3.2.2. Тепловой поток в пластинах

3.2.2.1. Пластина в виде диска

Рассмотрим пластину в виде диска радиуса L₀и толщиной(рис. 3.2.2,б). В центре диска расположен источник энергии мощностьюР, занимавший областьИрадиусомr₀. Вся энергия от источника через торцевую поверхность областипередается диску, с поверхности которогорассеивается в окружающую среду конвекцией и излучением (на поверхности 2 в теплообмене участвует вся площадь), коэффициент теплоотдачи поверхностей диска и (),коэффициент теплопроводности диска,температура окружающей средыt_c.

Найдем зависимость между мощностью источника и величиной перегрева в любой точке диска .

Температурное поле диска описывается дифференциальным уравнением [9]

, (3.2.12)

где ,.

Граничными условиями здесь будут:

1.Вся энергия источника через поверхность передается диску

.

2.Мощностью, рассеиваемой цилиндрической поверхностью диска, пренебрегают

.

Решение дифференциального уравнения с помощью тождественных преобразований приведено к безразмерному виду

. (3.2.13)

Здесь -критерий, - безразмерная температура, равная

. (3.2.13,а)

Критерий является функцией трех безразмерных параметров

,

где , здесь называется критерием Био.

В работе [9] критерий , как функция параметров, представлен в графической форме. Значениена границе областиИ, т.е. придля,лежащем в диапазоне 1…6, приведено на рис. 3.2.3. Из (3.2.13) и (3.2.13,а) найдем выражение для теплового коэффициента

. (3.2.14)

Рис. 3.2.3. Зависимость  = ( r₀/L₀;)

Если пластина и источник энергии представляет собой полукруг или четверть круга, то выражения тепловых коэффициентов будут иметь вид соответственно:

,

т.е. тепловые коэффициенты увеличиваются соответственно в два и четыре раза.

Чтобы учесть теплообмен края диска с окружающей средой в выражении (3.2.14) за радиус диска следует принять величину, большую реального радиуса на половину толщины диска .

Перегрев в любой точке диска находится из выражения (3.2.14)

. (3.2.15)

Особенность расчета температурного поля диска состоит в том, что коэффициенты теплоотдачи и , входящие в,зависят от средне поверхностной температуры диска, которая в свою очередь, определяется мощностью источникаР.

Расчет целесообразно проводить в следующей последовательности:

- задаются двумя среднеповерхностными перегревами диска и для каждого из них находят коэффициент теплоотдачи и по формулам, приведенным в разделах 3 и 4;

- определяют мощность, рассеиваемую диском, для заданных температур P = [ α₁ _s  (L₀² – r₀) + α₂ _s  L₀² ];

- строится тепловая характеристика _s = f(P), по которой для заданной мощности находится среднеповерхностный перегрев_sи для этого перегрева рассчитываются коэффициенты теплоотдачиα₁иα₂;

- вычисляются критерий Bi, γ, r₀/L₀и задаются относительными координатамиr/L₀точек диска;

- по графикам в [9] находится критерий  = (r/L₀; r₀/L₀; )и по формуле (3.2.15) рассчитывается перегрев в точках на поверхности диска.

Перегрев в области источника энергии ₀связан со среднеповерхностным перегревом диска соотношением

. (3.2.16)

Рис. 3.2.4. Зависимость g = g(,)

Коэффициент неравномерности поля gзависит от двух параметровg = g(  , ),где.

На рис. 3.2.4 приведена зависимость g= g(,)для центрального положения источника.