Алгоритм использования критерия Найквиста

1. Приводим систему к виду

2. Получаем передаточную функцию разомкнутой системы.

3. С помощью алгебраических критериев определяем количество (m) положительных корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

4. Строим амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы.

5. По критерию Найквиста судим об устойчивости замкнутой системы по годографу АФХ разомкнутой системы и количеству положительных корней.

3.3.4. Логарифмический критерий устойчивости

Логарифмический критерий устойчивости применяется при исследовании сложных многоконтурных систем, при построении ЛАЧХ корректирующих звеньев, выводящих исходную систему из неустойчивого состояния. Базовым для логарифмического критерия устойчивости является критерий Найквиста.

По критерию Найквиста, базовая точка (-1;0) в комплексной плоскости.

Рассмотрим АФХ разомкнутой системы в двух случаях:

1. АФХ первого рода, когда система в разомкнутом состоянии устойчива.

Это означает, что годограф такой системы не пересекает отрезок .

С

АУ в разомкнутом состоянии будет устойчива, если частота среза логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) меньше частоты, при которой ФЧХ достигает значения -, т.е. при положительных значениях ЛАЧХ до частоты среза ФЧХ не должна достигать угла -.

2

. АФХ второго рода, когда разомкнутая система неустойчивая, а замкнутая система устойчива.

Для АФХ второго рода логарифмический критерий устойчивости заключается в следующем: при положительных значениях ЛАЧХ до частоты среза, количество переходов прямой - ФЧХ должно быть равно нулю (т.е. количество положительных переходов равно количеству отрицательных переходов).

3 .4. Сравнительный анализ критериев устойчивости

1. Алгебраический критерий Гурвица целесообразно применять при порядке системы .

2. Алгебраический критерий Рауса применяется при порядке системы от 4 до 6.

3. Критерий устойчивости Михайлова применяется при исследовании сложных многоконтурных систем, когда необходимо выяснить влияние измерения структуры системы и средств ее стабилизации на устойчивость.

4. Критерий устойчивости Найквиста целесообразно применять тогда, когда система имеет одноконтурный вид, и если отдельные элементы системы заданы экспериментально.

5. Логарифмический критерий устойчивости применяется тогда же, когда и критерий Найквиста, особенно при исследовании системы на большом интервале частот.

3.5. Запас устойчивости Запас устойчивости по алгебраическому критерию Гурвица

, , где- запас устойчивости.

Запасом устойчивости считается некоторая величина , при которой самыйmin определитель Гурвица не должен быть меньше этой величины.

Запас устойчивости при частотных критериях устойчивости

При частотных критериях устойчивости различают два критерия: по амплитуде и по фазе. Запас устойчивости по амплитуде определяется наиближайшей точкой по отношению к критической. В численном значении - это длина отрезка [0;B], где В – точка пересечения годографа системы и отрицательной оси.

Нормированная величина запаса устойчивости:

- запас устойчивости по модулю.

Если , то система находится на границе устойчивости;

Если , то система устойчивая;

Если - система неустойчива.

На практике считается допустимым запас по амплитуде в логарифмическом масштабе - , что составляет.

Чтобы определить, обладает ли САУ заданным запасом устойчивости по амплитуде, проводится следующие исследования:

1. Строится годограф амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы.

2. Определяется ближайшая точка пересечения данного годографа с действительной осью по отношению к точке [-1,0].

3. Определяется запас устойчивости по формуле: , гдеh – это отрезок [0;B].

4. Если полученный запас устойчивости больше заданного, то САУ отвечает заданному запасу устойчивости, в противном случае САУ не обладает заданным запасом.

З

апасом устойчивости по фазе называется минимальный угол, образуемый отрицательной действительной осью и прямой, соединяющий начало координат и точку пересечения годографа амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы и окружности с единичным радиусом с центром в начале координат.

На практике допустимым запасом устойчивости считается угол: .

Если , то система не обладает запасом устойчивости;

Если , то система обладает запасом устойчивости.