- •2. Нелинейные системы автоматического управления
- •2.1 Общие сведения о нелинейных системах
- •2.2. Математические модели замкнутых нелинейных систем автоматического управления
- •2.3. Исследование нелинейных систем методом фазовой плоскости
- •2.3.1. Основные понятия
- •2.3.2. Классификация фазовых портретов
- •2.3.3. Построение фазовых траекторий
- •2.3.4. Скользящие режимы в нелинейных системах
- •2.3.5. Система с переменной структурой
- •2.4. Метод припасовывания
- •2.5. Метод точечного преобразования
- •2.6.Метод гармонической линеаризации
- •2.6.1. Исходные положения метода гармонической линеаризации
- •2.6.2. Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации
- •2.6.3. Алгебраический метод определения симметричных колебаний
- •2.6.4. Частотный метод определения симметричных колебаний
- •2.6.5. Вынужденные колебания в нелинейных системах
- •2.7.Устойчивость процессов в нелинейных системах
- •2.7.1.Основные понятия и определения
- •2.7.2.Теоремы Ляпунова
- •2.7.3. Абсолютная устойчивость
- •2.8. Коррекция нелинейных систем
- •2.8.1. Коррекция нелинейной системы с помощью обратной связи
- •2.8.2. Коррекция нелинейной системы с помощью вибрационного сглаживания
- •3. Случайные процессы в системах автоматического управления
- •3.1. Случайные процессы и их характеристики
- •3.2. Прохождение случайных сигналов через линейную непрерывную систему автоматического управления
- •3.3. Расчёт точности системы при случайных воздействиях
- •3.4. Особенности синтеза систем автоматического управления
- •3.5. Случайные процессы в импульсных системах
- •3.6. Случайные процессы в нелинейных системах
- •4. Элементы современной теории автоматического управления
- •4.1. Оптимальное управление
- •4.2 Интеллектуальные сау
- •4.2.1. Экспертные информационные системы
- •4.2.2. Нейросетевые сау
- •4.2.3. Сау с ассоциативной памятью
- •4.2.4. Системы управления с нечёткой логикой
- •Литература
2.6.Метод гармонической линеаризации
2.6.1. Исходные положения метода гармонической линеаризации
Метод гармонической линеаризации (метод гармонического баланса) –. это приближенный (инженерный) метод, позволяющий исследовать собственные и вынужденные колебания, а также устойчивость нелинейных систем. Метод не имеет ограничений на порядок системы. Этот метод до настоящего времени строго не обаснован. Однако длительная практика применения доказала его эффективность.
Пусть имеем нелинейное звено рис. 2.1 с нелинейной статической характеристикой
, (2.38)
на вход которого подается гармонический сигнал . Сигнал на выходе нелинейного звена будет не гармоническим, однако периодическим с тем же самым периодом, т.е..
Рис. 2.15
На рис. 2.15 дана графическая иллюстрация преобразования гармонического сигнала нелинейной характеристикой, имеющей зону нечувствительности и насыщения.
Так как сигнал является периодическим с периодом, то разложим его в ряд Фурье
, (2.39)
где
(2.40)
Коэффициенты ряда Фурье ,вычисляются по известной нелинейности. Обычно амплитуды первой гармоники,значительно больше амплитуд высших гармоник частот,, ….
Сигнал с выхода нелинейного элемента в соответствии со структурой замкнутой системы рис. 2.2 поступает на вход линейной части систем с передаточной функцией или с соответствующей АФЧХ. Будем считать, что степень полиномаменьше степени полинома, что соответствует физически реализуемой системе. В этом случае(АЧХ) с ростомобязательно будет стремиться к нулю. Вид АЧХ приведен на рис. 2.16, где кривая 1 соответствует статической, а 2 − астатической системе. Здесь же приведены спектральные составляющие входного сигнала в соответствии с (2.39) основной частотыи высших гармоник,, ….
Рис. 2.16
В соответствии с рис. 2.16 линейная система отфильтрует высокочастотные составляющие и на выходе линейной части будет сигнал, близкий к гармоническому . Такое свойство линейной части будем называтьсвойством фильтра. Таким образом, если линейная часть системы является низкочастотным фильтром (выполняется гипотеза фильтра), то при определенных условиях в замкнутой системе при сигналв установившемся режиме будет гармоническим или достаточно близким к гармоническому
. (2.41)
Выяснение выполнения таких условий и определения амплитуды и частотыгармонического режима, возникающего в замкнутой системе, и составляет суть метода гармонического баланса. Колебания вида (2.41) будем называтьсимметричными. Они обычно возникают при отсутствии внешнего воздействия (), т.е. являются собственными, и при нечетной нелинейности. При, либо при несимметричных нелинейностях относительно начала координат в разложении (2.39) появляется постоянная составляющая и появляютсянесимметричные колебания
, (2.42)
в которых определению подлежат три параметра ,,.
Рассмотрим связь входа и выхода нелинейного элемента в предположении, что на входе действует сигнал , а на выходе сигнал (2.39) без учета высших гармоник, т.е.
. (2.43)
Первоначально будем рассматривать случай симметричных колебаний, т.е. считать . Обозначим,, тогда
. (2.44)
С учетом того, что , где, получим
, (2.45)
, (2.46)
. (2.47)
Выражение (2.45) является уравнением гармонической линеаризации нелинейности, а (2.46) и(2.47) называютсякоэффициентами гармонической линеаризации.
Из (2.45), приняв , находимгармонически линеаризованную передаточную функцию нелинейного элемента
, (2.48)
а при -амплитудно-фазовую характеристику нелинейного элемента
. (2.49)
Особенностью (2.48), (2.49) является то, что передаточная функция зависит от амплитуды и частоты входного сигнала, а АЧХ не зависит от частоты, но зависит от амплитуды . Выражения (2.45), (2.48), (2.49) справедливы только для определенного типа входного сигнала − гармоническогои при условии отсутствия высших гармоник на выходе нелинейного элемента. Последнее, предположительно, будет выполняться в замкнутой нелинейной САУ при выполнении гипотезы фильтра.
В случае несимметричных колебаний сигнал на выходе нелинейного элемента будет иметь вид
,,
а выражения (2.45), (2.46), (2.47) будут следующими:
, (2.50)
, (2.51)
, (2.52)
. (2.53)