- •2008 Содержание
- •5.8 Нечеткие высказывания и нечеткие выводы… 112
- •6. Построение нечетких систем в диалоговом режиме с помощью Fuzzy Logic Toolbox ……….130
- •1 Обоснование теории нечетких множеств
- •1.1 Введение
- •1.2 Анализ видов неопределенности информации, характерных для процесса управления сложными системами
- •1.3 Человеко-машинные системы
- •1.4 Нечеткие системы
- •1.5 Возможности применения теории нечетких множеств и интервального анализа для описания различных видов неопределенности
- •2. Теория нечетких множеств
- •2.1. Четкие множества
- •2.2 Операции над четкими множествами
- •2.3 Декартово произведение множеств
- •3. Нечеткие множества
- •3.1 Понятие нечеткого множества
- •3.2 Некоторые характеристики нечетких множеств
- •3.3 Нечеткая и лингвистическая переменные
- •3.4 О методах построения функций принадлежности нечетких множеств
- •3.5 Операции над нечеткими множествами
- •4 Нечеткие числа
- •4.1 Понятие нечеткого числа
- •4.2 Операции над нечеткими числами
- •4.3 Нечеткие отношения
- •4.4 Свойства нечетких отношений
- •5 Основы математической логики
- •5.1 Алгебра высказываний
- •5.2 Булевы функции
- •5.3 Логика предикатов
- •5.4 Равносильные формулы логики предикатов
- •1) И ;
- •2) И ;
- •3) И ;
- •4) И .
- •5.5 Нечеткая логика
- •5.6 Нечеткие логические формулы и их свойства
- •5.7 Нечеткие предикаты и кванторы
- •5.8 Нечеткие высказывания и нечеткие выводы
- •5.9 Промышленные применения
- •6. Построение нечетких систем в
- •Диалоговом режиме с помощью
- •Fuzzy Logic Toolbox
- •1. Алгебра высказываний.
3.5 Операции над нечеткими множествами
Над нечеткими множествами можно производить различные операции, при этом необходимо определить их так, чтобы в частном случае, когда множества являются четкими, эти операции переходили в обычные операции четких множеств, рассмотренных выше. Другими словами, операции над нечеткими множествами должны обобщать соответствующие операции над четкими множествами. При этом обобщение может быть реализовано различными способами, из-за чего какой-либо операции над обычными множествами может соответствовать несколько операций в теории нечетких множеств.
Если в теории четких множеств понятие характеристической функции играет второстепенную роль, то для нечетких множеств функция принадлежности становится единственно возможным средством их описания. С формальной точки зрения нет необходимости различать нечеткое множество и его функцию принадлежности. Поэтому все операции над нечеткими множествами проводятся с соответствующими функциями принадлежности.
Логические операции.
- Включение. Пусть - нечеткие множества на универсальном множестве . Говорят, что , если
. (3.5)
Включение обозначается, как . Иногда используют термин доминирование, то есть в случае, когда , говорят, что .
Помимо определенной выше операции включения, которую можно назвать четким включением, вводится операция нечеткого включения.
- Определение. Степень включения нечеткого множества в нечеткое множество определяется по формуле
(3.6)
Если , то нечеткое множество нечетко включается в нечеткое множество . Если , то нечетко не включается в . Нечеткое включение обозначается как , а не включение – как .
Пример. Пусть даны два нечетких множества
,
.
Требуется определить степень нечеткого включения множества во множество .
Решение. Согласно определению возьмем операцию конъюнкции по всем возможным парам элементов
Таким образом, множество нечетко включается в нечеткое множество .
Самостоятельно вычислить степень включения множества во множество . Ответ .
Имеет место следующее утверждение: если нечеткое множество включается в нечеткое множество , то выполняется и нечеткое включение; обратное утверждение не выполняется.
Доказательство. Пусть на универсальном множестве определены два нечетких множества , докажем, что .
Если , то
Из определения операции конъюнкции следует, результат будет минимальным из всех . Поскольку по условию
, то .
Рассмотрим второй случай, когда
.
Тогда .
Если выполняется только условие , то из этого не следует, что
.
- Равенство. Множества равны, если
. (3.7)
Равенство записывается как .
Вводится понятие нечеткого равенства.
- Определение. Степень нечеткого равенства определяется как
. (3.8)
Если , то множества нечетко равны и обозначается как .
Если , то множества нечетко не равны и обозначается как .
Если , то множества взаимно индифферентны .
Пример. Пусть на универсальном множестве определены два нечетких множества
,
Определить степень равенства. Согласно определению имеем
Отсюда следует, что множества нечетко равны .
Преобразуем степень равенства следующим образом:
(3.9)
При преобразовании использовано свойство коммутативности конъюнкции.
Из формулы (3.9) следует, что степень равенства нечетких множеств равна минимальной из степеней их взаимного включения.
Если , то есть множества нечетко равны, тогда
и
Отсюда следует метод доказательства равенства нечетких множеств, основанный на доказательстве из взаимного включения.
Утверждение, что если нечеткие множества равны, то есть выполняется условие , то эти множества являются и нечетко равными, доказать самостоятельно.
- Дополнение. Пусть нечеткие множества, заданные на универсальном множестве . дополняют друг друга, если
. (3.10)
Обозначение: или . Очевидно выполнение следующего равенства.
Обычно для определения пересечения, объединения используют следующие операции:
- Пересечение. Пересечением двух нечетких множеств называется наибольшее нечеткое, содержащееся одновременно в . Для определения пересечения используют следующие операции:
1) максиминные
. (3.11)
Пересечение соответствует союзу и, более компактно записывается как
(3.12)
где символ обозначает взятие min.
2) ограниченные
. (3.13)
- Объединение. Объединением двух нечетких множеств называют нечеткое множество , включающее как так и . Для определения объединения так же используют операции:
1) максиминные
; (3.14)
Объединение по максиминному типу соответствует союзу или и более компактно записывается как
. (3.15)
где символ обозначает операцию взятия max.
2) ограниченные
. (3.16)
- Разность. Разность определяется как максиминная операция
, (3.17)
с функцией принадлежности
. (3.18)
- Дизъюнктивная сумма
, (3.19)
с функцией принадлежности
(3.20)
Примеры. Пусть
;
;
.
Здесь:
1) , то есть содержится в или доминирует ; несравнимо ни с , ни с , другими словами, пары и -пары недоминируемых нечетких множеств.
2) .
3) ; ; .
4) == =.
5) ==
=
6) = ==
=;
= ==
=.
7) = .
Логические операции над нечеткими множествами можно изобразить геометрически. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значение , а на оси абсцисс элементы универсального множества . Графическое представление делает более наглядным простые логические операции над нечеткими множествами.
А
Х
Свойство операций объединения и пересечения.
Пусть - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства:
1) коммутативность ; (3.21)
2) ассоциативность ; (3.22)
3) идемпотентность ; (3.23)
4) дистрибутивность
; (3.24)
5) , где - пустое множество, то есть
; (3.25)
6) ; (3.26)
7) ; (3.27)
8) ; (3.28)
9) теоремы де Моргана . (3.29)
В отличие от четких множеств, для нечетких в общем случае имеет место:
; . (3.30)
Следует отметить, что введенные выше операции и свойства основаны на использовании операции min и max.
Алгебраические операции над нечеткими множествами.
Алгебраическим произведением нечетких множеств называется нечеткое множество , определяемое как
. (3.31)
Алгебраическая сумма этих множеств называется множество , определяемое как
. (3.32)
Для алгебраических операций произведения и суммы выполняются следующие свойства:
коммутативность ; (3.33)
ассоциативность (3.34)
, , , ;
Теоремы де Моргана . (3.35)
Не выполняются:
идемпотентность ; (3.36)
дистрибутивность ; (3.37)
а также , . (3.38)
При совместном использовании логических операций и алгебраических выполняются следующие свойства:
1) ; (3.39)
2) ; (3.40)
3) ; (3.41)
4) . (3.42)
На основании алгебраического произведения определяется операция возведение в степень нечеткого множества, где - положительное число. Нечеткое множество определяется функцией принадлежности . Частным случаем возведения в степень являются:
операция концентрирования (уплотнения) - ;
операция растяжения - ,
которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями.
Умножение на число. Если - положительное число, такое, что , то нечеткое множество имеет функцию принадлежности
.
Выпуклая комбинация нечетких множеств. Пусть - нечеткие множества универсального множества , а - неотрицательные числа, сумма которых равна 1. тогда выпуклой комбинацией называется нечеткое множество с функцией принадлежности
. (3.43)
Декартово (прямое) произведение нечетких множеств. Пусть - нечеткие множества соответствующих универсальных множеств . Декартово (прямое) произведение является нечеткое подмножество множества c функцией принадлежности
(3.44)
Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества.
Пусть - нечеткое множество, - универсальное множество и для всех определены нечеткие множества . Совокупность всех называется ядром увеличения нечеткости . Результатом действия оператора на нечеткое множество будет нечеткое множество следующего вида
, (3.45)
где - произведение числа на нечеткое множество.
Пример.
; ; ; ; ; .
Тогда