Завдання для самостійної роботи

Обчислити інтеграли:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

3.5. Інтегрування функцій, раціонально залежних від тригонометричних

Домовимось позначати - раціональну функцію, залежну від, якщо вона утворена з цих тригонометричних функцій та сталих за допомогою раціональних алгебраїчних дій.

1) Інтеграли виду приводяться до інтегралів від раціональної функції нового аргументупідстановкою

, яка називається універсальною.

При цьому використовуються формули:

, ,,.

Варто помітити, що недоліком цієї підстановки є той факт, що її використання в багатьох випадках зводить вихідний інтеграл до інтегралу від раціонального дробу з великими степенями. Тому в багатьох випадках користуються іншими підстановками . Наведемо деякі з них:

а) , тобто підінтегральна функція непарна відносно. Використовується підстановка, тоді,;

б) - підінтегральна функція непарна відносно.

Використовується підстановка , тоді,;

в) , в якому підінтегральна функція парна відносноіодночасно, раціоналізується за допомогою підстановки. При цьому використовуються формули:

, ,,;

г) . Тут підінтегральна функція залежить раціональним образом тільки від. Слід застосовувати підстановку, тоді,.

2) Інтеграли виду обчислюються за допомогою таких підстановок:

а) якщо - ціле додатне непарне число:;

б) якщо - ціле додатне непарне число:;

в) якщо та- цілі додатні парні числа: використовуються формули пониження степеня

, ;

г) якщо та- цілі парні числа, але хоч одне з них від’ємне: ;

д) якщо та- цілі непарні числа і від’ємні:.

3) Інтеграли виду ,,обчислюються за допомогою тригонометричних формул:

,

,

.

Зразки розв’язування задач

Обчислити інтеграли.

Почнемо з прикладів ілюструючих різні випадки пункту 1.

1. .

Застосуємо до інтеграла універсальну підстановку ,,.

Тоді

.

2.

.

3.

.

4. .

Зауважимо на те, що підінтегральна функція непарна відносно . Відділимо відодин множник, авиразимо через, а саме:. Інтеграл матиме вигляд:, тобто ми звели його до випадку, до якого можна застосувати заміну,.

Отримаємо:

.

5. .

Підінтегральна функція непарна відносно . Аналогічно попередньому прикладу.

Отже,

.

Зауваження: отриманий інтеграл може бути обчислений іншим методом за допомогою формул тригонометрії, а саме:

.

6. .

Так як підінтегральна функція є раціональною функцією від та, зручною є заміна,. Тоді,. Підставимо вирази в інтеграл і отримаємо:

.

7. .

В цьому випадку зручнішою буде підстановка ,. Перетворивши підінтегральний вираз та використавши наведену підстановку, отримаємо:

.

8. .

Підінтегральна функція є раціональною функцією відносно . Зробимо заміну,.

. Останній інтеграл є інтегралом від правильного раціонального дробу. Для інтегрування розкладемо дріб на суму найпростіших:

, .

Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях в обох частинах рівності, отримаємо: ,. Отже,

.

9. .

Підінтегральна функція непарна відносно , тому інтеграл можна звести до інтегралу від раціональної функції підстановкою,;,. Отримаємо:.

Після розкладання дробу на суму найпростіших одержимо:

.

Коефіцієнти розкладання обчислюються звичними методами і дорівнюють:,,. Тоді інтеграл дорівнюватиме:

.

Далі розглянемо приклади різних випадків пункту 2.

10. (тут- ціле додатне непарне).

При заміні напідінтегральна функція не змінює знак.

Тут доцільна підстановка ,,.

.

11. (,- ціле додатне непарне число).

.

12. .

Підінтегральна функція містить тільки парний степінь синуса, який допускає пониження степеня за формулою: . Отже,

.

13. (,- ціле парне від’ємне число).

.

Застосуємо заміну ,,. Тоді

.

14. .

Показники іобидва парні від’ємні. Зручною буде заміна,,,. Після підстановки інтеграл набуває вигляду:

.

15. .

Показники іобидва непарні. Можна знову застосувати заміну.

.

Перейдемо до розглядання прикладів до пункту 3.

16..

Перетворимо добуток тригонометричних функцій в суму згідно з наведеною формулою: . Проінтегруємо отриманий вираз:

.

17.

.