Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

80

Молярная теплоёмкость вещества – теплоёмкость одного моля вещества:

	C			δQ
		μ		νdT

;

C		Дж
μ		моль К

.

Следует понимать, что удельные и молярные теплоёмкости одного и того же вещества различаются в зависимости от термодинамического процесса.

2.3.5. I начало термодинамики

I начало термодинамики – закон сохранения энергии в применении к термодинамическим процессам.

I начало термодинамики: количество теплоты, переданное термодинамической системе, равно сумме изменения внутренней энергии системы и работы, совершённой системой;

в интегральной форме:

Q

U A

;

в дифференциальной форме:

δQ dU δA

.

2.4. Политропный процесс идеального газа

2.4.1. Изотермический процесс (T = const)

Уравнение процесса

pV

const

.

График процесса в координатах (p, V) показан на РИС. 9.4.

Так как T = const, U = 0.

I начало термодинамики запишется как

			Q A .
	Молярная теплоёмкость
	C			δQ
		T		dT

0

(все формулы этого параграфа записываются для ν = 1 моль).

2.4.2. Изохорный процесс (V = const)

График процесса показан на РИС. 9.5.									p
Так как V = const, V = 0, A = 0.										1
I начало термодинамики:
			Q	U .
Так как U	i	RT , молярная теплоёмкость
	2
										2
		C δQ dU				i
								R .
		V	dT	dT	2				0
										V
2.4.3. Изобарный процесс (p = const)										Рис. 9.5
График процесса показан на РИС. 9.6.

		81
	В этом процессе U ≠ 0 и A ≠ 0.	p
	I начало термодинамики:

Q

U A.

Молярная теплоёмкость

C		δQ	dU pdV		i	R pdV .
	p
		dT	dT	2		dT

Из уравнения Менделеева-Клапейрона поэтому

pdV RdT		pdV	R ;
		dT
			C			i		R R
				p
					2

Всегда Cp >CV;

Cp CV

– формула Майера. Отношение

C	p	i
C
V

	1	2
pV = RT,	0	V

Рис. 9.6

i 22R .

R

	2	.
	i

Смысл этого соотношения разъясняется в РАЗДЕЛЕ 2.4.4.

2.4.4. Адиабатный процесс (δQ = 0)

Адиабатный процесс – процесс в теплоизолированной системе. I начало термодинамики:

0	U A		A	U .
Молярная теплоёмкость			0
		δQ
	Cад		0.
		dT

Найдём уравнение адиабатного процесса идеального газа:

					δA dU ;
δA pdV				RT
				V	dV		RT	dV	i
										RdT
	i						V		2
dU			RdT
	2

;

разделим переменные в этом дифференциальном уравнении:

dV V

V2 dV

V1 V

		i
		2

2i

	dT	,
	T

T2 dT

T1 T

(здесь V1, T1 и V2, T2 – параметры соответственно начального и конечного состояний системы),

82

	ln	V
		2
		V
		1

	i	ln	T
			2
	2		T
			1

,

V	T
2		2
V		T
1		1

i

2

iV1T12

	i
V T 2
2	2

;

i

VT 2 const

– уравнение адиабаты (уравнение Пуассона) в координатах (V, T).

Преобразуем это уравнение в координаты (p, V): T ~ pV,

i	i
Vp V
2	2

const

p

i 2V

	i	1
	2

const

pV

i2 i

const

,

pV	γ	const

,

	γ	i 2		C
				p	– показатель адиабаты (коэффициент Пуассона). Для одноатом-
		i		C
				V
	ного газа γ				5	, для двухатомного – γ	7	.
					3		5
	График адиабатного процесса представлен на
	РИС. 9.7. Для сравнения на этой же диаграмме по-								p
	казан график изотермического процесса. Давле-									1
	ние при адиабатном расширении убывает быст-
	рее, чем при изотермическом расширении (γ > 1).									изотерма
	[Студенты самостоятельно выводят уравнение									адиабата
	Пуассона в координатах (p, T).]
	Демонстрация: Адиабатное расширение газа									3
										2
	Адиабатными можно считать процессы, проте-
									0
	кающие достаточно быстро, когда теплообмен с									V
	окружающей					средой не успевает произойти,				Рис. 9.7
	например, при распространении звуковой волны.

83

Лекция 10

2.4.5. Политропный процесс (общий случай) (C = const)

Политропный процесс – процесс с постоянной теплоёмкостью:

C const

		δQ
		dT

C

const

.

I начало термодинамики:

δQ dU

δA

;

δA pdV

RT

dV

V

i

RT

δQ

RdT

dV

i

2

V

dU

RdT

2

C

δQ

i

R

RT dV

.

dT

2

V

dT

Разделим переменные в этом уравнении:

;

	C	i	R	RT dV
		2		V		dT
				V	dV
				2
					V
				V
				1

	dV				C		i	dT
	V						2		T
					R
C		i		T	dT
				2
		2			T
R			T
				1

,

(здесь V1, T1 и V2, T2 – параметры соответственно начального и конечного состояний системы),

T

C

i

V

C

i

T

V

R

2

i

C

i

C

i

C

ln

2

ln

2

,

2

2

V1T1

V2T2

, VT

2

R

2

R

2

R

V

R

2

T

V

T

1

1

1

1

Преобразуем это уравнение в координаты (p, V): T ~ pV,

							i	C 1			n
							2		R
i		C	i		C			i	C
					R const						const ,
Vp2		RV 2				pV		2	R

const

.

pV n const ,

n – показатель политропы. Выразим молярную теплоёмкость через показатель политропы:

	i
	2
n
		i
		2

C R

1

i

n nC

i

C 1 C 1 n

i

1

i

n ,

C

2

R

2

R

R

2

2

R

i

1 n 1

C R

2

i

R

R

C

R

,

1 n

1 n

1 n

2

V

C CV

R

.

n 1

Возможно C 0.

84

2.4.6. Зависимость теплоёмкости газа от температуры

1. Теоретическая зависимость

CV

0

T

Рис. 10.1

Классическая теория даёт для двухатомного га-

	за	CV	5	R	(см. РАЗДЕЛ 2.4.2). График зависимо-
			2

сти представлен на РИС. 10.1.

2. Экспериментальная зависимость

С квантовой точки зрения закон равнораспределения (см. РАЗДЕЛ 2.3.2) неверен. При низких температурах (T < 50 К) вращательные степени свободы молекул не реализуются. Это происходит потому, что энергия поглощается порциями – кван-

тами.

При высоких же температурах начинают реализовываться колебательные степени свободы (которые мы не учитывали ранее). Молекулы не являются жёсткими – атомы в молекуле колеблются около положения равновесия. Энергия колебаний также квантована (см. РАЗДЕЛ 5.5.4). Колебания молекул начинают вносить заметный вклад в теплоёмкость тогда, когда величина kT становится сравнимой с квантом энергии колебаний.

При T → 0 CV → 0 по III НАЧАЛУ ТЕРМОДИНАМИКИ.

Примерный ход экспериментальной зависимости молярной теплоёмкости при постоянном объёме от температуры представлен на РИС. 10.2.

поступ. +

+ вращ.

CV

поступ.	поступ. +
	+ вращ.+
	+ колеб.

	0
		10		50		100		5000		T, К
							Рис. 10.2

2.5. Тепловые машины

2.5.1. Тепловая машина (тепловой двигатель)

Тепловой двигатель – устройство, предназначенное для периодического совершения работы за счёт внутренней энергии теплового резервуара (за счёт подведённого тепла).

85

Составные части тепловой машины

Рабочее тело	Нагреватель
тело, совершающее работу	тепловой резервуар
Тепловой резервуар – тело с большой по сравнению		p
с рабочим телом теплоёмкостью.
Рабочее тело совершает круговой процесс (цикл)
– процесс, при котором термодинамическая систе-
ма возвращается в исходное состояние.
Этапы кругового процесса (диаграмма РИС. 10.3):
1-2: Подвод тепла к рабочему телу от нагревате-		O
ля:
Q1 Q12 0 ; A12 0
– работа рабочего тела.

Холодильник

тепловой резервуар

1		Q1

A

 2

Q2

V

Рис. 10.3

2-1: Отвод тепла от рабочего тела к холодильнику:

Q2 Q21 0

, A21 0

– работа совершается внешними телами над рабочим телом.

Полезная работа

A A12 A21 A12 A21 .

Коэффициент полезного действия (КПД) – безразмерная характеристика дви-

гателя, равная отношению полезной работы к затраченной энергии. Для теплового двигателя

	η		A	.
			Q
			1
Запишем I начало термодинамики для цикла, совершаемого рабочим телом:
Q		U A;			0

Q Q	Q	Q			Q
1	2	1			2

η	Q Q
	1	2
		Q
		1

Q1
Q Q
1	2
Q
1

Q2

.

A

,

2.5.2. Холодильная машина
Холодильная машина – устройство, предназна-	p
ченное для охлаждения теплового резервуара пу-				Q1
тём передачи его внутренней энергии другому ре-		1
зервуару.
Этапы кругового процесса (диаграмма РИС. 10.4):			Q2
				2
1-2: Подвод тепла к рабочему телу от холодиль-
ника:	O
Q2 Q12 0 ; A12 0				V
– работа рабочего тела.				Рис. 10.4

86

2-1: Отвод тепла от рабочего тела к нагревателю:

Q1 Q21 0 , A21 0

– работа совершается внешними телами над рабочим телом. Работа рабочего тела

A A	A	A
12	21	12
I начало термодинамики для рабочего тела:
	Q A ;

A21

0

.

Q Q	Q
1	2

Q2

Q1 Q1

,

AQ2

A A

Q2 Q1

.

A

,

2.5.3. Цикл Карно

Обратимый термодинамический процесс – процесс, при котором термодина-

мическая система проходит через один и тот же ряд последовательных равновесных состояний в прямом и обратном направлении.

Процесс, при котором тепло передаётся от более нагретого тела к менее нагретому, необратим (см. РАЗДЕЛ 2.6.5). Поэтому, чтобы процесс был обратимым, контакт рабочего тела с тепловым резервуаром должен происходить только при постоянной температуре – квазистатический изотермический процесс.

Другой обратимый процесс – это квазистатический адиабатический процесс, т. е. бесконечно медленный процесс в теплоизолированной системе.

Цикл Карно – единственно возможный обратимый цикл, который можно осуществить при помощи двух тепловых резервуаров с разными температурами.

p

1

Q1

4 2

Q2

3

0

V

Рис. 10.5

Соответственно, цикл Карно состоит из квазистатических изотермических и адиабатных процессов (см. диаграмму РИС. 10.5):

1-2	– изотермические процессы,
3-4

	87
2-3	– адиабатные процессы.
4-1

Найдём КПД теплового двигателя, идеальный газ.

По определению

η

работающего по циклу Карно. Рабочее тело –

		A	1	Q
				2	.
		Q		Q
		1		1

Рабочее тело сообщается с нагревателем на этапе 1-2:

	Q1 Q12 A12 νRT1 ln	V	,
		2
		V
		1

где T1 – температура нагревателя (см. ПРИМЕР РАСЧЁТА РАБОТЫ; по уравнению Мен- делеева-Клапейрона в процессе 1-2 pV = νRT1), V1 и V2 – соответственно объёмы газа в состояниях 1 и 2;

а с холодильником – на этапе 3-4:

	Q2 Q34 A34 νRT2 ln	V	νRT2 ln	V	,
		4		3
		V		V
		3		4

где T2 – температура холодильника, V3 и V4 – соответственно объёмы газа в состояниях 3 и 4.

Найдём связь между отношениями объёмов через уравнение адиабаты в координатах (V, T):

i VT 2

const

		i		i
V T 2			V T 2		,
	2	1	3	2
		i		i
			V T 2 .
V T 2
	1	1	4	2

Разделим верхнее уравнение на нижнее:

	V		V	.
	2		3
	V		V
	1		4

Подставим эти результаты в выражение для КПД:

	νRT lnV3			T1 T2
	2	V4	1 T2
η 1					;
		V2
	νRT1 ln		T	T
			1	1
		V1

	η		T T
			1	2
	Карно			T
				1

,

всегда η < 1.

2.5.4. Теоремы Карно (без доказательства)

1.КПД теплового двигателя, рабочее тело которого совершает цикл Карно, не зависит от природы рабочего тела и равен отношению максимальной и ми-

нимальной температур к максимальной температуре рабочего тела:

ПРЕДЫДУЩЕГО ПАРАГРАФА);

Q1i

88

	η		T	T
			max	min
	Карно		T
				max

.

2.КПД любого теплового двигателя, рабочее тело которого совершает обратимый цикл, не превосходит КПД теплового двигателя, рабочее тело которого совершает цикл Карно:

η	η
обрат	Карно

.

3.КПД теплового двигателя, рабочее тело которого совершает необратимый цикл, меньше КПД теплового двигателя, рабочее тело которого совершает обратимый цикл, при прочих равных условиях (при тех же максимальной и минимальной температурах рабочего тела):

ηнеобрат ηобрат .

Из трёх теорем Карно следует, что

	η		T	T
			max	min
	необрат		T
				max

.

2.6. Энтропия. II начало термодинамики

2.6.1. Неравенство Клаузиуса

Пусть некоторое рабочее тело совершает цикл между двумя тепловыми резервуарами с температурами T1 и T2 (T1 > T2). Из теорем Карно

	η η		T T
			2	1
	Карно			T
				1

	Q Q			T T
	1	2		1	2
		Q			T
		1			1

	1	Q	1	T
		2		2
		Q		T
		1		1

	Q		T
	2		2
	Q		T
	1		1

(так как Q2 < 0; здесь использованы обозначения

			Q1	Q2	0
			T	T
			1	2
– неравенство Клаузиуса;	Q	– приведён-
	T
					p
ная теплота. В этих уравнениях знак «=»

соответствует обратимому циклу, «<» – необратимому.

	Сумма приведённых теплот, полученных
	рабочим телом за цикл, равна нулю, если
	цикл обратимый, и меньше нуля, если
	цикл необратимый.
	Если имеется бесконечное множество теп-		ΔQ2i
	ловых резервуаров, то между ними можно	0	V
	совершить бесконечное множество обра-
	тимых циклов. Соответственно, любой		Рис. 10.6

цикл можно разбить на бесконечное множество обратимых циклов (РИС. 10.6). Запишем неравенство Клаузиуса для каждо-

го из этих циклов и просуммируем эти неравенства:

89

	Q		Q	0,
	11		21
	T		T
	11		21
			,
	Q		Q
				0,
	1i		2i
	T		T
	1i		2i

		Q	0
		i
		T
		i

– неравенство Клаузиуса: количество приведённого тепла, полученного рабочим телом в обратимом цикле, равно нулю, а в необратимом цикле – меньше нуля.

Теперь пусть Qi → 0. Тогда при обратимом цикле

δQT 0 .

Подынтегральное выражение – функция состояния термодинамической системы;

δQ
dS			,
	T
		обрат

S – энтропия. Приращение энтропии равно количеству приведённого тепла, полученного системой в обратимом процессе.

При необратимом процессе

dS

δQ

T

.