Зразки розв’язування задач

Знайти екстремуми функцій.

1. .

1) Область визначення .

2) .

3) Критичні точки:

.

існує для всіх .

4) Знаки :

При переході через точку похідна змінює знак з « + » на « - », отже- точка максимуму. При переході через точкупохідна змінює знак з « - » на « + », тому- точка мінімуму.

5) ..

2. .

1) Область визначення функції .

2) .

3) Критичні точки:

або , звідки.

існує для всіх .

4) Знаки :

При переході через точку похідна змінює знак з « - » на « + », тому точкає точкою мінімуму. При переході через точкупохідна змінює знак з « + » на « - ». Отже, точкає точкою максимуму.

5) ;.

3. .

1) Область визначення .

2) .

3) Критичні точки:

, звідки .

існує на всій області визначення.

4) Знаки :

При переході через точки похідна змінює знак з « - » на « + ». Отже, точкиє точками мінімуму. При переході через точкупохідна змінює знак, але, томуне є точкою екстремуму.

5) Так як функція парна, то

. Тобто .

4. .

1) .

2) .

3) Критичні точки:

.

Функція приймає тільки додатні значення, причому. Критичну точку знайдемо з умови:. Отримаємо.

існує для всіх .

4) Знаки :

Функція має дві екстремальні точки: - точка мінімуму; -точка максимуму.

5);.

5. .

1) Область визначення .

2)

.

3) Критичні точки:

а) .

б) не існує при.

4) Знаки :

При переході через точку похідна змінює знак з « + » на « - », томує точкою максимуму. При переході через точкупохідна не змінює свій знак. Отже, критична точкане є екстремальною.

5) .

6. .

1) .

2) .

3) Критичні точки:

а) , тоді, звідкиабо.

б) існує для всіх.

4)Знаки :

При переході через точку похідна змінює знак з « - » на « + », тому- точка мінімуму.

5) .

7. .

1) Область визначення .

2) .

3) Критичні точки:

а) , звідки. Алене входить в.

б) існує на всій області визначення.

4) Знаки :

При переході через точкупохідна змінює знак з « - » на « + », тому- точка мінімуму.

5) .

8. .

1) Область визначення .

2) .

3) Критичні точки:

а) . Знайдемо, тому рівняння не має коренів, тобто.

б) існує на всій області визначення.

Отже, критичних точок не має і функція не має екстремумів.

Завдання для самостійної роботи

Знайти екстремуми функцій:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

1.3. Опуклість і угнутість кривих. Точки перегину

Крива називаєтьсяопуклою на інтервалі, якщо всі її точки, крім точки дотику, лежать нижче довільної її дотичної на цьому інтервалі.

Крива називаєтьсявгнутою на інтервалі, якщо всі її точки, крім точки дотику, лежать вище довільної її дотичної на цьому інтервалі.

Точкою перегину називається така точка кривої, яка відділяє її опуклу частину від вгнутої.

y

x

a

c

b

0

На рисунку крива опукла на , вгнута на,- точка перегину.

Опуклість і вгнутість кривої, яка є графіком функції , характеризується знаком її другої похідної: якщо в деякому інтервалі<, то криваопукла на цьому інтервалі, а якщо >, то кривавгнута на цьому інтервалі.

Інтервали опуклості і вгнутості можуть відділятися один від одного або точками, де друга похідна дорівнює нулю, або точками, де друга похідна не існує. Ці точки називаються критичними точками II роду.

Якщо при переході через критичну точку II роду друга похідназмінює знак, то графік функції має точку перегину.

Правило знаходження точок перегину графіка функції :

1) знайти область визначення функції;

2) знайти критичні точки II роду функції ;

3) дослідити знак в інтервалах, на які критичні точки ділять область визначення функції. Якщо критична точкаподіляє інтервали, дерізних знаків, тоє абсцисою точки перегину графіка функції;

4) обчислити значення функції в точках перегину.