Завдання для самостійної роботи

1. Знайти область визначення функцій:

а) ; б); в); г).

2. Знайти частинні похідні функцій:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

є) ;

ж) ;

з) .

3. Довести, що функція задовольняє рівняння .

2.2. Повний диференціал функції. Похідні складених функцій

Повний приріст функції визначається за формулою

, (2.1)

де і- прирости незалежних змінних.

Повним диференціалом функції називається головна лінійна відносноічастина приросту функції, яка обчислюється за формулою

, (2.2)

де ,.

Для наближеного обчислення значення функції двох змінних користуються наближеною рівністю

. (2.3)

Ця наближена рівність тим точніша, чим менше величини і.

Нехай - функція двох зміннихі, кожна з яких, в свою чергу, є функцією незалежної змінної:,. Тоді функціяєскладеною функцією змінної .

Похідну цієї функції знаходять за формулою

. (2.4)

Зокрема, якщо , а, то

. (2.5)

Нехай - функція двох зміннихта, які також залежать від зміннихта:,. Тоді функціяєскладеною функцією незалежних змінних та , а її частинні похідні по цим змінним обчислюються за формулами:

(2.6) Зразки розв’язування задач

1. Знайти повний диференціал функцій:

а) .

Знайдемо частинні похідні:

; .

За формулою (2.2) будемо мати:

.

б) .

; .

Отже, .

в) .

; . Будемо мати:.

г) .

;

.

Тоді отримаємо:

.

2. Обчислити наближено за допомогою повного диференціала: .

Розглянемо функцію , тоді;. Покладемо, що,, обчислимо,. Тоді. Знаходимо частинні похідні і їх значення в точці, а саме

, тоді ;

, тоді .

Повний диференціал

.

Користуючись формулою (2.3), отримаємо: , а саме:.

3. Знайти , якщо,,.

Функція є складеною функцією змінної, тому за формулою (2.4) отримаємо:.

Будемо мати: ,,,.

Тоді шукана похідна запишеться у вигляді:

.

Підставляючи замість іїхні вирази через, дістанемо:

.

4. Знайти , якщо,,.

Функція є складеною функцією змінної, тому її похідна обчислюватиметься за формулою (2.4):

.

Будемо мати: ,,,.

Тоді

.

5. Знайти , якщо,.

Згідно з формулою (2.5): . Обчислимо:

,

,

.

Тоді .

Підставляючи замість його значення через, дістанемо:

.

6. Знайти і, якщо,,.

Функція є складеною функцією зміннихта. Для обчислення її похідних застосуємо формули (2.6).

Будемо мати: ,.

Знайдемо частинні похідні: ,, ,, ,.

Підставляючи, отримаємо:

,

.

Замінюючи івиразами черезі, остаточно дістанемо:

,

.

7. Знайти і, якщо,,.

Як і в попередньому прикладі - складена функція зміннихта. Обчислимо:,,,,,.

За формулами (2.6) маємо:

,

.