Как понимать квантовую механику

15.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРАЩЕНИЙ

423

ˆ

ничной угловой скоростью. Экспоненты от операторов lα будут как раз

соответствовать движению вдоль этих векторных полей ilα.

При вращении вокруг координатных осей расстояние от точки до на-

чала координат не меняется, поэтому может быть удобно выписать поля lα

ˆ

и операторы lα в сферических координатах. Следует ожидать, что в сферических координатах орбитальные моменты могут быть выражены с использованием только угловых координат, без использования координаты r.

Сферические координаты — это расстояние до начала координат r, широта θ (отсчитывается не от плоскости экватора, как в географии, а от оси z), долгота ϕ (отсчитывается от плоскости xz, направление отсчета¨ связано с направлением оси z правым винтом):

x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ.

Базисные векторы в сферических координатах можно легко представить, определив как смещается точка при бесконечномалом изменении соответствующей координаты. Вектор смещения при изменении координаты xa на величину dxa будет равен ea · dxa (индексы подч¨еркнуты, чтобы показать, что суммы по повторяющемуся индексу a в данной формуле нет).

er = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ),	|er|2 = 1,
eθ = (r cos θ cos ϕ, r cos θ sin ϕ, −r sin θ),	|eθ |2	= r2	,
eϕ = (−r sin θ sin ϕ, r sin θ cos ϕ, 0),	|eϕ|2	= r2	sin2 θ.

Матрица скалярных произведений векторов ea дает¨ метрический тензор, однако его проще определить через элемент длины, выраженный в новых координатах:

gab =

1

0

0

. (15.5)

dl2 = dr2 + r2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2)

0 r2

0

2

0

0

r2 sin

θ

Компоненты полей lα по векторам

нового

базиса

определяются

как

(lα ,ea )

:

e2

a

ˆ

= −i (− sin ϕ ∂θ − ctg θ cos ϕ ∂ϕ),

lx

ˆ

= −i (cos ϕ ∂θ − ctg θ sin ϕ ∂ϕ),

ly

ˆ

= −i ∂ϕ.

lz

424

ГЛАВА 15

ˆ

Как и следовало ожидать, ¯hlz имеет стандартный вид импульса (генератора сдвига) по координате ϕ (долготе).

ˆ2

Оператор l в сферических координатах с точностью до знака совпадает с оператором Бельтрами – Лапласа (обобщением лапласиана) на единичной сфере:

2	= − $	1 ∂2				1 ∂				∂	% = −θϕ.
ˆl					+				sin θ
		sin2 θ		∂ϕ2		sin θ		∂θ		∂θ

15.2.2. Спектр оператора ˆz j

Различные проекции момента импульса не коммутируют друг с другом, поэтому в набор одновременно измеримых величин мы можем включить только одну из них и суммарный квадрат момента импульса (оператор Казимира алгебры моментов). Традиционно из всех проекций момента импульса принято выбирать проекцию на ось z. Однако все выводы останутся справедливыми и при замене оси z на любое другое направление.

ˆ

Пусть m — собственное число оператора jz

ˆ

jz ψm = mψm.

Под действием оператора поворота на угол 2π собственная функция ψm либо переходит в себя, либо меняет знак (15.1.2 «Квантовые вращения**»):

ˆ

ei2πjz ψm = ei2πmψm = ±ψm.

Таким образом, m должно быть целым, или полуцелым

m Z, или m + 12 Z.

Причем¨ собственные функции для целых и полуцелых m удобнее отнести к разным пространствам, т. к. иначе их линейная комбинация при повороте

на 2π не умножалась бы на фиксированный множитель ±1.		ˆ
	ˆ
Для орбитального момента в роли jz выступает оператор lz . Экспонен-
та от него задает¨ сдвиг по углу ϕ (поворот):
	ˆ
eiαlz ψ(r, θ, ϕ) = ψ(r, θ, ϕ + α).
С учетом¨ 2π-периодических условий по ϕ мы должны выбрать
m Z,	ψm(r, θ, ϕ) = Cm(r, θ) eimϕ.

15.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРАЩЕНИЙ

425

ˆ
15.2.3. Операторы j±
Для дальнейшего исследования моментов импульса полезно ввести
операторы			ˆ†
ˆ	ˆ	ˆ
j± = jx ± ijy = j .
Для орбитальных моментов получаем
ˆl± = ˆlx ± ilˆy = e±iϕ (±∂θ + i ctg θ ∂ϕ).
ˆ			ˆ	ˆ
Через операторы j± удобно выражать jx				и jy , так же, как через лест-

† ˆ ˆ

ничные операторы aˆ, aˆ удобно выражать P , Q для гармонического осциллятора (12.7). Для векторного оператора компоненты +, − и z часто оказываются более удобными, чем x, y и z.

Подобно тому, как оператор номера уровня для гармонического осцил-

лятора удобно выразить через aˆ и aˆ†, оператор ˆj2 удобно выразить через ˆj
ˆ						±
и jz :
ˆ ˆ	ˆ2	ˆ2	ˆ ˆ	ˆ2	ˆ2	ˆ
j−j+ = jx		+ jy	+ i[jx, jy ] = jx		+ jy	− jz ,
ˆ ˆ	ˆ2	ˆ2	ˆ ˆ	ˆ2	ˆ2	ˆ
j+j− = jx		+ jy	− i[jx, jy ] = jx		+ jy	+ jz .

Отсюда легко видеть, что		ˆ		ˆ	ˆ
								(15.6)
ˆ2		[j+, j−] = 2jz ,
	ˆ ˆ	ˆ2		ˆ	ˆ ˆ	ˆ2	ˆ	(15.7)
j	= j−j+ + jz			+ jz = j+j− + jz			− jz .
Используя коммутационные соотношения (15.3) и (15.4), получаем
		ˆ		ˆ	ˆ			(15.8)
		[jz	, j±] = ±j±,
		ˆ2		ˆ				(15.9)
		[j	, j±] = 0.

Подобно тому, как операторы aˆ и aˆ† уменьшают и увеличивают чис-

ˆ

ла заполнения для гармонического осциллятора (12.13), j± увеличивают

ˆ

и уменьшают значение проекции jz :

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ± ˆ ± ˆ

jz (j±ψm) = (j±jz + [jz , j±])ψm = (j± m j±)ψm = (m 1)(j±ψm).

(15.10)

Как и для гармонического осциллятора (12.13), мы можем сделать вывод,

ˆ

что выражение j±ψm либо обращается в нуль, либо оказывается собственным вектором, отвечающим собственному числу (m ± 1).

426

ГЛАВА 15

15.2.4. Собственные векторы операторов ˆz, ˆ2 j j

ˆ

Ранее мы обсуждали спектр собственных состояний оператора jz

ˆ

(15.2.2 «Спектр оператора jz »), не накладывая на состояния каких-либо дополнительных ограничений. Теперь мы потребуем, чтобы рассматри-

ˆ2

ваемые состояния были одновременно собственными для оператора j ,

ˆ

коммутирующего с jz :

	ˆ				ˆ2	ψλm = λ ψλm.
	jz ψλm = m ψλm,				j
ˆ2	ˆ2	ˆ2	ˆ2			2	. Таким
Поскольку j	= jx	+ jy	+ jz	, мы сразу заключаем, что λ > |m|

образом, спектр разрешенных¨ значений m при фиксированном λ ограничен сверху и снизу.

Пусть j — максимальное значение m при данном λ, тогда (см. (15.10),

(15.7))
ˆ	ψλj = j ψλj ,
jz
ˆ
j+ψλj = 0,
ˆ2	ˆ ˆ	ˆ2	ˆ	2	+ j)ψλj = λ ψλj .
j	ψλj = (j−j+ + jz		+ jz )ψλj = (0 + j

Таким образом, λ = j(j + 1). Аналогично, проверяется, что минимальное разрешенное¨ значение m — это −j:

ˆ	ψλ−j = −j ψλ−j ,
jz
ˆ
j−ψλ−j = 0,
ˆ2	ˆ ˆ	ˆ2	ˆ	2	− (−j))ψλ−j = λ ψλ−j .
j	ψλj = (j+j− + jz		− jz )ψλj = (0 + j

Поскольку j — неотрицательное целое или полуцелое число, то для нумерации состояний удобнее использовать не λ = j(j + 1), а само j. Ортонормированные состояния с определенными¨ значениями m и j принято обозначать как |j, m :

ˆ	|j, m = m|j, m ,
jz
ˆ2	|j, m = j(j + 1)|j, m ,
j

j1, m1|j2, m2 = δj1j2 δm1m2 ,

2j N {0}, m {−j, −j + 1, . . . , +j}.

Уравнение (15.10) дает¨

ˆ | | ± j± j, m = C± j, m 1 .

15.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРАЩЕНИЙ

427

Для определения коэффициентов C± воспользуемся соотношениями (15.7):

ˆ | | j+ j, m = C+ j, m + 1 ,

|ˆ | j, m j− = j, m + 1 C+ ,

|ˆ ˆ | | | | |2 j, m j−j+ j, m = j, m + 1 C+ C+ j, m + 1 = C+ ,

ˆ ˆ	ˆ2		ˆ2		ˆ
j, m| j−j+|j, m =	j, m| j	− jz			− jz |j, m = j(j + 1) − m(m + 1).
Мы определили, что |C+| =				j(j + 1) − m(m + 1)		, но фазу этого ко-
эффициента вычислить	невозможно, т. к. условия нормировки позволяют

умножать разные базисные состояния на разные фазовые множители, при этом будет меняться фаза и у C+. Раньше подобные рассуждения мы использовали для введения формулы (12.22) для гармонического осциллятора.

Не имея возможности вычислить фазовые множители для C+, мы имеем возможность выбрать их по своему произволу. Мы выберем все C+ вещественными неотрицательными числами. Это зафиксирует большую часть произвола, теперь мы можем умножать наши векторы только на одинаковые фазовые множители, C+ теперь — фиксированные числа.

Определив фазу у множителей C+,j,m мы тем самым определили фазу

и у множителей C−,j,m:
ˆ
j+|j, m = C+,j,m|j, m + 1 ,
		ˆ
j, m + 1|j+|j, m = C+,j,m,
	j, m + 1	ˆj	j, m	= C	,
		| +|		+,j,m

|ˆ | |ˆ |

j, m + 1 j+ j, m = j, m j− j, m + 1 = C−,j,m+1,

C−,j,m+1 = C+,j,m.

Таким образом, все коэффициенты C± оказываются вещественными неотрицательными:

ˆ

= j(j + 1) − m(m + 1) |j, m + 1 =

j+ j, m

|

=

(j m)(j + m + 1) j, m + 1

,

ˆj

=

−

|

1

=

j, m

j(j + 1)

−

m(m

−

1)

j, m

−

−|

|

=(j + m)(j − m + 1) |j, m − 1 .

Как и для лестничных операторов гармонического осциллятора, множители обращаются в нуль при попытке вывести собственное число m из разрешенного¨ диапазона.

	428				ГЛАВА 15
					ˆ
	Матричные элементы операторов j± для базисных векторов имеют вид
	j , m |ˆj+|j, m =					δjj δm,m −1
				(j − m)(j + m + 1)
		ˆ
			(j − m)(j + m + 1) δjj δm,m −1.
		| −|j , m
		j, m j	=

Это позволяет представить операторы при фиксированном значении j в виде матриц (2j + 1) × (2j + 1):

		0		(2j)1					0			0 . . .												0
		0			0			(2j			1)2 0 . . .													0
ˆj+ =		0			0				0−										. . .					...		,
															(2j		2)3
	. .								.						.−		.
									.			.									..
	. .																							1(2j)
	. .								.			.
		0			0				0			0 . . .												0
				0			0					0					. . .							0
							0					0												0
				(2j)1													. . .
−
ˆj =				0			(2j			1)2		0					. . .							0	.
				0				0−						(2j		2)3 . . .								0
							.								.−						.			.
	.
												..
	..						..															..		..
				0			0					. . .								1(2j) 0

Столбцы и строки нумеруются здесь целыми числами, начиная с +j до −j в порядке убывания.

		ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ
			j++j−			j+−j−
Отсюда находятся также матрицы jx =					и jy =			.
				2			2i
ˆ	ˆ2	, поскольку мы взяли их собственные векторы в каче-
Матрицы jz и j

стве базиса, оказываются диагональными, причем¨ матрица квадрата момента (оператора Казимира) оказывается пропорциональной единичной матри-

ˆ2	ˆ	ˆ
це j	= j(j + 1)E. jz , при выбранной нумерации строк и столбцов, имеет
вид:					0		0	.
		ˆjz =		j		. . .
				0.	j −.	1 . . .	0.
					..	... ..
			..

00 . . . −j

(*)Мы описали неприводимое (2j + 1)-мерное представление группы вращений. Если j целое, то это представление групп SO(3) и SU(2) одновременно, а если j полуцелое, то это представление относится только

кгруппе SU(2).

	15.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРАЩЕНИЙ	429
15.2.5. Орбитальные и спиновые моменты
Введенные¨		ˆ
	выше операторы орбитального момента одной частицы laα

(a — номер частицы) действуют только на координаты этой частицы. В част-

ˆ

ности, операторы поворота eiαlan поворачивают вокруг начала координат только эту частицу, оставляя другие частицы на месте. Если мы хотим повернуть все частицы, то необходимо каждую из них повернуть на один и тот же угол. Поскольку орбитальные моменты разных частиц действуют на разные координаты, то они коммутируют друг с другом и мы можем

ˆ

определить суммарный орбитальный момент Lα (генератор одновременного поворота координат всех частиц) как сумму орбитальных моментов отдельных частиц

	N
eiαlˆ1n eiαlˆ2n . . . eiαlˆN n = eiα a ˆlan = eiα Lˆn ,		ˆlan.
	Lˆn =
	a=1

Очевидно, что, т. к. моменты разных частиц коммутируют между собой, для суммарного орбитального момента справедливы те же коммутационные соотношения (15.3), что и для орбитальных моментов отдельных час-

ˆ ˆ ˆ

тиц [Lα, Lβ ] = i eαβγ Lγ .

Обратите внимание, что мы пишем суммарный орбитальный момент, а не суммарный момент импульса. Это связано с тем, что помимо орбитального момента частиц, связанного с движением частиц как целого, существует еще¨ спиновый (внутренний) момент импульса sˆα — спин. Классическим аналогом спина был бы момент импульса, связанный с вращением частицы вокруг своей оси, однако для элементарных частиц такая наивная интерпретация не работает, т. к. скорости вращения должны были бы быть слишком велики (больше скорости света), а кроме того, спин имеется у частиц, для которых не наблюдается никаких признаков внутренней структуры.

Спин принято считать некоторым внутренним невыводимым свойством частиц. Для частиц определенного¨ сорта величина квадрата спина sˆ2 = sˆ2x + sˆ2y + sˆ2z определена и равна s(s + 1), где s — целое или полуцелое неотрицательное число. Для описания спина волновая функция кроме обычных переменных, описывающих движение каждой частицы как целого, имеет также дискретные спиновые переменные, которые пробегают значения от −s до +s с шагом 1.

Подобно тому, как операторы орбитального момента действуют только на координаты частиц, операторы спина действуют только на спиновые переменные. Поскольку спиновые переменные дискретны, спиновые операторы представляют собой матрицы. Спиновые операторы для частицы со спином s — матрицы (2s + 1) × (2s + 1).

430

ГЛАВА 15

15.2.6. Коммутаторы моментов импульса

Для того, чтобы определить, как коммутируют операторы момента импульса с каким-либо оператором, нам надо определить, как ведет¨ себя этот оператор при вращениях (11.2):

ˆ

dAповерн¨.

dα

α=0

	d		ˆ	ˆ
			iαj	iαj
=	dα	e	μ Aeˆ −		μ	α=0

ˆˆ

=i[jμ, A].

Так что если мы знаем как оператор ведет¨ себя при вращениях, то мы знаем как он коммутирует с моментами импульса. Формулу мы записали для вращения оператора «вместе» с состоянием (для вращения «вместо» достаточно поменять знаки в показателях экспонент, см. 11.2 «Преобразования операторов “вместе” и “вместо”»).

Скаляры

Сразу можно сделать вывод, что любой скалярный оператор (оператор,

ˆ

не меняющийся при поворотах) коммутирует со всеми компонентами jμ:

ˆ	ˆ		ˆ
[jμ, A] = 0			A — скаляр.

ˆ2

В частности скаляром оказывается оператор Казимира j .

Векторы

Для того, чтобы записать преобразование вектора при вращении, нам нет необходимости знать, что это за вектор. Само слово «вектор» подразумевает вполне определенные¨ трансформационные свойства. (Так что сейчас самое сложное — не запутаться в знаках, определяя что относительно чего вращается.) Нам достаточно записать бесконечномалый поворот вокруг eλ на угол α:

ˆ	ˆ	ˆ	2	).
Aμ → Aμ − α eλμν Aν + O(α

Мы рассматриваем поворот «вместе», так что он осуществляется в противоположном направлении, по сравнению с тем, как поворачиваются аргументы волновой функции в разделе 15.1.1 «Генераторы вращений (л)»2

		ˆ
ˆ	ˆ	dAμ	ˆ
i[jλ, Aμ] =		dα	= −eλμν Aν .

2Для проверки знака, с учетом¨ того, что все векторы вращаются одинаково, можно, напри-

мер, проверить коммутатор [ˆx ˆ

1, l2] = ixˆ3.

15.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРАЩЕНИЙ

431

Таким образом, компонента произвольного векторного оператора коммутирует с компонентой момента импульса по следующему закону:

ˆ	ˆ	ˆ ˆ	ˆ	(15.11)
[jλ, Aμ] = [Aλ, jμ] = i eλμν Aν .

Эта формула обобщает коммутационное соотношение (15.3), которое вос-

ˆ

производится, если подставить вместо Aλ компоненту момента импуль-

ˆλ. Это означает, что компоненты момента импульса, как и в классиса j

ческой механике, образуют вектор.

Из формулы (15.11) следуют такие полезные коммутаторы:

			ˆ	ˆ		ˆ		ˆ	ˆ	(15.12)
			[Az , j±] = [jz , A±] = ±A±,
			ˆ	ˆ			ˆ	ˆ	ˆ	(15.13)
			[A+, j−] = [j+, A−] = 2Az .
								ˆ	ˆ	ˆ
Обратите внимание, что коммутатор [jz , A±] = ±A± (15.12) означает,
					ˆ		проекция момента импульса на ось z
что под действием оператора A						±
										ˆ
изменяется на ±1 (сравни с (15.10)), так же как под действием j±. Однако
ˆ	ˆ2	] = i eλμν			ˆ		ˆ	ˆ	ˆ
[Aλ, j					(jμAν + Aν jμ),
ˆ	ˆ2		] =	ˆ	ˆ			ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ
[A±, j				±(Az j±			+ j±Az − A±jz − jz A±).
ˆ				ˆ2	, то они не только сдвигают m на ±1, но
Если A± не коммутируют с j

также «портят» квантовое число j. Также могут «портится» другие квантовые числа, например состояния с определенным¨ орбитальным моментом

ˆ2	ˆ			ˆ			меняют только
(заданы собственные числа для l	и l	z	) под действием l		±
			ˆ2						изменит-
угловую зависимость при фиксированном l				, а под действием xˆ				±
ˆ									ˆ2	,
ся не только lz , но также состояние перестанет быть собственным для l
и изменится зависимость волновой функции от радиальной переменной.
				ˆ		мы можем брать
Вместо операторов суммарного момента импульса jα

операторы момента импульса подсистемы при условии, что данный вектор

ˆ

вращается при поворотах этой подсистемы, т. е. что операторы Aα действуют на переменные, описывающие данную подсистему, и только на них, на-

пример орбитальный момент поворачивает импульс и мы имеем [pˆα ˆβ

, l ] =

ˆα, pˆβ ] = ieαβγ pˆγ . Если же оператор действует на переменные другой

= [l

подсистемы, то он коммутирует с моментом импульса данной подсистемы, например спин не поворачивает орбитальный момент и координаты

ˆ

[ˆsα, lβ ] = [ˆsα, xˆβ ] = 0.

432 ГЛАВА 15

15.2.7. Лестничные операторы для осциллятора aˆ± и момента

импульса ˆ±** j

Очевидно сходство между лестничными операторами для осциллято-

± ˆ

ра aˆ и операторами j± для момента импульса. Это сходство не случайно, и мы можем построить операторы момента импульса из осцилляторных операторов.

Рис. 15.1. Связь чисел заполнения n1 и n2 с j и m.

Введем¨ гильбертово пространство H как тензорное произведение двух пространств H1 и H2, на которых действуют два комплекта осцилляторных операторов

H = H1 H2,

± ± ˆ

aˆ1 = aˆ 1,

± ˆ ±

aˆ2 = 1 aˆ ,

ˆ ˆ ˆ † ˆ N1 = N 1 = aˆ aˆ 1,

ˆ ˆ ˆ ˆ † N2 = 1 N = 1 aˆ aˆ.

Базис в пространстве H естественно нумеровать двумя числами заполнения:

|n1 |n2 , n1, n2 {0, 1, 2, 3, . . . }.