3.2.2.2. Прямоугольная пластина

Пусть в центре прямоугольной пластины размерами L₁иL₂, толщиной расположен источник энергии, занимающий областьИрадиусомr₀(3.2.5).

Тепловая энергия от источника кондукцией через границы области Ипередается пластине, с поверхности которой рассеивается в окружающую среду конвекцией и излучением. Рассеиванием тепла с торцов будем пренебрегать. Суммарный коэффициент теплоотдачи с поверхностей пластиныα₁ и α₂, коэффициент ее теплопроводности.

Рис. 3.2.5.Прямоугольная пластина с источником энергии

В отличие от диска температурное поле прямоугольной пластины зависит от двух координат xиy, что значительно усложняет расчет. Точное решение задачи весьма громоздко и для практических расчетов неприемлемо. Поэтому пользуются приближенными аналитическими выражениями, которые получены заменой прямоугольной пластины некоторым эквивалентным диском. Основанием для такой замены является то, что температурное поле прямоугольной пластины по своему характеру близко к температурному полю диска (рис. 3.2.6). Искажение поля наблюдается только на периферии пластины.

Эквивалентным диском считают такое тело, которое, во-первых, рассеивает ту же мощность, что и реальная пластина, Р=Р_эи, во-вторых, температура перегрева пластины в точке с координатами (x, y) с удовлетворительной точностью равна температуре перегрева эквивалентного диска в соответствующей точке с радиусомr, или, другими словами, среднеповерхностная температура перегрева пластины равна среднеповерхностной температуре перегрева эквивалентного диска

.

Рис. 3.2.6. Эскиз прямоугольной пластины

Выражая мощности, рассеиваемые реальной пластиной и эквивалентным диском через коэффициенты теплоотдачи и среднеповерхностные температуры, получают

.

С учетом второго условия имеют , откуда

, (3.2.17)

где Sи- площадь теплоотдающей поверхности пластины и эквивалентного диска.

Приняв равными толщину пластины и эквивалентного диска (δ = δ_э), их коэффициенты теплопроводности (λ = λ_э) и радиусы окружностей областейИ(r₀ = r_0э) и выбрав начало координат пластины центре областиИ, можно показать, что размеры эквивалентного диска и радиус его точки, соответствующей точкеr пластины с координатамиx, у,будут соответственно равны

. (3.2.18)

Перейдя от прямоугольной пластины к эквивалентному диску, тепловой коэффициент любой точки с радиусом r, соответствующий точке пластины с координатамиxиy,будет выражаться аналогично (3.2.14)

,

где ;

.

Выразив в критерии Biпараметры эквивалентного диска через параметры пластины и положив₁ + ₂ = 2 ,получают

, (3.2.19)

где ;.

Площади теплоотдающих поверхностей пластины Sи эквивалентного диска (с одной стороны) равны

.

Расчет температурного поля прямоугольной пластины, после замены ее эквивалентным диском, выполняется аналогично изложенному выше расчету температурного поля диска с учетом соотношения параметров - координат точки, геометрических размеров диска и критерия .

Перегрев пластины ₀в областиИ находится, как и для диска, из соотношения, где - среднеповерхностный перегрев пластины.

Коэффициент g = f(, )находится из графика (рис. 3.2.4), при этом

. (3.2.20)