- •2008 Содержание
- •5.8 Нечеткие высказывания и нечеткие выводы… 112
- •6. Построение нечетких систем в диалоговом режиме с помощью Fuzzy Logic Toolbox ……….130
- •1 Обоснование теории нечетких множеств
- •1.1 Введение
- •1.2 Анализ видов неопределенности информации, характерных для процесса управления сложными системами
- •1.3 Человеко-машинные системы
- •1.4 Нечеткие системы
- •1.5 Возможности применения теории нечетких множеств и интервального анализа для описания различных видов неопределенности
- •2. Теория нечетких множеств
- •2.1. Четкие множества
- •2.2 Операции над четкими множествами
- •2.3 Декартово произведение множеств
- •3. Нечеткие множества
- •3.1 Понятие нечеткого множества
- •3.2 Некоторые характеристики нечетких множеств
- •3.3 Нечеткая и лингвистическая переменные
- •3.4 О методах построения функций принадлежности нечетких множеств
- •3.5 Операции над нечеткими множествами
- •4 Нечеткие числа
- •4.1 Понятие нечеткого числа
- •4.2 Операции над нечеткими числами
- •4.3 Нечеткие отношения
- •4.4 Свойства нечетких отношений
- •5 Основы математической логики
- •5.1 Алгебра высказываний
- •5.2 Булевы функции
- •5.3 Логика предикатов
- •5.4 Равносильные формулы логики предикатов
- •1) И ;
- •2) И ;
- •3) И ;
- •4) И .
- •5.5 Нечеткая логика
- •5.6 Нечеткие логические формулы и их свойства
- •5.7 Нечеткие предикаты и кванторы
- •5.8 Нечеткие высказывания и нечеткие выводы
- •5.9 Промышленные применения
- •6. Построение нечетких систем в
- •Диалоговом режиме с помощью
- •Fuzzy Logic Toolbox
- •1. Алгебра высказываний.
5.4 Равносильные формулы логики предикатов
Рассматривая формулы логики предикатов над полем можно говорить о формулах, равносильных над данным полем, то есть о таких формулах, которые принимают одно и то же значение при замене свободных предметных переменных предметами и всех переменных предикатов – определенными.
Пример. Рассмотрим формулы и над полями и .
Пусть и даны над полем . Значениями переменного предиката могут быть два определенных предиката и (см. табл.)
Предикаты над полем
-
x
0
1
Равносильность над полем
-
0
0
1
1
Пусть теперь формулы и даны над полем . В качестве значений переменного предиката нужно взять определенные предикаты над полем . Таких предикатов существует четыре (см. табл.). Составив истинностную таблицу формул и , легко убедиться в них неравносильности над полем .
Предикаты над .
-
0
0
1
1
0
1
0
1
Неравносильность над .
-
0
0
0
1
0
1
1
1
Формулы предикатов называются равносильными, если они равносильны над любым полем. Приведем примеры равносильных формул:
1) И ;
2) И ;
3) И ;
4) И .
Докажем равносильность первой пары формул. Пусть - произвольное поле, а - некоторый определенный предикат над этим полем. Подставим вместо переменного предиката определенный предикат . Пусть высказывание истинное, тогда высказывание ложное. Следовательно, существует предмет из поля , что ложно, тогда - истинно. Значит, высказывание истинно. Аналогичными рассуждениями получим, что из предположения ложности высказывания следует ложность высказывания .
Среди всех формул логики предикатов можно выделить формулы, истинные над любым полем, их называют тождественными. Например, формула является тождественно-истинной.
В общем случае выяснить вопрос, является ли данная формула тождественно-истинной, сложно, так как приходится использовать понятие бесконечности.
5.5 Нечеткая логика
Так же как в основе теории четких множеств лежит четкая логика, в случае нечетких множеств существует нечеткая логика – основа для операций, рассмотренных выше. В случае двузначной четкой логики существуют полные системы, образованные операциями НЕ-И-ИЛИ, НЕ-И и НЕ-ИЛИ. С их помощью можно записать все другие логические операции. В случае нечеткой логики можно создать неограниченное число операций, поэтому нет смысла говорить о записи всех операций с помощью некоторого числа базовых операций, поэтому рассмотрим только наиболее важные из них.
Нечеткие высказывания и операции над ними
Нечеткая истинность. Особое место в нечеткой логике занимает лингвистическая переменная «истинность» относительно некоторого нечеткого высказывания.
Определение. Нечетким высказыванием называют предложение, относительно которого можно судить о степени его истинности или ложности , принимающей значение из интервала [0,1]
В классической логике истинность может принимать только два значения: истинно и ложно. В нечеткой логике истинность размыта. Нечеткая истинность определяется аксиоматически, причем разными авторами по-разному. Интервал [0,1] используется как универсальное множество для задания лингвистической переменной «истинность». Четкая истинность может быть представлена функцией принадлежности следующего вида
, ,
где .
Обозначим нечеткие логические переменные через и , а функции принадлежности, задающие истинностные значения этих переменных - через и , . Нечеткие логические операции: конъюнкция «И» - (); дизъюнкция «ИЛИ» - ; отрицание «НЕ» - (); импликация () выполняются по следующим правилам.
конъюнкция двух нечетких высказываний и обозначается как и имеет степень истинности ;
дизъюнкция двух нечетких высказываний и обозначается как и имеет степень истинности ;
отрицание нечеткого высказывания - есть высказывание степенью истинности ;
импликация двух нечетких высказываний есть нечеткое высказывание со степенью истинности ;
Истинность импликации не меньше чем степень ложности ее посылки или степени истинности ее следствия.
Пример. Пусть нечеткое высказывание имеет степень истинности , а нечеткое высказывание имеет степень истинности . Импликация этих высказываний будет иметь степень истинности
Эквивалентность двух нечетких высказываний и есть нечеткое высказывание , степень истинности, которого определяется, как
Из определения эквивалентности следует, что истинность эквивалентности совпадает с менее истинной из импликаций и .
Определение. Два нечетких высказывания и называются нечетко близкими, если степень истинности их эквивалентности больше или равна 0.5. В последнем случае высказывания и называют взаимно нечетко индифферентными.
Порядок выполнения операций над высказываниями таков: скобки, отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность.
Пример. Вычислить степень истинности составного нечеткого высказывания
, если , и