4.1. Принцип суперпозиции температурных полей

Пусть имеем систему тел 1, 2 и 3 (рис. 4.1.1). В телах действуют источники тепла, мощности которых ,,. Средне поверхностные температуры тел соответственно примем равными,и(положим>>). Между телами, а также телами и окружающей средой происходит теплообмен. Направление тепловых потоков для принятых температур тел представлено на рис. 4.1.1.

В стационарном режиме температура -го тела находится на основании принципа суперпозиции температурных полей, который гласит:

Если мощности источников тепла, коэффициенты теплопроводности отдельных частей системы и их коэффициенты теплоотдачи не зависят от температуры, то температура в любой точке системы следующим образом зависит от мощности источников:

, (4.1.1)

где - мощность источника тепла -го тела (-ой области системы),- тепловые коэффициенты между -м и -м телами (областями), - число тел системы с источниками тепла.

Рис. 4.1.1. Теплообмен в системе тел

Другими словами, температура перегрева -ой точки представляет собой сумму перегревов, создаваемых в этой точке каждым -ым источником тепла

.

Уравнение (4.1.1) остается справедливым и в том случае, когда в системе имеются стоки энергии. В этом случае мощность стоков следует записывать со знаком минус. Как видно из (4.1.1), для определения температуры -го тела необходимо знать тепловые коэффициенты между этим телом и-ми телами системы. Эти тепловые коэффициенты можно находить экспериментально, аналитически и методом моделирования.

Экспериментальный метод определения сводится к следующему: замеряется температура в-ой точке (-ом теле), при этом мощности всех источников энергии кроме- го должны равняться нулю. Поскольку перегрев в-ой точке определяется только мощностью- го источника, т.е. , то измеряяи, знаяи , находят тепловой коэффициент между-м и-м телами

.

Аналитический метод расчета тепловых коэффициентов для различных способов переноса тепла рассмотрен в [2]. Так, при переносе тепла кондукцией между -ой и-ой изотермическими поверхностями при условии, что на участке между этими поверхностями отсутствуют стоки энергии и источники тепла, выражение теплового коэффициента (теплового сопротивления) имеет вид

,

где - координаты изотермических поверхностей.

В частности, для плоской стенки в предположении, что ее торцы адиабатические (приток и сток энергии отсутствуют) тепловой коэффициент, представляющий тепловое сопротивление, будет равен

,

для цилиндрической стенки

.

При теплообмене конвекцией между поверхностью -го тела и окружающей его жидкой или газообразной средой тепловой коэффициент можно считать тепловым сопротивлением. Так можно считать при условии, что в приграничной слое не происходит экзо- и эндотермических реакций. Это сопротивление равно

.

Если теплообмен происходит через жидкую или газообразную прослойку, ограниченную поверхностями и , тепловой коэффициент будет равен

.

При обмене излучением между -ой и-ой поверхностями тепловое сопротивление определяется по формуле

.

Заметим, что величина, обратная тепловому коэффициенту, есть тепловая проводимость .

Как указывалось, принцип суперпозиции температурных полей исходит из того, что коэффициенты теплопроводности и коэффициенты теплообмена (теплоотдачи и теплопередачи), входящие в тепловой коэффициент, не зависят от температуры. Если коэффициенты теплопроводности твердых тел мало зависят от температуры и при расчетах принимаются постоянными величинами, то зависимостью коэффициентов теплообмена от температуры пренебречь нельзя.

Принцип суперпозиции применим и в этом случае, но при этом используется метод последовательных приближений.