- •2. Нелинейные системы автоматического управления
- •2.1 Общие сведения о нелинейных системах
- •2.2. Математические модели замкнутых нелинейных систем автоматического управления
- •2.3. Исследование нелинейных систем методом фазовой плоскости
- •2.3.1. Основные понятия
- •2.3.2. Классификация фазовых портретов
- •2.3.3. Построение фазовых траекторий
- •2.3.4. Скользящие режимы в нелинейных системах
- •2.3.5. Система с переменной структурой
- •2.4. Метод припасовывания
- •2.5. Метод точечного преобразования
- •2.6.Метод гармонической линеаризации
- •2.6.1. Исходные положения метода гармонической линеаризации
- •2.6.2. Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации
- •2.6.3. Алгебраический метод определения симметричных колебаний
- •2.6.4. Частотный метод определения симметричных колебаний
- •2.6.5. Вынужденные колебания в нелинейных системах
- •2.7.Устойчивость процессов в нелинейных системах
- •2.7.1.Основные понятия и определения
- •2.7.2.Теоремы Ляпунова
- •2.7.3. Абсолютная устойчивость
- •2.8. Коррекция нелинейных систем
- •2.8.1. Коррекция нелинейной системы с помощью обратной связи
- •2.8.2. Коррекция нелинейной системы с помощью вибрационного сглаживания
- •3. Случайные процессы в системах автоматического управления
- •3.1. Случайные процессы и их характеристики
- •3.2. Прохождение случайных сигналов через линейную непрерывную систему автоматического управления
- •3.3. Расчёт точности системы при случайных воздействиях
- •3.4. Особенности синтеза систем автоматического управления
- •3.5. Случайные процессы в импульсных системах
- •3.6. Случайные процессы в нелинейных системах
- •4. Элементы современной теории автоматического управления
- •4.1. Оптимальное управление
- •4.2 Интеллектуальные сау
- •4.2.1. Экспертные информационные системы
- •4.2.2. Нейросетевые сау
- •4.2.3. Сау с ассоциативной памятью
- •4.2.4. Системы управления с нечёткой логикой
- •Литература
2.6.5. Вынужденные колебания в нелинейных системах
Рассмотрим НСАУ, структурная схема которой приведена на рис. 2.2, в режиме вынужденных движений, когда на вход системы подается сигнал . Будем искать решение в виде.
Для гармонически линеаризованной системы используем связь изображения ошибки и входного воздействиячерез передаточную функцию замкнутой системы по ошибке. Сделав заменуи подставив значенияив показательной форме, получим
.
После очевидных преобразований имеем
. (2.67)
Здесь – основание натурального логарифма.
Для определения решений (2.67) строится в системе координат линейной части системы зависимость, соответствующая левой части (2.67) (обозначим ее А) и окружность радиуса с центром в начале координат (рис. 2.19,а). Точка пересечения 1 дает искомые значения и. Колебания будут устойчивы (т.е. в НСАУ возникнут автоколебания), если при ростевозрастает значение.
В нелинейных системах наличие автоколебаний зависит от величины внешнего воздействия. Если кривая А начинается не в начале координат, то режим в НСАУ зависит от пороговой величины внешнего воздействия (рис. 2.19,б).
Рис. 2.19
Значение соответствует точке 1 касания окружности линииА. Эта граница раздела движений на колебания (автоколебания), когда и вынужденные колебания, когда. Они могут быть устойчивыми (точка 2) и неустойчивыми (точка 3).
2.7.Устойчивость процессов в нелинейных системах
2.7.1.Основные понятия и определения
Раздел, посвященный анализу устойчивости систем автоматического управления, является традиционным при изложении курса ТАУ. Объясняется это тем, что системы управления с обратными связями (кибернетические системы) склонны к неустойчивости. Устойчивостью любого явления в природе называют его способность достаточно длительно сохранять те формы своего существования, при утрате которых явление перестает существовать. Применительно к САУ этими явлениями являются протекающие в них процессы.
Основные определения и методы анализа устойчивости были даны в работах крупнейшего российского математика Ляпунова А.М.
Рассмотрим простейший случай нелинейной системы первого порядка рис. 2.2, которая описывается нелинейным дифференциальным уравнением
, (2.68)
где − входное воздействие,− исследуемая координата.
Пусть при задано начальное значение искомого решенияи задано определенное входное воздействиепри. В этом случае уравнение (2.68) имеет определенное решение, которое будем называтьневозмущенным процессом (решением, движением). Любое другое решение, обусловленное другими начальными условиями , но при том же воздействии, будем называтьвозмущенным и обозначать . Задача ставится следующим образом: как ведет себя возмущенное движениеотносительно невозмущенногос течением времени, т.е. при, или как ведет себя отклонениепри. Решение этой задачи и составляет предмет математической теории устойчивости.
Анализ поведения решений исходного уравнения можно заменить анализом тривиального решения уравнения
, (2.69)
полученного из (2.68) заменой .
Уравнение (2.68) называется уравнением возмущенного движения в отклонениях. Это уравнение всегда имеет решение .
Рассмотрим общий случай нелинейной системы произвольного порядка, для которой уравнения возмущенного движения в отклонениях имеют вид:
,, (2.70)
где при функции.
Дадим ряд понятий и определений устойчивости, следуя работам Ляпунова.
Невозмущенное решение (положение равновесия) называетсяустойчивым, если при заданном , сколь бы оно мало ни было, существует такое, в общем случае зависящее от, что при начальных отклонениях , будет выполняться условие , при.
Невозмущенное решение называетсянеустойчивым, если хотя бы для одного условие не выполняется.
Если решение устойчиво и дополнительно при,, то невозмущенное решениебудем называтьасимптотически устойчивым.
Если положение равновесия асимптотически устойчиво при любых начальных отклонениях , т.е., то говорят обустойчивости в целом. Если известна величина , то говорят обустойчивости в большом или об устойчивости в области. Если известно, что величина существует и может быть сколь угодно малой, то говорят обустойчивости в малом.
Наконец, если положение равновесия асимптотически устойчиво в целом при любых нелинейных функциях из заданного класса, то говорят обабсолютной устойчивости нелинейной системы (2.70).
Отметим, что в случае линейной системы положение равновесия устойчиво (асимптотически устойчиво) при любых отклонениях, т.е. устойчиво в целом. Кроме этого следует помнить, что устойчивость линейных систем не зависит от характера внешних воздействий, т.е. в этом плане устойчивость (неустойчивость) линейных систем является ее внутренним свойством.