- •2. Нелинейные системы автоматического управления
- •2.1 Общие сведения о нелинейных системах
- •2.2. Математические модели замкнутых нелинейных систем автоматического управления
- •2.3. Исследование нелинейных систем методом фазовой плоскости
- •2.3.1. Основные понятия
- •2.3.2. Классификация фазовых портретов
- •2.3.3. Построение фазовых траекторий
- •2.3.4. Скользящие режимы в нелинейных системах
- •2.3.5. Система с переменной структурой
- •2.4. Метод припасовывания
- •2.5. Метод точечного преобразования
- •2.6.Метод гармонической линеаризации
- •2.6.1. Исходные положения метода гармонической линеаризации
- •2.6.2. Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации
- •2.6.3. Алгебраический метод определения симметричных колебаний
- •2.6.4. Частотный метод определения симметричных колебаний
- •2.6.5. Вынужденные колебания в нелинейных системах
- •2.7.Устойчивость процессов в нелинейных системах
- •2.7.1.Основные понятия и определения
- •2.7.2.Теоремы Ляпунова
- •2.7.3. Абсолютная устойчивость
- •2.8. Коррекция нелинейных систем
- •2.8.1. Коррекция нелинейной системы с помощью обратной связи
- •2.8.2. Коррекция нелинейной системы с помощью вибрационного сглаживания
- •3. Случайные процессы в системах автоматического управления
- •3.1. Случайные процессы и их характеристики
- •3.2. Прохождение случайных сигналов через линейную непрерывную систему автоматического управления
- •3.3. Расчёт точности системы при случайных воздействиях
- •3.4. Особенности синтеза систем автоматического управления
- •3.5. Случайные процессы в импульсных системах
- •3.6. Случайные процессы в нелинейных системах
- •4. Элементы современной теории автоматического управления
- •4.1. Оптимальное управление
- •4.2 Интеллектуальные сау
- •4.2.1. Экспертные информационные системы
- •4.2.2. Нейросетевые сау
- •4.2.3. Сау с ассоциативной памятью
- •4.2.4. Системы управления с нечёткой логикой
- •Литература
4.2.4. Системы управления с нечёткой логикой
Рассмотрим особенности систем управления с нечёткой логикой [8, 9]. Системы с нечёткой логикой (Fussy-Logic) создают для управления сложными трудно формализуемыми и слабо структурированными процессами. При этом используется опыт специалистов-экспертов.
К основным понятиям фаззи-логики относятся нечёткое множество и лингвистическая переменная.
Под нечётким множеством понимают подмножествомножества, которое определяется непрерывной функцией принадлежностимогущей принимать значения от 0 до 1. Нечеткое множествоможет задаваться так:
. (4.2)
Лингвистическая переменная – это переменная, которая задаётся нечёткими словами или предложениями. Отдельное лингвистическое значение (терм) определяется одной функцией принадлежности. Для описания лингвистических переменных в ТАУ может применяться набор до семи термов, созданных словами: отрицательный (negative), нулевой (zero), положительный (positive), большой (big), средний (middle), малый (small), изображённых треугольными и трапецеидальными функциями принадлежности на рис. 4.4.
Рис. 4.4
Минимальный набор термов – три: N, ZE, P, но при этом осуществляется грубая декомпозиция входного пространства на подмножества.
Процедуру определения значения функции принадлежности , соответствующего конкретному значениюпеременной, называют фаззификацией. Другими словами: под фаззификацией понимают преобразование чётких значений переменных в нечёткие.
Операции с нечёткими множествами используют известные в алгебре чёткой логики операции «И», «ИЛИ», «НЕ» с той разницей, что вместо истинности переменных (0 и 1) применяют функции принадлежности.
Операция конъюнкция («И») осуществляется с помощью минимизации:
(4.3)
где нечёткое множество называется фаззи-пересечением нечётких множестви:
. (4.4)
Операция дизъюнкции («ИЛИ») осуществляется с помощью максимизации:
, (4.5)
где нечётное множество фаззи-объединение нечётких множеств и:
. (4.6)
На рис. 4.5, а показана функция принадлежности фаззи-пересечения множеств ZE и P, а на рис. 4.5, б – функция принадлежности фаззи-объединения этих множеств.
Рис. 4.5
Важнейшей операцией фаззи-логики является операция нечёткого вывода. Она основана на ряде композиционных операторов. Рассмотрим операцию импликации (связывания). Она заключается в соединении двух нечётких множеств ипо правилу «ЕСЛИТО», причём множества(посылка) и(заключение) определены на разных базисных множествахи.
Множество, соответствующее правилу «ЕСЛИ ТО», образуется из пар, относящихся к новому базисному множеству
. (4.7)
Связь между множествами иустанавливается с помощью отношения
, (4.8)
где функция принадлежности пар из декартова произведенияк подмножеству, образованному по определённому правилу.
Функцию принадлежности можно определить с помощью операции минимизации:
. (4.9)
Функцию принадлежности при конкретном значенииможно определить двумя способами:
, (4.10)
. (4.11)
Рис. 4.6 иллюстрирует эти случаи: трапеция 1 соответствует формуле (4.10), а треугольник 2-формуле (4.11).
Рис. 4.6
Нечёткое множество может представлять также пересечение или объединение нескольких множеств.
Рассмотри следующую операцию агрегирование, т.е. композицию нескольких правил «ЕСЛИ ТО», связанных через «ИЛИ». Оно осуществляется максимизацией функций принадлежности всех объединённых правил.
Результирующая функция принадлежности нечёткого множества величиныпри.
, (4.12)
где - номер правила;- функция принадлежности заключения-го правила, ограниченная значением(рис. 4.6);и функции принадлежности соответственно посылкии заключения-го правила.
Для определения конкретных значений по полученной результирующей функции принадлежности (4.12) проводится дефаззификация. Дефаззификация преобразует нечёткие величины в чёткие. В настоящее время при дефаззификации чаще всего используют два метода: метод центра тяжести и метод максимума [9].
В первом случае чёткое значение выходной переменной
, (4.13)
а для дискретных пространств
. (4.14)
Во втором случае (метод максимума)
, (4.15)
где выходная переменная, для которой функция принадлежности достигла максимума, а число таких величин.
Из этих двух методов первый даёт приемлемые результаты для установившихся режимов, а второй для переходных режимов [9].
Простейшие примеры реализации основных процедур фаззи-логики применительно к нечётким системам управления приведены в [8, 9].
В настоящее время в теории систем управления развиваются и другие подходы. Среди них выделяются теории катастроф и детерминированного хаоса.
Теория катастроф основана на объединении теории гладких отображений и теории устойчивости и бифуркаций динамических систем. Теория катастроф изучает зависимость качественного характера решения уравнений от значений параметров этих уравнений. Применительно к САУ на основании теории катастроф можно исследовать, например, потерю устойчивости при постепенном изменении какого-либо параметра, когда возникают бифуркации. Такой пример с исследованием летательного аппарата приводится в [9].
В нелинейных системах возможен режим хаотической динамики, когда траектории систем сильно зависят от начальных условий. Такие режимы возможны в механических системах с зазорами, трением скольжения, нелинейными обратными связями. Основами теории хаоса является так называемое логистическое уравнение и странный аттрактор (внутри которых нельзя предугадать поведение траекторий на длительный интервал). Изучение таких режимов позволяет глубже понять процессы в НСАУ и научно обосновать законы управления ими.
Для глубокого изучения методов современной теории автоматического управления могут быть использованы упомянутые книги.