- •Министерство образования и науки рф Пермский государственный технический университет
- •Теория автоматического управления
- •Часть 1
- •Содержание
- •1. Основные понятия и определения теории автоматического управления.
- •1.1. Историческая справка
- •1.2. Взаимосвязь тау с другими техническими науками
- •1.3. Основные понятия и определения тау
- •Тау – теория автоматического управления.
- •2. Математическое описание систем автоматического управления.
- •2.1. Основные характеристики объекта управления.
- •Примеры объектов управления
- •2.2. Типовая функциональная схема системы автоматического управления.
- •2.3. Классификация систем автоматического управления.
- •2.3.1. Классификация по характеру динамических процессов в системе
- •1. Непрерывность.
- •2. Линейность.
- •2.3.2. Классификация по характеристикам управления
- •1. По принципу управления.
- •2. По управляющему воздействию (задающее воздействие).
- •3. Свойства в установившемся режиме.
- •2.3.3. Классификация сау по другим признакам
- •2.4. Основные (типовые) управляющие воздействия сау
- •Ступенчатому воздействию соответствует функция
- •2.5. Временные характеристики сау
- •2.6. Частотные динамические характеристики
- •2.7. Типовые динамические звенья
- •2.7.1. Безынерционное звено
- •2.7.2 Апериодическое звено
- •Шаблон поправки
- •Порядок построения лачх апериодического звена
- •Примеры апериодических звеньев
- •2.7.3. Колебательное звено
- •2.7.4. Идеальное интегрирующее звено
- •2.7.5. Реальное интегрирующее звено
- •2.7.5. Изодромное интегрирующее звено
- •2.7.6. Идеальное дифференцирующее звено
- •2.7.7. Реальное дифференцирующее звено
- •2.7.8. Звено чистого запаздывания
- •2.8. Структурные схемы сау
- •Типовые элементы структурных схем сау
- •2.8.1. Многоконтурные структурные схемы
- •2.8.2. Правила структурных преобразований
- •2.8.3. Изображение структурных схем в виде графов
- •3. Устойчивость систем автоматического управления,
- •3.1. Понятие устойчивости по Ляпунову.
- •3.2. Алгебраические критерии устойчивости.
- •3.2.1. Критерий Гурвица Автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением
- •3.2.2. Критерий Рауса
- •3.3. Частотные критерии устойчивости
- •3.3.1. Принцип аргумента
- •3.3.2. Критерий Михайлова Рассмотрим характеристическое уравнение системы
- •Алгоритм применения критерия Михайлова.
- •Формулировка критерия Михайлова.
- •3.3.3 Критерий Найквиста
- •Алгоритм использования критерия Найквиста
- •3 .4. Сравнительный анализ критериев устойчивости
- •3.5. Запас устойчивости Запас устойчивости по алгебраическому критерию Гурвица
- •Запас устойчивости при частотных критериях устойчивости
- •3.5.1. Устойчивость систем со звеном чистого запаздывания
- •3.6. Структурно устойчивые и структурно неустойчивые системы
- •3.7. Влияние параметров на устойчивость системы. D-разбиение по одному параметру
- •4. Анализ качества сау.
- •4.1. Основные показатели качества сау
- •4.2. Прямые методы оценки качества
- •4.2.3.2. Определение показателей качества по типовым характеристикам
- •4.2.4. Моделирование с использованием вычислительных средств
- •4.3. Косвенные методы оценки качества сау.
- •4.3.1. Частотный косвенный метод оценки качества.
- •4.3.1.1. Построение вещественной частотной характеристики с использованием лачх разомкнутой системы и номограммы.
- •Алгоритм построения вчх по номограмме
- •4.3.2. Корневые методы оценки показателей качества
- •4.3.2.1. Влияние полюсов передаточной функции на качество переходных процессов
- •4.3.2.2. Связь степени устойчивости с быстродействием системы
- •4.3.3.3 Связь колебательности с перерегулированием
- •Смещенные уравнения
- •4.3.4. Влияние нулей передаточной функции на качество переходного процесса
- •4.3.5. Диаграмма Вышнеградского
- •4.4. Интегральный метод оценки показателей качества
- •4.4.1. Линейная интегральная оценка
- •4.4.1.1. Метод Кулебакина
- •4.4.2. Апериодическая интегральная оценка
- •5. Синтез линейных сау.
- •5.1. Особенности синтеза
- •5.2. Этапы синтеза сау
- •5.2.1. Желаемая лачх
- •5.2.1.1. Построение желаемой лачх
- •5.3. Синтез последовательных корректирующих устройств
- •5.4.4. Охват апериодического звена гибкой положительной обратной связью (гжос)
- •5.5. Статические и астатические системы автоматического управления.
- •5.5.1. Передаточная функция типовой одноконтурной системы
- •5.5.2. Ошибки статических и астатических систем при типовых задающих воздействиях
- •5.5.3. Ошибка при возмущающем воздействии, не равном нулю
- •5.6. Чувствительность параметров
- •5 .7. Типовые законы регулирования линейных систем
- •Литература
2.8.3. Изображение структурных схем в виде графов
Информация о структуре системы и передаточных свойствах ее элементов может быть задана не только в виде обычной алгоритмической схемы, но и в виде сигнального графа.
Сигнальный граф системы управления представляет собой ориентированный граф – совокупность дуг, изображающих отдельные звенья и указывающих направление передачи сигнала, и вершин, соответствующих входным и выходным сигналам звеньев. Отдельному звену алгоритмической схемы, изображаемому прямоугольником, на сигнальном графе системы соответствует стрелка, соединяющая вершины х и у (см. рис. а). Около стрелки указывается передаточная функция звена. Соответствие между изображениями типовых соединений двух элементов на алгоритмических схемах и сигнальных графах показано на рис. б-г. Если к вершине подходят несколько дуг, то соответствующий ей сигнал равен сумме всех выходных сигналов этих дуг. Если из вершины исходят несколько дуг, то входные сигналы всех дуг одинаковы и равны сигналу данной вершины.
Г раф системы управления строят по ее алгоритмической схеме, заменяя каждое звено (прямоугольник) дугой, а каждый сумматор (кружок) – вершиной (кружком меньшего диаметра). При этом узлы разветвления сигналов, используемые на алгоритмических схемах, на графах оказываются совмещенными с вершинами.
3. Устойчивость систем автоматического управления,
Устойчивость автоматической системы – это свойство системы возвращаться в исходное состояние равновесия после прекращения воздействия, выведшего систему из этого состояния. Неустойчивая система не возвращается в исходное состояние, а непрерывно удаляется от него.
Здесь, в рисунке а), А0 – невозмущенное состояние, А2 – возмущенное состояние; на рисунке б) изображено неустойчивое состояние системы, а на рисунке в) – ее нейтральное состояние. По аналогии с состояниями можно ввести понятие возмущенного и невозмущенного движения.
Пусть дана САУ, которая характеризуется переменными . Движение системы при заданном режиме определяетсяxi(t).Это движение называется невозмущенное.
Допустим, что на систему воздействуют внешние силы, которые приводят к отклонению движения от невозмущенного.
,
где xi0(t) – движение, вызванное внешними возмущениями.
Если после снятия внешнего воздействия, спустя некоторое время, система вернется в некоторую область вокруг невозмущенного движения, то данное невозмущенное движение называется устойчивым.
3.1. Понятие устойчивости по Ляпунову.
Пусть САУ описывается с помощью системы уравнений при заданных начальных условиях:
Решением данного уравнения является как функция начальных значений (уравнение невозмущенного движения). Здесьxi0 – установившееся движение.
К системе приложено внешнее воздействие, которое привело к отклонению движения от установившегося
.
Для данных отклонений можно записать систему уравнений:
Уравнение - является уравнением возмущенного движения.
Невозмущенное движение () называетсяустойчивым по отношению к переменным xi, если для любого положительного числа А2, как бы мало оно ни было, найдется другое положительное число 2, которое удовлетворяет условию для всех возмущений:
,
а возмущенное движение удовлетворяет условию
,
где i – весовые коэффициенты.
Движение будет устойчивым, если при небольших изменениях начальных условий, вызванных внешними воздействиями, невозмущенное движение будет отличаться от возмущенного движения мало.
Данное определение справедливо как для линейных, так и для нелинейных систем.
Свободное движение линейной или линеаризованной системы описывается однородным дифференциальным уравнением
где - свободная составляющая выходной величины системы.
Система является устойчивой, если свободная составляющая xc(t) переходного процесса с течением времени стремится к нулю, т.е. если
.
Такая устойчивость называется асимптотической.
Если свободная составляющая неограниченно возрастает, т.е. если
,
то система неустойчива.
Наконец, если свободная составляющая не стремится ни к нулю, ни к бесконечности, то система находится на границе устойчивости.
Найдем общее условие, при котором система, описываемая уравнением (*), устойчива. Решение уравнения (*) равно сумме
где Ck – постоянные, зависящие от начальных условий; pk – корни характеристического уравнения
.
Корни данного уравнения могут быть действительными (pk=k), мнимыми (pk=jk) и комплексными (pk=k± jk).
Переходная составляющая (**) при t стремится к нулю лишь в том случае, если каждое слагаемое вида . Характер этой функции времени зависит от вида корняpk. Рассмотрим все возможные случаи расположения корней pk на комплексной плоскости (см. рис.) и соответствующие им функции xk(t), которые показаны внутри кругов (как на экране осциллографа).
1 . Каждому действительному корнюpk=k в решении (**) соответствует слагаемое вида
Если k<0 (кореньр1), то функция (***) приtстремится к нулю. Еслиk>0 (кореньр3), то функция (***) неограниченно возрастает. Еслиk=0 (кореньр2), то функция (***) остается постоянной.
2. Каждой паре сопряженных комплексных корней pk=k± jk в решении (**) соответствуют два слагаемых, объединенных в одно
Эта функция представляет собой синусоиду с частотой kи амплитудой, изменяющейся во времени по экспоненте. Если действительная часть двух комплексных корнейk<0 (корнир4ир5), то колебательная составляющая (****) будет затухать. Еслиk>0 (корнир8ир9), то амплитуда колебаний будет неограниченно возрастать. Наконец, еслиk=0 (корнир6ир7), т.е. если оба сопряженных корня – мнимые (pk=+ jk, pk+1=- jk), тоxk(t)представляет собой незатухающую синусоиду с частотойk.
Общее условие устойчивости:
Для устойчивости линейной автоматической системы управления необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения системы были отрицательны.
При этом действительные корни рассматриваются как частный случай комплексных корней, у которых мнимая часть равна нулю. Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, то система будет неустойчивой.
Устойчивость системы зависит только от вида корней характеристического уравнения и не зависит от характера внешних воздействий на систему. Устойчивость есть внутренне свойство системы, присущее ей вне зависимости от внешних условий.
Используя геометрическое представление корней на комплексной плоскости (см. рис.) в виде векторов или точек, можно дать вторую формулировку общего условия устойчивости (эквивалентную основной):
Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости. Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости, то система будет неустойчивой.
Мнимая ось j является границей устойчивости в плоскости корней. Если характеристическое уравнение имеет одну пару чисто мнимых корней (pk=+jk, pk+1=-jk), а все остальные корни находятся в левой полуплоскости, то в системе устанавливаются незатухающие гармонические колебания с круговой частотой . В этом случае говорят, что система находится наколебательной границе устойчивости.
Точка =0 на мнимой оси соответствует так называемому нулевому корню. Если уравнение имеет один нулевой корень, то система находится на апериодической границе устойчивости. Если таких корня два, то система неустойчива.