Зразки розв’язування задач

Знайти точки перегину і інтервали опуклості та вгнутості графіків функцій.

1. .

1) Область визначення .

2) Критичні точки II роду:

; .

а) або . Маємо, звідки.

б) існує на всій області визначення.

3) Знаки :

при ;при.

Отже, на інтервалі крива вгнута. Враховуючи, що в точціфункція неперервна, робимо висновок, що крива опукла на інтервалі. При переході через точкудруга похідна змінює знак, тому- точка перегину. В точціперегину немає.

4) .- точка перегину.

2. .

1) .

2) Критичні точки II роду:

; .

а) або, звідки,.

б) існує для всіх.

3) Знаки :

Крива опукла на інтервалах і, вгнута на інтервалі.

В точках іграфік має перегин.

4) .

.

і - точки перегину.

3. .

1) Область визначення .

2) Критичні точки II роду:

;

.

а) ,, звідкиабо.

б) існує для всіх.

3) Знаки :

Крива опукла на інтервалах і, вгнута на інтервалахі.

В точках графік має перегини.

4) .

, .

- точки перегину.

4. .

1) Область визначення: .

.

2) Критичні точки II роду:

; .

а) .

б) не існує при, але.

Критичних точок II роду немає, графік не має точок перегину.

3) Знаки :

Крива опукла на інтервалі , вгнута на інтервалі.

5. .

1) Область визначення функції: .

.

2) Критичні точки II роду:

;

.

а) , тому що.

б) існує на всій області визначення.

Критичних точок немає. Отже, немає і перегинів графіка.

3) Знаки :

Графік функції вгнутий на всій області визначення.

6. .

1) Область визначення .

2) Критичні точки II роду:

; .

а) .

б) не існує при, тому- критична точка.

3) Знаки :

Крива опукла на інтервалі , вгнута на інтервалі. Приграфік має перегин.

4) .

- точка перегину.

7. .

1) Область визначення: .

.

2) Критичні точки II роду:

;

.

а) , тому що.

б) існує для всіх.

Критичних точок немає. Отже, немає і перегинів графіка.

3) Знаки :

Крива опукла на інтервалі , вгнута на інтервалахі.

Завдання для самостійної роботи

Знайти точки перегину і інтервали опуклості та вгнутості графіків функцій.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

1.4. Асимптоти кривих

Пряма називається асимптотою кривої, якщо точка кривої необмежено наближується до неї при віддалені її від початку координат. Розрізняють вертикальні, похилі (горизонтальні) асимптоти.

а) Вертикальні асимптоти.

Графік функції примає вертикальну асимптоту, якщоабо; при цьому точкає точкою розривуII роду. Рівняння вертикальної асимптоти має вигляд .

б) Похилі асимптоти.

Рівняння похилої асимптоти , де,, якщо ці границі існують і скінченні.

Слід окремо розглянути випадки, коли та.