Зразки розв’язування задач

Обчислити інтеграли.

1. .

Дріб є правильним. Розкладемо його на суму найпростіших дробів. Коренями знаменника є дійсні числата, серед яких немає кратних. Тому чисельниками кожного дробу будуть числа. Отримаємо:. Помноживши обидві частини рівності на спільний знаменник, здобудемо:

, або .

Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях в правій і лівій частинах, отримаємо систему рівнянь:

з якої знайдемо.

Отже, розкладання раціонального дробу на найпростіші має вигляд:

.

Невідомі іможна визначити інакше. Після того, як позбулися знаменника, зміннійможна надати стільки часткових значень, скільки коефіцієнтів треба визначити (в даному випадку – два значення). Особливо зручно надаватиті значення, які є дійсними коренями знаменника. Застосуємо цей прийом до нашого дробу. Після звільнення від знаменника отримали вираз.

При :, звідки.

При :, звідки , .

В результаті отримали ті самі значення і, що й при першому способі визначення коефіцієнтів.

Таким чином,

Зауваження. Якщо корені знаменника – числа тільки дійсні та різні, спосіб часткових значень є найзручнішим. В інших випадках поєднують обидва способи.

2. .

Розкладемо знаменник дробу на множники: . Коренями тричленає числата. Тому. Отже. Розкладемо даний дріб на суму найпростіших:

.

Тоді .

Для визначення коефіцієнтів застосуємо часткові значення.

При :,

при :,

при :.

Отже,

Шуканий інтеграл:

3. .

Підінтегральний дріб є неправильним, тому необхідно виділити цілу частину, поділивши чисельник на знаменник:

-

_________________

-

_______________

-

______________

-

_____________

Отже,

.

Дріб вже є правильним, розкладемо його на суму найпростіших:

, .

При :,

при :.

Шуканий інтеграл дорівнюватиме:

Зауважимо, що інтеграл може бути обчислений іншими способами, наприклад, зведенням до суми двох інтегралів, один з яких – табличний, а в другому треба застосувати заміну змінної.

4..

Як і в попередньому прикладі підінтегральний дріб є неправильним, тому виділивши в ньому цілу частину, отримаємо:

.

Тепер даний інтеграл можна подати у вигляді суми двох інтегралів:

Щоб обчислити другий інтеграл, розкладемо дріб на суму найпростіших дробів.

, .

Для отримання коефіцієнтів івикористаємо коріньзнаменника. При. Зважаючи на те, що інших коренів не існує, для визначенняпорівняємо коефіцієнти прив обох частинах рівності. В лівій частині він дорівнює, а в правій. Отже,

.

Шуканий інтеграл дорівнюватиме: .

5. .

Дріб є правильним. Розкладемо знаменник дробу на множники:. Бачимо, що знаменник має один дійсний коріньта пару спряжених коренів. Тому розкладання дробу на суму найпростіших має вигляд:

, звідки

.

При :,

при :,

при :.

Отже, .

Перший інтеграл є табличним . Для інтегрування другого доданку розіб’ємо дріб на суму двох дробів:. Перший з них інтегруємо, використовуючи заміну змінної:

.

Другий інтеграл дорівнюватиме: .

Таким чином, .

6. .

Знаменник дробу не має дійсних коренів, тому не розкладається на лінійні множники. Вчинемо інакше, а саме виділимо в ньому повний квадрат.

.

7. .

Так само, як в попередньому прикладі, знаменник не розкладається на множники. Перетворимо дріб під інтегралом: виділимо в чисельнику від похідну знаменника, яка дорівнює.

.

Отримаємо: .

До першого інтегралу застосуємо метод заміни змінної, до другого – виділення повного квадрату. Будемо мати:

(вираз не містить модуля, бо >).

.

Тоді .

8. .

Знаменник дробу має кратні комплексні корені, тому

.

.

Порівняємо коефіцієнти при однакових степенях :

при :,

при :,

при :,

при :.

Будемо мати:

.

.

.

Отже, .