- •2008 Содержание
- •5.8 Нечеткие высказывания и нечеткие выводы… 112
- •6. Построение нечетких систем в диалоговом режиме с помощью Fuzzy Logic Toolbox ……….130
- •1 Обоснование теории нечетких множеств
- •1.1 Введение
- •1.2 Анализ видов неопределенности информации, характерных для процесса управления сложными системами
- •1.3 Человеко-машинные системы
- •1.4 Нечеткие системы
- •1.5 Возможности применения теории нечетких множеств и интервального анализа для описания различных видов неопределенности
- •2. Теория нечетких множеств
- •2.1. Четкие множества
- •2.2 Операции над четкими множествами
- •2.3 Декартово произведение множеств
- •3. Нечеткие множества
- •3.1 Понятие нечеткого множества
- •3.2 Некоторые характеристики нечетких множеств
- •3.3 Нечеткая и лингвистическая переменные
- •3.4 О методах построения функций принадлежности нечетких множеств
- •3.5 Операции над нечеткими множествами
- •4 Нечеткие числа
- •4.1 Понятие нечеткого числа
- •4.2 Операции над нечеткими числами
- •4.3 Нечеткие отношения
- •4.4 Свойства нечетких отношений
- •5 Основы математической логики
- •5.1 Алгебра высказываний
- •5.2 Булевы функции
- •5.3 Логика предикатов
- •5.4 Равносильные формулы логики предикатов
- •1) И ;
- •2) И ;
- •3) И ;
- •4) И .
- •5.5 Нечеткая логика
- •5.6 Нечеткие логические формулы и их свойства
- •5.7 Нечеткие предикаты и кванторы
- •5.8 Нечеткие высказывания и нечеткие выводы
- •5.9 Промышленные применения
- •6. Построение нечетких систем в
- •Диалоговом режиме с помощью
- •Fuzzy Logic Toolbox
- •1. Алгебра высказываний.
4 Нечеткие числа
4.1 Понятие нечеткого числа
Нечеткие числа – это нечеткие переменные на числовой оси, другими словами, нечеткое число определяется как нечеткое множество на множестве действительных чисел с функцией принадлежности , где .
Нечеткое число называется нормальным, если и выпуклым, если для любых выполняется
.
Множество - уровня нечеткого числа определяется как четкое множество
.
Подмножество называется носителем нечеткого числа , если
.
Нечеткое число унимодально, если условие справедливо только для одной точки действительной оси.
Выпуклое нечеткое число называется нечетким нулем, если .
Нечеткое число положительно, если и отрицательно, если .
4.2 Операции над нечеткими числами
Расширенные бинарные арифметические операции (сложение, умножение и пр.) для нечетких чисел определяются через соответствующие операции для четких чисел с использованием принципа обобщения следующим образом:
- сложение , ;
- вычитание , ;
- умножение , ;
- деление , .
Использовать определенные таким образом алгебраические операции над нечеткими числами нецелесообразно, ввиду большого объема вычислений. Поэтому часто используют представление нечетких чисел в - форме, что соответствует описанию левой (left) и правой (right) частей функции принадлежности.
Нечеткое число в - форме имеет представление
где и - функции, обладают свойствами:
,
.
Функция монотонно убывает на промежутке . Здесь - среднее значение нечеткого числа, - отклонение от среднего значения слева, - отклонение справа. Если ==0, то нечеткое число переходит в четкое число .
Таким образом, нечеткое число в - форме можно представить в виде тройки чисел . Тогда арифметические операции над нечеткими числами можно определить через операции над соответствующими им тройками:
- сложение
- вычитание
- умножение
На практике - представление упрощается за счет применения линейных функций, что приводит к треугольным нечетким числам, которые функцию принадлежности следующего вида
.
Кроме того, получили распространение трапециевидные формы функций принадлежности, которые имеют вид
.
Решение задач математического моделирования сложных систем с применением аппарата нечетких множеств требует выполнения большого объема операций над различного рода лингвистическими и другими нечеткими переменными. Для удобства выполнения операций, а также для ввода-вывода и хранения данных, желательно работать с функциями принадлежности стандартного типа.
К сожалению, даже при сведении нечетких чисел до понятия треугольных чисел, остаются нерешенными проблемы противоположного и обратного элементов и свойство дистрибутивности. Еще один существенный недостаток такого подхода. Размытость произведения зависит не только от размытости сомножителей, но и от того, какое место данные нечеткие числа занимают на числовой оси. Например, пусть
А=(1, 2, 3), В=(2, 3, 4), тогда АВ=(2, 6, 12)
и С=(99, 100, 101), Е=(100, 101, 102),
тогда СЕ=(9 900, 10 100, 10 302).
Из этого примера следует, что СЕ более размыто, чем АВ.
Нечеткие множества, которые приходится применять в большинстве задач, являются, как правило, унимодальными и нормальными. Одним из возможных методов аппроксимации унимодальных нечетких множеств является аппроксимация с помощью - представлении.