3.3.2. Критерий Михайлова Рассмотрим характеристическое уравнение системы

p=j - придаем чисто мнимое значение.

Для того чтобы система была устойчивой, необходимо, чтобы суммарный угол поворота векторов р-р_i составлял угол _п.

Алгоритм применения критерия Михайлова.

1. Получаем передаточную функцию системы.

2. Составляем характеристическое уравнение системы (это знаменатель передаточной функции).

3. В характеристическом уравнении заменяем р на j.

4. Выделяем действительную и мнимую часть.

Действительная часть характеристического уравнения является функцией четной, а мнимая часть – нечетной. Поэтому достаточно ограничиться построением кривой, соответствующей характеристическому полиному для положительных частот. Тогда кривая, соответствующая отрицательным частотам является зеркальным отражением кривой для положительных частот относительно оси абсцисс.

5. Изменяем частоту и для каждой частоты строим точку на комплексной плоскости, и соответствующий годограф характеристического уравнения.

6. Судим об устойчивости системы по критерию Михайлова.

Если годограф начинается и заканчивается на действительной оси, то система будет устойчивой, в противном случае – наоборот.

Формулировка критерия Михайлова.

Автоматическая система управления, описываемая уравнениями п-го порядка будет устойчивой, если при изменении частоты от 0 до  характеристический вектор системы (годограф Михайлова) повернется против часовой стрелки на угол , не обращаясь при этом в нуль.

Э

то означает, что характеристическая кривая устойчивой системы должна при изменении от 0 до  пройти последовательно через п квадрантов.

На рисунке а) изображен вектор D(j), называемый характеристической кривой или годографом Михайлова. Характеристические кривые, соответствующие устойчивым системам (рисунок б)), имеют плавную спиралеобразную форму и уходят в бесконечность в том квадранте, номер которого равен порядку уравнения. Если характеристическая кривая проходит п квадрантов не последовательно или проходит меньшее число квадрантов, то система неустойчива (рисунок в)).

В практических расчетах удобно применять следствие из критерия Михайлова:

Система устойчива, если действительная и мнимая части характеристической функции D(j) обращаются в нуль поочередно (см. рисунок г)), т.е. если корни уравнений Re()=0 и Im()=0 перемежаются.

Критерий Михайлова удобно применять для анализа устойчивости систем высокого порядка (n>5).

3.3.3 Критерий Найквиста

В отличие от критериев Гурвица, Рауса и Михайлова, которые основаны на анализе характеристического уравнения системы, критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутого контура системы. В этом заключается существенное преимущество критерия, т.к. построение АФХ разомкнутого контура для большинства реальных систем оказывается проще, чем построение годографа Михайлова. Особенно упрощается это построение для одноконтурных систем, состоящих из типовых звеньев.

Имеется САУ:

здесь D_p(j) – частотное характеристическое уравнение разомкнутой системы.

Найквист в своем критерии рассматривает вспомогательную функцию, определяемую по формуле

Примечание: Возьмем абстрактное комплексное число

.

Модуль этого числа будет равен произведению модулей каждого из множителей, а аргумент этого числа – сумме каждого из слагаемых.

Причем

.

Рассмотрим три случая.

1. Система в разомкнутом состоянии устойчива, это значит по Михайлову:

,

где п – порядок разомкнутой системы.

Частотное характеристическое уравнение разомкнутой системы также имеет порядок п, т.к. порядок числителя разомкнутой системы всегда меньше или равен порядку знаменателя разомкнутой системы ().

Если система в замкнутом состоянии тоже устойчива, то угол одинаковый

.

Рассмотрим изменения аргумента  при изменении частоты от 0 до :

Система в замкнутом состоянии будет устойчива, если изменение аргумента функции (j)при изменении частоты от 0 досоставит ноль. Это возможно только в том случае, когда годограф не охватывает точку начала координат.

Критерий Найквиста для первого случая: замкнутая система будет устойчивой, если годограф разомкнутой системы не пересекает отрезок (-;-1], т.е. не охватывает критическую точку (-1;0).

На рисунке а) изображен годограф системы, устойчивой в замкнутом состоянии, а на б) – системы, находящейся на границе устойчивости.

Система находится на границе устойчивости, если годограф, соответствующий амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы хотя бы один раз пересечет точку [-1;0].

2. Разомкнутая система неустойчива.

Замкнутая система устойчива, это значит, что изменение аргумента представляется формулой:

,

где k – количество корней характеристического уравнения разомкнутой системы, находящихся в правой полуплоскости.

Изменение аргумента от 0 до :

.

Изменение частоты от 0 до  составит:

.

При анализе устойчивой системы, при неустойчивой разомкнутой системе будем считать положительным направлением годографа – против часовой стрелки. Отрицательным направлением годографа – по часовой стрелке, или снизу вверх при пересечении действительной оси. Тогда критерий Найквиста звучит так:

если система неустойчива в разомкнутом состоянии и имеет k положительных корней характеристического уравнения, то система в замкнутом состоянии будет устойчива лишь в том случае, если разность между количеством положительных переходов и количеством отрицательных переходов отрезка действительной оси будет равнаk/2, т.е. если годограф разомкнутой системы пересекает отрезок в положительном направлении враз.

3. Разомкнутая система устойчива, замкнутая система неустойчива.

здесь п – количество корней замкнутой системы.

Если система в разомкнутом состоянии устойчива, а в замкнутом состоянии неустойчива, то годограф пересекает отрезок в отрицательном направлении в раз.

Объединяя все три случая, можно дать следующее определение критерию Найквиста:

Система в замкнутом состоянии будет устойчива, если разность между числами положительных и отрицательных переходов годографа разомкнутой системы отрезка действительной оси будет равна , где т – количество корней характеристического уравнения разомкнутой системы, находящихся в правой полуплоскости.

Примеры:

1

.т=2

Система неустойчивая.

2

т=5

Система устойчивая.