Розділ 3 невизначений інтеграл

3.1. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла. Метод безпосереднього інтегрування

Функція називаєтьсяпервісною функції на проміжку, якщодиференційовна наідля всіх. Очевидно, що будь-яка з функцій, де- довільна стала, також є первісною функціїна цьому проміжку.

Сукупність усіх первісних функції на проміжкуназиваютьневизначеним інтегралом функції на цьому проміжку і позначають

,

де - підінтегральна функція,- підінтегральний вираз,- довільна стала.

Операцію знаходження невизначеного інтеграла від функції називають інтегруванням цієї функції.

Властивості невизначеного інтеграла:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. Якщо і- довільна функція, що має неперервну похідну, то.

При обчисленні невизначених інтегралів зручно користуватися наступними правилами: якщо , тоді

,

,

,

де та- сталі величини.

Таблиця основних інтегралів

1. ,

1'. ,

2. ,

3. , >,,

3'. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

8'. , >,

9. ,

9'. , ,

10. , ,

11. ,

,

12. ,

13. ,

14. ,

15. .

Зауваження. Варто відзначити, що задача інтегрування функції вирішується неоднозначно. Тобто один і той же інтеграл може бути обчислений не єдиним методом.

Метод безпосереднього інтегрування полягає у зображенні вихідного інтеграла у вигляді алгебраїчної суми табличних інтегралів.

Зразки розв’язування задач

Обчислити інтеграли.

1. .

Користуючись властивостями 4 та 5, будемо мати:

2.

3.

4.

5. .

Тут, крім властивостей 4 та 5, застосуємо правила інтегрування. Дістанемо:

6.

7. .

Інтеграл не є табличним, тому за допомогою алгебраїчних перетворень треба підінтегральну функцію подати у такому вигляді, щоб можна було застосувати властивості невизначеного інтеграла та обчислити його. Для цього в чисельнику дробу додамо і віднімемо 1. Поділивши почленно на, отримаємо алгебраїчну суму двох табличних інтегралів:

8. .

Використаємо формулу тригонометрії: .

Тоді

Завдання для самостійної роботи

Обчислити інтеграли:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

3.2. Метод підстановки (заміни змінної)

Заміна змінної у невизначеному інтегралі виконується за допомогою підстановок двох типів:

1. Інтеграл зображають у вигляді:

,

де функція має обернену функціюі для функціївідома первісна.

Тоді .

2. Інтеграл записують у вигляді

,

в якому для функції відома первісна.

Тоді

В обох випадках досягається мета спростити вихідний інтеграл та привести його до табличного інтегралу.

Зразки розв’язування задач

Обчислити інтеграли.

1. .

Поклавши , знайдемо. Ця підстановка призведе до того, що під знаком синуса з’явиться змінна інтегрування, а не корінь з неї. Отримаємо:

Відповідь повинна бути виражена через початкову змінну . Підставляючи в результат інтегрування, дістанемо:

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Завдання для самостійної роботи

Обчислити інтеграли:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. .

3.3. Метод інтегрування частинами

Якщо та- функції, що мають на деякому проміжку неперервні похідні, то справедлива формула інтегрування частинами:

.

Тут вважається заданою ліва частина формули, тобто . Обчислення цього інтеграла зводиться до знаходження диференціала функціїта функціїза відомим її диференціалом. Функціявизначається неоднозначно, з точністю до довільної сталої, тому вибирають ту функцію, яка має найпростіший вигляд (як правило, покладають).

Методом інтегрування частинами зручно обчислювати такі типи інтегралів:

1) інтеграли виду ,,,, де- многочлен-ого степеня від,- дійсне число . У цих інтегралах заслід взяти множник, а за- вираз, що залишився;

2) інтеграли виду , ,,,. У цих інтегралах слід взяти замножник,,,,, а за-;

3) інтеграли виду ,, де- дійсні числа.

Тут після двократного застосування формули інтегрування частинами утворюється лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла. Розв’язуючи це рівняння, знаходять інтеграл.