- •2. Нелинейные системы автоматического управления
- •2.1 Общие сведения о нелинейных системах
- •2.2. Математические модели замкнутых нелинейных систем автоматического управления
- •2.3. Исследование нелинейных систем методом фазовой плоскости
- •2.3.1. Основные понятия
- •2.3.2. Классификация фазовых портретов
- •2.3.3. Построение фазовых траекторий
- •2.3.4. Скользящие режимы в нелинейных системах
- •2.3.5. Система с переменной структурой
- •2.4. Метод припасовывания
- •2.5. Метод точечного преобразования
- •2.6.Метод гармонической линеаризации
- •2.6.1. Исходные положения метода гармонической линеаризации
- •2.6.2. Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации
- •2.6.3. Алгебраический метод определения симметричных колебаний
- •2.6.4. Частотный метод определения симметричных колебаний
- •2.6.5. Вынужденные колебания в нелинейных системах
- •2.7.Устойчивость процессов в нелинейных системах
- •2.7.1.Основные понятия и определения
- •2.7.2.Теоремы Ляпунова
- •2.7.3. Абсолютная устойчивость
- •2.8. Коррекция нелинейных систем
- •2.8.1. Коррекция нелинейной системы с помощью обратной связи
- •2.8.2. Коррекция нелинейной системы с помощью вибрационного сглаживания
- •3. Случайные процессы в системах автоматического управления
- •3.1. Случайные процессы и их характеристики
- •3.2. Прохождение случайных сигналов через линейную непрерывную систему автоматического управления
- •3.3. Расчёт точности системы при случайных воздействиях
- •3.4. Особенности синтеза систем автоматического управления
- •3.5. Случайные процессы в импульсных системах
- •3.6. Случайные процессы в нелинейных системах
- •4. Элементы современной теории автоматического управления
- •4.1. Оптимальное управление
- •4.2 Интеллектуальные сау
- •4.2.1. Экспертные информационные системы
- •4.2.2. Нейросетевые сау
- •4.2.3. Сау с ассоциативной памятью
- •4.2.4. Системы управления с нечёткой логикой
- •Литература
2.7.2.Теоремы Ляпунова
Кроме определений Ляпуновым были разработаны два метода анализа устойчивости решений дифференциальных уравнений.
Суть первого метода заключается в замене нелинейной системы (2.70) линейной (линеаризованной) путем разложения правых частей уравнений (2.70) в ряды Тейлора относительно начала координат и отбрасывания всех нелинейных членов. В результате получаются линейные уравнения (уравнения первого приближения)
,, (2.71)
где − постоянные коэффициенты.
Ляпуновым доказана следующая основная теорема первого метода, которую приведем в упрощенной форме: если линейная система (2.71) асимптотически устойчива, то положение равновесия нелинейной системы (2.70) будет асимптотически устойчивым в малом, если система (2.71) неустойчива, то положение равновесия (2.70) будет неустойчивым.
По первому методу, исключая так называемые критические случаи, задача анализа устойчивости нелинейной системы сведена к более простой задаче анализа линейной системы. Первый метод Ляпунова не позволяет исследовать устойчивость в большом, целом или абсолютную устойчивость. Для этих целей Ляпуновым был разработан второй метод или прямой метод анализа устойчивости.
Введем в рассмотрение непрерывную функцию переменных, такую, чтопри,, т.е. обращающуюся обязательно в ноль в начале координат.
Если в некоторой области переменных функцияили, то ее называютзнакоопределенной: соответствен положительно определенной или отрицательно определенной. Если функция сохраняет свой знак, но может обращаться в ноль не только в начале координат, то ее называютзнакопостоянной (положительной или отрицательной). Такие функции в дальнейшем будем называть функциями Ляпунова. Примеры функций: − положительно определенная;− отрицательно определенная; − знакопостоянная функция (положительная).
Наконец, функция называетсязнакопеременной, если в рассматриваемой области она меняет свой знак. Например, .
Приведем три основные теоремы Ляпунова второго метода.
1. Если для системы уравнений (2.70) существует знакоопределенная функция , производная которойявляется знакопостоянной противоположного знака, то решениеустойчиво.
2. Если в предыдущем случае производная будет знакоопределенной, но противоположного знака, то решениебудет устойчивым асимптотическим.
3. Если для системы уравнений (2.70) существует функция , производная которойявляется знакоопределенной функцией, причем в любой сколь угодно малой окрестности начала координат, имеется область, в которой знакиисовпадают, то решениесистемы (2.70) неустойчиво.
Отметим, что приведенные в теоремах условия являются только лишь достаточными и эффективность их будет зависеть от выбранной функции Ляпунова . Не существует в общем случае методик выбора функций Ляпунова, дающих необходимые и достаточные условия.
Довольно часто в качестве функций Ляпунова используют квадратичные формы, для которых, используя известные критерии, можно сравнительно легко определять их знак.
2.7.3. Абсолютная устойчивость
Рассмотрим понятие абсолютной устойчивости применительно к структуре нелинейной системы рис. 2.2.
Уравнения, описывающие поведение системы при имеют в соответствии с [8] вид
(2.72)
Будем полагать, что , тогда уравнения имеют тривиальное решение,,, т.е. в системе существует положение равновесия, устойчивость которого будем исследовать.
Если положение равновесия системы (2.72) асимптотически устойчиво в целом при любом виде функции из заданного класса, то САУ называетсяабсолютно устойчивой в этом классе.
Будем рассматривать класс функций , удовлетворяющих секторным ограничениям, т.е. с характеристикой, построенной на плоскости, которая полностью укладывается в угловом секторе, образованном двумя прямымии,.
Итак, рассматривается класс нелинейных функций, удовлетворяющих условиям
для,. (2.73)
При этом вид функции неизвестен, а нелинейность будет относиться к классу. Возможны также дополнительные ограничения, например, функциядолжна быть непрерывной или другие.
Из класса (2.73) выделяют два подкласса: и,.
Анализ абсолютной устойчивости возможен с помощью функций Ляпунова, а также частотных критериев абсолютной устойчивости. Рассмотрим последние как наиболее практичные.
Круговой критерий устойчивости.
Для нелинейностей из класса достаточным условием абсолютной устойчивости является выполнение неравенства
, (2.74)
где ,,− АФЧХ линейной части системы (рис. 2.2).
Неравенство (2.74) определяет область на комплексной плоскости, в которой должна лежать АФЧХ линейной части системы, чтобы нелинейная система была абсолютно устойчива.
Заменяя в (2.74) знак неравенства на знак равенства, получим границу этой области. Это будет уравнение окружности с центром на вещественной оси в точке и проходящей через точкиина оси. Неравенство (2.74) требует, чтобы АФЧХ при всехрасполагалась вне круга, ограниченного этой окружностью. На рис. 2.20 приведены запретные области (заштрихованные) для характеристикии характеристики.
Рис. 2.20
В [4] даются более подробные случаи для разных классов .
Вторым распространенным частотным критерием является критерий В.М. Попова. Рассмотрим его формулировку для класса нелинейных характеристик : система будет абсолютно устойчивой для нелинейностей из класса, если через точкуможно провести прямую так, что она не пересечет модифицированную частотную характеристику (последняя лежит справа от прямой).
В этом критерии под модифицированной частотной характеристикой понимается характеристика , где,.
Рис. 2.21, а удовлетворяет критерию абсолютно устойчивой системы, а рис. 2.21, б при заданном не удовлетворяет этому критерию.
Рис. 2.21
В заключение отметим, что все критерии абсолютной устойчивости, в том числе частотные, дают только лишь достаточные условия абсолютной устойчивости.