3.5. Случайные процессы в импульсных системах

Будем рассматривать стационарные эргодические случайные дискретные (решётчатые) процессы как совокупность решётчатых реализаций. Здесь решётчатая реализацияпонимается как последовательность ординат, совпадающих с соответствующими значениями непрерывной реализациив дискретные моменты времени, где- период квантования (дискретизации).

По аналогии с непрерывными системами вводятся статистические характеристики импульсных систем [4].

Среднее значение (математическое ожидание)

, (3.24)

где - реализация дискретного процесса.

Дисперсия дискретного случайного процесса

. (3.25)

Корреляционная функция

, (3.26)

где − дискретные значения относительного времени.

При наличии двух случайных процессов вводят взаимную корреляционную функцию.

Спектральная плотность дискретного случайного процесса

, (3.27)

где − относительная частота.

Спектральная плотность дискретного случайного процесса связана со спектральной плотностьюсоответствующего непрерывного случайного процесса формулой:

. (3.28)

Спектральная плотность и корреляционная функция связаны с дисперсией:

. (3.29)

Расчёт импульсных систем при случайных воздействиях аналогичен расчёту непрерывных систем с учётом дискретных статистических характеристик. Чаще всего оценивают среднее значение квадрата дискретной ошибки. Если на вход импульсной системы поступают некоррелированные стационарные полезный сигнал и помеха, то спектральная плотность дискретной случайной ошибки

, (3.30)

где и- частотные передаточные замкнутой импульсной функции системы по ошибке и замкнутой системы, аи− дискретные спектральные плотности полезного сигнала и помехи.

Среднее значение квадрата дискретной ошибки

, (3.31)

где - регулярная составляющая ошибки, а- дисперсия ошибки.

Поскольку вычисления, связанные с оптимизационными задачами, громоздки, то эти исследования целесообразно проводить с помощью компьютерного моделирования.

3.6. Случайные процессы в нелинейных системах

Нелинейные элементы искажают входные случайные сигналы. В связи с тем, что в НСАУ не применим принцип суперпозиции, при одновременном поступлении полезного сигнала и помехи влияние последней может существенно ослабить действие полезного сигнала и ухудшить качество функционирования системы. Поскольку общие точные методы исследования НСАУ со случайными воздействиями отсутствуют, прибегают к статистической линеаризации нелинейных элементов, что позволяет затем использовать известные методы расчёта линейных систем.

Рассмотрим кратко метод статистической линеаризации. Он основан на замене нелинейных преобразований статистически эквивалентными преобразованиями. На рис. 3.7 изображены нелинейный (НЭ) и линейный (ЛЭ) элементы.

Рис. 3.7

Процессы на входе и на выходе НЭ представляют в виде:

(3.32)

где и− математические ожидания, аи− центрированные (у которых матожидание равно 0) составляющие процессови.

При статистической линеаризации нелинейное преобразование заменяют линейным вида:

. (3.33)

Коэффициенты ивыбираются так, чтобы выполнялись определённые критерии статистической эквивалентности нелинейного и линейного преобразований.

Первый критерий заключается в равенстве математических ожиданий и дисперсий процессов на выходе НЭ и ЛЭ. Второй связан с минимизацией среднего квадрата разности процессов на выходе этих элементов.

На основании первого критерия

, (3.34)

. (3.35)

Здесь соответствует первому критерию эквивалентности.

По второму критерию

. (3.36)

После преобразований уравнения (3.36) с учётом (3.32) и (3.33) и исследования на

, (3.37)

. (3.38)

Из сопоставления выражений (3.37) и (3.34), а также (3.38) и (3.35) следует, что коэффициенты , найденные по различным критериям, совпадают а различаются.

Для получения достоверных результатов принимают

. (3.39)

Следует заметить, что коэффициенты линеаризации зависят от закона распределения . Он обычно неизвестен. Как правило, при расчётах его полагают нормальным. Кроме того, коэффициентыидля типовых нелинейностей можно рассчитать предварительно.

При расчётах статистически линеаризованной нелинейной системы исходная одноконтурная система заменяется эквивалентной двухконтурной (рис. 3.8) [4].

Рис. 3.8

Задающими воздействиями являются для верхнего канала  математическое ожидание , а для нижнего центрированная случайная составляющая входного сигнала. Входной сигнал может быть линейной комбинацией полезного сигнала и помехи. Здесь передаточная функция линейной части системы.

Для верхнего канала записывают уравнение по теореме о предельном значении функции:

, (3.40)

а для нижнего канала – уравнение для :

. (3.41)

Решая систему (3.40) и (3.41), находят и.

Конкретные примеры исследования статистически линеаризованных НСАУ рассматриваются в [4, 8].