая об элементах объема,¨ просто подставляя в старые волновые функции выражения старых переменных через новые.

В новых переменных гамильтониан (16.1) переписывается так (проверку, полностью аналогичную классическому случаю, предоставляем читателю):

		pˆ2							ˆ 2
ˆ									P
H =		2μ		+ U (|r|) +					2M	.	(16.2)
				H1				0
									ˆ
					ˆ				H

ˆ

Гамильтониан распался на два члена, один из которых H0 действует

ˆ

только на движение центра масс, а другой H1 — только на относительное движение частиц. Таким образом, мы представили систему из двух взаимодействующих частиц как объединение двух невзаимодействующих подсистем: движение центра масс и относительное движение частиц.

Это позволяет провести разделение переменных. Если в начальный момент времени волновая функция может быть записана в виде

ψ(r1, r2) = ψ(r, R) = ψ1(r) · ψ0(R),

то поскольку каждый член гамильтониана действует только на свой множитель

	ˆ		ˆ		· ψ0	ˆ	ψ1) · ψ0	ˆ	ψ0),
(H1		+ H0) ψ1				= (H1		+ ψ1 · (H0

ˆ

H

458

ГЛАВА 16

то и в последующие моменты времени волновая функция разлагается на два множителя, каждый из которых эволюционирует сам по себе:

i¯h	∂ψ1	ˆ		, i¯h	∂ψ0	ˆ
		= H1	ψ1			= H0	ψ0.
	∂t				∂t

Мы свели задачу двух тел к двум задачам:

•Задача о свободном движении частицы массы M описывает движение центра масс.

•Задача о движении частицы массы μ в потенциале U (|r|) описывает относительное движение частиц.

Если мы ищем энергетический спектр системы двух тел, то собственные состояния могут искаться в виде произведений собственных состояний

ˆ	ˆ
для H1	и H0:
ˆ		= (E1 + E0)ψ1ψ0,		ˆ	ˆ	ψ0	= E0ψ0.
Hψ1ψ0				H1ψ1 = E1ψ1, H0
Для свободной частицы (движения центра масс) собственные состоя-
ния могут быть заданы, например, волнами де Бройля:
		ikr			¯h2k2
		ψ0k = e	,	E0k =	2M .

Задачу одного тела в центральном поле U (|r|) мы рассмотрим

вследующих разделах.

16.3.Сведение к задаче о радиальном движении

Теперь мы рассматриваем гамильтониан для относительного движения

частиц
ˆ	=	pˆ2
H1			+ U (|r|).	(16.3)
		2μ
Обезразмеренный орбитальный момент импульса имеет вид
ˆ		1
l =		¯h [ˆr × pˆ].

Всилу сферической симметрии орбитальный момент сохраняется,

азначит мы имеем три взаимно коммутирующих оператора, которые могут быть одновременно приведены к диагональному виду:

ˆ2	,	ˆ	ˆ
l		lz ,	H1.

16.3. СВЕДЕНИЕ К ЗАДАЧЕ О РАДИАЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ

459

Далее нам удобно перейти к сферическим координатам, потому что в них повороты влияют только на углы θ и ϕ, оставляя радиальную коор-

ˆ

динату r неизменной и позволяя разделить переменные. Гамильтониан H1 в координатном представлении имеет вид

ˆ	= −	¯h2
H1		2μ + U (|r|).

Лапласиан в произвольных криволинейных координатах имеет вид

	|		|
=	1				∂		|g| g		ab ∂	,
				ab

где gab — обратный метрический тензор (метрический тензор удобно выражается через элемент длины dl):

	gabgbc = δca =	1, a = c
b		0, a =c	,	dl2 = ab	gab dxa dxb,

а |g|d3x — инвариантный элемент объема,¨ который выражается через определитель метрического тензора:

g = det(gab).

Метрический тензор для сферических координат мы уже вводили ранее (15.5). Лапласиан в сферических координатах удобно записывается че-

ˆ2

рез оператор l :

=

1 ∂

2 ∂

1

$

1 ∂2

+

1 ∂

sin θ

∂

%.

r

+

r2

∂r

∂r

r2

sin2 θ

∂ϕ2

sin θ

∂θ

∂θ

θϕ −

ˆ2

= l

В гамильтониане из кинетической энергии выделяется центробежный член,

полностью аналогичный классическому

L2

:

2μr2

¯h

2

1

∂

∂

2

ˆ2

ˆ

= −

2

+

¯h

l

+ U (r).

H1

2μ

r2

∂r

r

∂r

2μr2

центробеж. энерг.

460		ГЛАВА 16
			ˆ2	ˆ	. По-
Мы ищем общие собственные функции для операторов l				и H1
ˆ2	действует только на угловые переменные, будем искать волновую
скольку l
функцию в виде
	ψ1(r) = ψ1(r, θ, ϕ) = R(r) · Yl(θ, ϕ),
		ˆ2	:
где Yl — собственная функция оператора l
	ˆ2	Yl = l(l + 1)Yl.
	l

ˆ

Будет ли Yl также собственной функцией оператора lz нам пока (пока не нарушается сферическая симметрия) совершенно не важно, но желающие могут заменить Yl на Ylm, потребовав

ˆ	ˆ2	Ylm = l(l + 1)Ylm.
lz Ylm = mYlm,	l

Тут важно только число линейно независимых функций Yl при фиксированном l. В качестве таких линейно независимых функций могут быть выбраны, например Ylm, которых имеется (поскольку m = l, l − 1, . . . , 0, . . . , −l) 2l + 1 штука.

Из стационарного уравнения Шредингера¨ сокращаем Yl, получаем

ˆ

(RYl) = E1

(RYl)

H1

2 1

1

ψ

ψ

$−

¯h2 1 ∂

2 ∂

+

¯h l(l + 1)

+ U (r)%R(r) = E1R(r).

(16.4)

2μ

r

r2

∂r

∂r

2μr2

ˆ

Выражение в квадратных скобках отличается от гамильтониана H1 только

ˆ2

тем, что оператор l заменился на собственное число l(l + 1).

(ф) Мы видим, что происходящий от угловой части кинетической энер-

			2		ˆ2
гии член				¯h	l	теперь переписался как функция от радиальной координаты
					2
	¯h2 l(l+1)			2μr
			и может трактоваться как центробежная потенциальная энергия.
	2mr2

То же самое мы имели и в классике, при рассмотрении задачи движения частицы в центральном потенциале.

(ф)	Оператор радиальной кинетической энергии −	¯h2 1 ∂					2 ∂		отли-
		2μ				r
			r2		∂r			∂r

чается от обычной кинетической энергии при одномерном движении. Это связано с тем, что волна, распространяющаяся по r, — это не плоская волна, а сферическая. Решение обычного одномерного уравнения Шредингера¨

16.3. СВЕДЕНИЕ К ЗАДАЧЕ О РАДИАЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ

461

при нулевом потенциале дает¨ плоскую волну, амплитуда которой постоянна, а решение радиального уравнения Шредингера¨ должно давать сферическую волну, квадрат амплитуды которой (плотность вероятности) спадает как r12 , а амплитуда как 1r .

Попробуем ввести другую параметризацию волновой функции:

R(r) =	1	φ(r),	ψ1(r, θ, ϕ) =	1	φ(r) Yl(θ, ϕ).
	r			r

Вероятность dP попадания в заданные интервалы dr, dθ, dϕ:

dP = |ψ1|2 d3r = |R(r)Yl(θ, ϕ)|2 r2						sin θ dr dθ dϕ =
= φ(r)Yl(θ, ϕ)			sin θ
						элемент объема¨
|	|	2		dr dθ dϕ.

При переписывании dP через φ(r) исчезает вес r2, и интегрирование по r идет¨ точно так же как по обычной декартовой координате, если движение ограничено положительной полуосью.

Теперь действие радиальной части лапласиана упрощается:

1 ∂

2 ∂ φ(r)

1 ∂

2

φ

φ

1 ∂

φ

r

=

r

−

=

(rφ − φ) =

.

r2

∂r

∂r

r

r2

∂r

r

r2

r2

∂r

r

Подставляя R =

φ в уравнение (16.4) и сокращая во всех членах общий

r

множитель

1 , получаем уравнение, которое выглядит в точности как обыч-

r

ное стационарное одномерное уравнение Шредингера¨ для волновой функции φ:

¯h2 ∂2

¯h2 l(l + 1)

$−2μ

+

+ U (r)%φ(r) = E1φ(r).

(16.5)

∂r2

2μr2

r

ˆ

ˆ

H

(ф) Эффективный одномерный гамильтониан Hr содержит совершен-

ˆ

¯h2 ∂2

но обычный одномерный оператор кинетической энергии K =

−2μ

,

∂r2

а потенциальная энергия

состоит

из

собственно

потенциальной энер-

2

+1)

2

гии U (r) и центробежной энергии

¯h l(l

=

L 2

. Мы переписали чис-

2

2μr

2μr

;

литель как среднее значение оператора квадрата размерного момента импульса, чтобы продемонстрировать, что центробежная энергия с точностью до шляпок совпадает с классическим случаем.

462

ГЛАВА 16

Получившаяся одномерная задача отличается от стандартной тем, что координата r определена на положительной полуоси 0 r < ∞, причем¨ из непрерывности R = φr следует граничное условие на φ, которое можно трактовать как наличие в нуле бесконечновысокой стенки

φ(0) = 0. (16.6)

16.3.1. Асимптотика r → 0

Исследуем асимптотику радиального уравнения Шредингера¨ (16.5)

при r → 0:
	¯h2		¯h2 l(l + 1)
−	2μ φ (r) +	$		+ U (r) − E1%φ(r) = 0, φ(0) = 0. (16.7)
			2μr2

Главный член при r → 0 в квадратных скобках зависит от того, как ведет¨ себя при в этом пределе потенциальная энергия U (r).

Предположим, что при r → 0 потенциал U (r) ограничен, либо растет¨ не слишком быстро:

		r	2	r→0
				U (r) −−−→ 0.
Тогда при малых r получаем
	¯h2	¯h2 l(l + 1)
−	2μ φ (r) +			φ(r) 0,	r → 0,	φ(0) = 0,
		2μr2
	r2 φ (r) = l(l + 1) φ(r),				φ(0) = 0.

Линейное однородное уравнение второго порядка имеет два линейно независимых решения, которые легко подбираются в виде степенных функций от r:

rl+1, 1 . rl

Граничному условию φ(0) = 0 удовлетворяет только первое решение, так что для не слишком быстро растущего в нуле потенциала получаем асимптотику

φ(r) rl+1, r → 0 ψ1(r, θ, ϕ) rl Yl(θ, ϕ), r → 0. (16.8)

Если потенциал содержит член, пропорциональный r12 , то его надо будет учитывать наравне с центробежным потенциалом и в результате асимптотика (16.8) собьется:¨ изменится степень и вместо rl получится rl , где l — некоторый «эффективный момент» (как правило, дробный).