- •З м і с т
- •Розділ 1 застосування диференціального числення для дослідження функцій
- •1.1. Зростання і спадання функції
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •1.2. Локальний екстремум функції
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •1.3. Опуклість і угнутість кривих. Точки перегину
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •1.4. Асимптоти кривих
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •1.5. Схема дослідження функції та побудова її графіка
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •Розділ 2
- •2.1. Означення та область визначення. Частинні похідні першого порядку
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •2.2. Повний диференціал функції. Похідні складених функцій
- •(2.6) Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •2.3. Частинні похідні вищих порядків. Похідні неявно заданих функцій
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •2.4. Рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні. Екстремум функції двох змінних
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •Розділ 3 невизначений інтеграл
- •3.1. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла. Метод безпосереднього інтегрування
- •Таблиця основних інтегралів
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •Зразки розв’язування задач
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •3.5. Інтегрування функцій, раціонально залежних від тригонометричних
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •3.6. Інтегрування деяких іраціональних функцій
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •Вища математика
Завдання для самостійної роботи
1. Знайти повний диференціал функцій:
а) ;
б) ;
в) .
2. Обчислити наближено .
3. Знайти , якщо ,,.
4. Знайти , якщо ,.
5. Знайти і, якщо ,,.
2.3. Частинні похідні вищих порядків. Похідні неявно заданих функцій
Якщо задано функцію і обчислені її частинні похідніі, то вони також є функціями незалежних зміннихі, а тому від кожної із них можна обчислити похідні як по зміннійтак і по змінній.
Частинні похідні від частинних похідних першого порядку називаються частинними похідними другого порядку. Вони позначаються:
, ,
, .
Аналогічно означаються і позначаються частинні похідні вищих порядків.
Частинні похідні, які відмінні одна від одної лише порядком диференціювання, називаються мішаними похідними. Вони є рівними між собою при умові їх неперервності, тобто .
Похідна від неявної функції, яку задано рівнянням може бути обчислена за формулою:
. (2.7)
Частинні похідні неявної функції , заданої рівнянням, можуть бути обчисленні за формулами:
, .(2.8)
Зразки розв’язування задач
1. Знайти частинні похідні другого порядку:
а) .
Знайдемо перші похідні:
, .
Знайдемо другі похідні:
, ,
, .
б) .
, ;
, ,
, .
в) .
, ;
,
,
.
2. Перевірити, що для функції.
Знаходимо перші похідні:
, .
Обчислимо мішані похідні другого порядку:
,
.
Як бачимо, .
3. Перевірити, що функція задовольняє рівняння.
Знайдемо частинні похідні першого та другого порядку, які є в даному рівнянні:
, ;
.
Підставляємо знайдені похідні в наше рівняння:
або .
Отримаємо: , а саме.
Ми отримали тотожність, тому функція задовольняє дане рівняння.
4. Знайти похідну від функцій, заданих неявно:
а) .
.
Знайдемо частинні похідні: ,.
За формулою (2.7) маємо: .
б) .
.
, .
За формулою (2.7) маємо: .
в) .
.
Тоді ,.
Отримаємо: .
5. Знайти тавід неявно заданих функцій:
а) .
.
Обчислимо ,,.
Зауважимо, що у кожному випадку беручи похідну по одній змінній, дві другі вважаються сталими. За формулами (2.8) маємо: ,.
б) .
.
Обчислимо ,,.
Тоді будемо мати: ,
.
6. . Знайтитау точці.
.
Знайдемо ,,.
За формулами (2.8):
, тоді .
, тоді .
Завдання для самостійної роботи
1. Знайти частинні похідні другого порядку:
а) ;
б) ;
в) .
2. Показати, що функція задовольняє рівняння.
3. . Знайти,.
4. Знайти від функцій, заданих неявно:
а) ; б).
5. Знайти та, якщо.