- •2008 Содержание
- •5.8 Нечеткие высказывания и нечеткие выводы… 112
- •6. Построение нечетких систем в диалоговом режиме с помощью Fuzzy Logic Toolbox ……….130
- •1 Обоснование теории нечетких множеств
- •1.1 Введение
- •1.2 Анализ видов неопределенности информации, характерных для процесса управления сложными системами
- •1.3 Человеко-машинные системы
- •1.4 Нечеткие системы
- •1.5 Возможности применения теории нечетких множеств и интервального анализа для описания различных видов неопределенности
- •2. Теория нечетких множеств
- •2.1. Четкие множества
- •2.2 Операции над четкими множествами
- •2.3 Декартово произведение множеств
- •3. Нечеткие множества
- •3.1 Понятие нечеткого множества
- •3.2 Некоторые характеристики нечетких множеств
- •3.3 Нечеткая и лингвистическая переменные
- •3.4 О методах построения функций принадлежности нечетких множеств
- •3.5 Операции над нечеткими множествами
- •4 Нечеткие числа
- •4.1 Понятие нечеткого числа
- •4.2 Операции над нечеткими числами
- •4.3 Нечеткие отношения
- •4.4 Свойства нечетких отношений
- •5 Основы математической логики
- •5.1 Алгебра высказываний
- •5.2 Булевы функции
- •5.3 Логика предикатов
- •5.4 Равносильные формулы логики предикатов
- •1) И ;
- •2) И ;
- •3) И ;
- •4) И .
- •5.5 Нечеткая логика
- •5.6 Нечеткие логические формулы и их свойства
- •5.7 Нечеткие предикаты и кванторы
- •5.8 Нечеткие высказывания и нечеткие выводы
- •5.9 Промышленные применения
- •6. Построение нечетких систем в
- •Диалоговом режиме с помощью
- •Fuzzy Logic Toolbox
- •1. Алгебра высказываний.
5.6 Нечеткие логические формулы и их свойства
Определение. Нечеткая высказывательная переменная - это нечеткое высказывание, степень истинности которого может принимать значения из интервала [0,1].
Определение. Нечеткой логической формулой называется:
а) любая нечеткая высказывательная переменная или константа из [0,1];
б) выражение , полученное из нечетких логических формул и применением к ним любого конечного числа логических операций.
В частности, составные нечеткие высказывания также являются логическими формулами, если образующие их нечеткие высказывания рассматривать как нечеткие высказывательные переменные.
Определение. Степень равносильности формул и обозначается, как и определяется следующим образом
=).
Если степень равносильности нечетких логических формул и на всех определенных наборах степеней истинности высказывательных переменных больше или равно 0.5, то такие формулы называются нечетко близкими на этих наборах и обозначаются как . Если , то формулы не являются нечетко близкими.
Отметим, что при формулы одновременно являются и не являются нечетко близкими и их называют индифферентными. Равносильность четких логических формул является частным случаем нечеткой близости.
Пример. Определить степень равносильности формул:
и ,
где принимает степени истинности из набора дискретных значений {0.8,0.6,0.7}, а - из {0.3,0.4}.
Выбирая все возможные наборы степеней истинности и , получим
Отсюда следует, что формулы нечетко близки.
Проверить самостоятельно будут ли эти формулы нечетко близкими, если принимает степени истинности из набора дискретных значений {0.2,0.4}, а - из {0.6,0.7,0.8}.
Определение. Если при всех определенных значениях степеней истинности нечетких переменных значение степени истинности логической формулы больше или равно 0.5, то формула является нечетко истинной на данном наборе переменных и обозначается через . Если значение степени истинности меньше или равно 0.5, то логическая формула называется нечетко ложной и обозначается .
Пусть нечетко истинные и нечетко ложные формулы на одних и тех же наборах переменных, тогда справедливы следующие соотношения:
,
,
,
.
Если произвольные ложные формулы, то справедливы соотношения:
,
,
где определены на одних и тех же наборах переменных.
Пример. Простейшие примеры нечетко истинных и нечетко ложных формул
и
Это следует из определения операций отрицания, конъюнкции и дизъюнкции.
Если одна нечеткая логическая формула имеет представление , а другая - , где нечеткие формулы от переменных , то можно утверждать, что такие формулы нечетко близкие .
Доказательство:
продолжить доказательство.
Запишем соотношения, справедливые для любых наборов значений истинности нечетких переменных. Пусть - нечеткие логические формулы, тогда имеет место
1. ,
2. ,
3. , ,
4. ,
,
5. ,
,
6. ,
,
7. , ,
8. ,
9. ,
10. ,
11. ,
12. , ,
13. ,
14. ,
15. ,
16. .
Пусть - константы и , тогда имеют место следующие соотношения:
, .
, .
,
.
Для доказательства каждого из приведенных выражений необходимо показать, что степень равносильности формул больше или равно 0.5. Это возможно тогда, когда формулы принимают одни и те же значения степени истинности на одинаковых наборах переменных, либо имеют степень истинности одновременно меньшую или равную 0.5 или большую или равную 0.5.
В качестве примера докажем формулу (6) . Для доказательства обозначим и . Тогда
, .
Пусть на всех наборах одновременно выполняется , тогда , а .
Степень истинности определится как
Показать истинность этой формулы при .
В четкой логике логические операции могут быть заданы таблицами истинности. В нечеткой логике количество возможных значений истинности может быть бесконечным, поэтому представление в табличном виде логических операций невозможно. Однако в табличном виде можно представить нечеткие логические операции для ограниченного количества истинностных значений, например, для терм-множества {«истинно», «очень истинно», «не истинно», «более-менее ложно», «ложно»}. Для трехзначной логике с нечеткими значениями истинности: - «истинно», - «ложно», - «неизвестно» Л. Заде предложил такие лингвистические таблицы истинности, которые легко получить, исходя из выше приведенных формул.
Таблица 17
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применяя правила выполнения нечетких логических операций, определенных выше, можно расширить таблицу истинности для большого числа термов. Как это сделать рассмотрим на следующем примере.
Пример. Заданы следующие нечеткие истинностные значения:
Истинно = 0/0+0/0.2+0.25/0.4+0.5/0.6+0.9/0.8+1/1;
Более – менее истинно
= 0/0+0/0.2+0.5/0.4+0.7/0.6+0.95/0.8+1/1;
Почти истинно
= 0/0+0.05/0.2+0.4/0.4+0.7/0.6+1/0.8+0.8/1.
Применяя правила выполнения нечетких логических операций, найдем значение выражения «почти истинно ИЛИ истинно»:
Почти истинно истинно
= 0/0+0.05/0.2+0.4/0.4+1/0.8+1/1.
Из сравнения полученного нечеткого множества с нечетким множеством «более – менее истинно», видно, что они почти равны. Значит
Почти истинно истинно более – менее истин.
В результате выполнения логических операций часто получаются нечеткие множества, которые не эквивалентны ни одному из ранее введенных нечетких значений истинности. В этом случае необходимо среди нечетких значений истинности найти такое, которое соответствует результату выполнения логической операции в максимальной степени. Другими словами, необходимо провести так называемую лингвистическую аппроксимацию, которая может рассматриваться как аналог аппроксимации эмпирического статистического распределения стандартными функциями распределения случайных величин. В качестве примера рассмотрим предложенные Балдвином лингвистические таблицы истинности для нечетких значений истинности
Таблица 18
-
ложно
ложно
истинно
ложно
истинно
истинно
неопределенно
ложно
неопределенно
истинно
неопределенно
неопределенно
истинно
очень истинно
истинно
более-менее истинно
ложно
ложно
ложно
истинно
истинно
истинно
ложно
неопределенно
неопределенно
истинно
неопределенно
неопределенно
истинно
очень истинно
более-менее истинно
истинно
Вначале рассмотрим расширения НЕ, И, ИЛИ до нечетких операций. Эти расширения называются соответственно нечетким отрицанием называются -нормой и - нормой. В нечетком мире число состояний неограниченно велико, поэтому невозможно описать эти операции с помощью таблицы истинности, как в случае двузначной логики. Поясним эти операции, используя функции и несколько аксиом.